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教学目的 偏导数的有关概念教学重点 偏导数的计算教学难点 高阶偏导数的计算 偏导数 偏导数 在一元微分学中 我们研究过函数的导数 即函数y对于自变量x的变化率 若多元函数的某一个自变量发生变化而其它自变量保持不变 将得到与上式类似的极限 即会产生函数对某一个自变量的变化率 现在我们讨论这种变化率的概念和计算 偏导数 偏导数的定义 当函数z f x y 在区域D内每一点都存在对x和y的偏导数时 fx x y 和fy x y 是D上的两个新的函数 称为f x y 对x和y的偏导函数 简称偏导数 分别记为 例题 更多元的函数可以类似地定义偏导数 即对一个自变量求偏导时 只要把其他自变量都当常数就行 一元函数的求导公式和导数运算法则都可用于求多元函数的偏导数 2 偏导数的计算 例题 例题 例题 注意由上节例7知上述例5的函数f x y 在原点是间断的 由此可以看出偏导数存在时多元函数不一定连续 由对称性知fy 0 0 0 例题 偏导数的几何意义 如前所述 二元函数z f x y 的偏导数fx x y fy x y 仍是x y的二元函数 它们同样可以对x和y求偏导数 记 称为z f x y 的二阶偏导数 其中fxy和fyx称为混合偏导数 注一般地 fxy与fyx不是同一个函数 但可证明如下结论 高阶偏导数 因此 例题 例题 偏导数的定义 对一个自变量求偏导数时 只要把其它的自变量都当常数就行了 因此 一元函数的求导公式与导数运算法则都可用于求多元函数的偏导数 偏导数的计算 小结 注如果函数z f x y 的两个混合偏导数在区域D上
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