用数学归纳法证明不等式课件(人教A选修4-5).pptVIP

读教材 填要点 贝努利 Bernoulli 不等式如果x是实数 且x 1 x 0 n为大于1的自然数 那么有 1 x n 1 nx 小问题 大思维 在贝努利不等式中 指数n可以取任意实数吗 提示 可以 但是贝努利不等式的体现形式有所变化 事实上 当把正整数n改成实数 后 将有以下几种情况出现 1 当 是实数 并且满足 1或者 1 2 当 是实数 并且满足0 1 研一题 悟一法 通一类 研一题 精讲详析 本题考查数学归纳法的应用 解答本题需要先对n取特值 猜想Pn与Qn的大小关系 然后利用数学归纳法证明 1 当n 1 2时 Pn Qn 2 当n 3时 以下再对x进行分类 若x 0 显然有Pn Qn 若x 0 则Pn Qn 若x 1 0 则P3 Q3 x3 0 所以P3 Q3 P4 Q4 4x3 x4 x3 4 x 0 所以P4 Q4 假设Pk Qk k 3 则Pk 1 1 x Pk 1 x Qk Qk xQk 悟一法 1 利用数学归纳法比较大小 关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系 猜测出证明的方向 再用数学归纳法证明结论成立 2 本题除对n的不同取值会有Pn与Qn之间的大小变化 变量x也影响Pn与Qn的大小关系 这就要求我们在探索大小关系时 不能只顾 n 而忽视其他变量 参数 的作用 通一类 2 已知数列 an bn 与函数f x g x x R 满足条件 b1 b an f bn g bn 1 n N 若函数y f x 为R上的增函数 g x f 1 x b 1 f 1 1 证明 对任意n N an 1 an 证明 因为g x f 1 x 所以an g bn 1 f 1 bn 1 即bn 1 f an 下面用数学归纳法证明an 1 an n N 1 当n 1时 由f x 为增函数 且f 1 1 得a1 f b1 f 1 1 b2 f a1 f 1 1 a2 f b2 f 1 a1 即a2 a1 结论成立 2 假设n k时结论成立 即ak 1 ak 由f x 为增函数 得f ak 1 f ak 即bk 2 bk 1 进而得f bk 2 f bk 1 即ak 2 ak 1 这就是说当n k 1时 结论也成立 根据 1 和 2 可知 对任意的n N an 1 an 研一题 精讲详析 本题考查数学归纳法的应用以及探索型问题的求解方法 解答本题需要根据n的取值 猜想出a的最大值 然后再利用数学归纳法进行证明 悟一法 利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是 先通过观察 判断 猜想出结论 然后用数学归纳法证明 这种分析问题和解决问题的思路是非常重要的 特别是在求解存在型或探索型问题时 通一类 解 猜想当t 3时 对一切正整数n使3n n2成立 下面用数学归纳法进行证明 当n 1时 31 3 1 12 命题成立 假设n k k 1 k N 时 3k k2成立 则有3k k2 1 对n k 1 3k 1 3 3k 3k 2 3k k2 2 k2 1 3k2 1 3k2 1 k 1 2 2k2 2k 2k k 1 0 3k 1 k 1 2 对n k 1 命题成立 由上知 当t 3时 对一切n N 命题都成立 本课时考点常与数列问题相结合以解答题的形式考查数学归纳法的应用 2012年全国卷将数列 数学归纳法与直线方程相结合考查 是高考模拟命题的一个新亮点 考题印证 2012 大纲全国卷 函数f x x2 2x 3 定义数列 xn 如下 x1 2 xn 1是过两点P 4 5 Qn xn f xn 的直线PQn与x轴交点的