数列第五节数列的综合应用.ppt

第五节数列的综合应用 1 解答数列应用题的步骤 1 审题 仔细阅读材料 认真理解题意 2 建模 将已知条件翻译成数学 数列 语言 将实际问题转化成数学问题 弄清该数列的结构和特征 3 求解 求出该问题的数学解 4 还原 将所求结果还原到原实际问题中 具体解题步骤用框图表示如下 2 数列应用题常见模型 1 等差模型 如果增加 或减少 的量是一个固定量时 该模型是等差模型 增加 或减少 的量就是公差 2 等比模型 如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时 该模型是等比模型 这个固定的数就是公比 3 递推数列模型 如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定 随项的变化而变化时 应考虑是an与an 1的递推关系 还是前n项和Sn与Sn 1之间的递推关系 银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型 提示 单利公式 设本金为a元 每期利率为r 存期为n 则本利和an a 1 rn 属于等差模型 复利公式 设本金为a元 每期利率为r 存期为n 则本利和an a 1 r n 属于等比模型 等差数列与等比数列的综合应用 1 解答本题 1 时 列出关于a1 d的方程组是关键 2 1 若数列 an 是等差数列 则数列 aan 是等比数列 公比为ad d是 an 的公差 a 0且a 1 2 若数列 an 是等比数列 且an 0 则数列 logaan 是等差数列 公差为logaq 其中a是常数且a 0 a 1 q是 an 的公比 数列的实际应用 思路点拨 1 an与bn分别是两个等比数列的前n项和 2 解不等式bn an即可 1 解答本题时 理解题意是关键 其中an bn是等比数列的前n项和 而非第n项 2 数列应用问题的核心是建立数学模型 往往从给出的初始条件入手 推出若干项 逐步探索数列通项或前n项和或前后两项的递推关系 从而建立等比数列模型 3 与等比数列联系较大的是 增长率 的概念 在经济上多涉及利润 效益的增减问题 在人口数量的研究中也要研究增长率问题 金融问题更多涉及复利的问题 这都与等比数列有关 思路点拨 1 由已知得an 1与an的关系从而获解 2 利用等差数列的性质及裂项相消去求解第 2 3 问 数列与函数 不等式的综合应用 1 本题中在求最小正整数m的值时 把问题转化为不等式恒成立问题 而Sn最值的求法使用了数列的单调性 2 数列是特殊的函数 以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点 该类综合题的知识综合性强 能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力 因而一直成为高考命题者的首选 数列的综合应用是高考的重点内容 重点考查学生分析问题和解决问题的能力 从高考命题来看 本考点突出知识的交汇 题型多样 小题 以小见大 解答题往往需运用数列与其他知识 方程 不等式 函数 综合解决 创新能力要求高 数列应用题多以现实问题为背景 体现数列的应用性 这类问题多以客观题形式出现 在解答时应注重答题的规范化 12分 2011 陕西高考 如图5 5 1 从点P1 0 0 作x轴的垂线交曲线y ex于点Q1 0 1 曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2 再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2 依次重复上述过程得到一系列点 P1 Q1 P2 Q2 Pn Qn 记Pk点的坐标为 xk 0 k 1 2 n 1 试求xk与xk 1的关系 2 k n 2 求 P1Q1 P2Q2 P3Q3 PnQn 规范解答之九数列与导数交汇问题的求解方法 易错提示 1 题意不明确 无法求出在点Qk 1 xk 1 exk 1 处的切线方程 2 数列应用意识较差 不会把所求问题转化为数列问题解决 防范措施 1 从点Pn Qn的生成过程出发 深刻理解题意 从而得知求在点Qk 1 xk 1 exk 1 处的切线方程是关键 2 树立数列知识的应用意识 当问题与自然数n有关时 可考虑是否能用数列知识解决 1 2012 梅州模拟 已知函数f x 2x 等差数列的公差为2 若f a2 a4 a6 a8 a10 4 则log2 f a1 f a2 f a3 f a10 解析 由题意知 a2 a4 a6 a8 a10 2 a1 a3 a5 a7 a9 2 5d 8 a1 a2