时方程的根与函数的零点.ppt

3 1函数与方程 第一课时方程的根与函数的零点 3 1 1方程的根与函数的零点 问题提出 1 对于数学关系式 2x 1 0与y 2x 1它们的含义分别如何 2 方程2x 1 0的根与函数y 2x 1的图象有什么关系 3 我们如何对方程f x 0的根与函数y f x 的图象的关系作进一步阐述 方程的根与函数的零点 知识探究 一 方程的根与函数零点 思考1 上述三个一元二次方程的实根分别是什么 对应的二次函数的图象与x轴的交点的坐标分别是什么 考察下列一元二次方程与对应的二次函数 1 方程与函数y x2 2x 3 2 方程与函数y x2 2x 1 3 方程与函数y x2 2x 3 思考3 更一般地 对于方程f x 0与函数y f x 上述关系适应吗 思考2 一般地 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的实根与对应的二次函数y ax2 bx c的图象与x轴的交点有什么关系 思考4 对于函数y f x 我们把使f x 0的实数x叫做函数y f x 的零点 那么函数y f x 的零点是点吗 实际是什么 思考5 函数y f x 有零点可等价于哪些说法 函数y f x 有零点 方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与x轴有公共点 练习 求下列函数的零点 1 2 思考1 函数f x 2x 1的零点是什么 函数f x 2x 1的图象在零点两侧如何分布 思考2 二次函数f x x2 2x 3的零点是什么 函数f x x2 2x 3的图象在零点附近如何分布 知识探究 二 函数零点存在性原理 观察二次函数的图象 填空 在区间 2 1 上有零点 f 2 f 1 f 2 f 1 0 在区间 2 4 上有零点 f 2 f 4 0 1 5 4 3 想一想 怎样判断一个函数在给定区间上是否存在零点呢 让我们来看一个例子 观察下面函数y f x 的图象 a d c b 在区间 a b 上 有 无零点 f a f b 0 在区间 b c 上 有 无零点 f b f c 0 在区间 c d 上 有 无零点 f b f c 0 有 有 有 思考3 如果函数y f x 在区间 1 2 上的图象是连续不断的一条曲线 那么在下列那种情况下 函数y f x 在区间 1 2 内一定有零点 1 f 1 0 f 2 0 2 f 1 0 f 2 0 3 f 1 0 f 2 0 4 f 1 0 f 2 0 答 2 4 思考4 一般地 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 那么在什么条件下 函数y f x 在区间 a b 内一定有零点 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有f a f b 0 那么函数y f x 在区间 a b 内至少有一个零点 即存在c a b 使得f c 0 这个c也就是方程f x 0的根 思考5 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是间断的 上述原理适应吗 思考6 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 那么当f a f b 0时 函数y f x 在区间 a b 内一定没有零点吗 思考7 若函数y f x 在区间 a b 上有零点 是否一定有f a f b 0 变号零点 1 不变号零点 问题3观察函数图象 看两函数零点附近两侧的函数值符号是怎样的 零点存在性原理 温故知新 若函数f x 在闭区间 a b 上的图像是连续曲线 并且在闭区间 a b 端点的函数值符号相反 即f a f b 0 则f x 在 a b 上至少有一个零点 即方程f x 0在 a b 上至少有一个实数解 判断零点存在的方法 勘根定理 说明 1 方程f x 0在区间 a b 内有奇数个解 则f a f b 0 错 2 若方程f x 0在区间 a b 只有一解 则必有f a f b 0 理论迁移 例2试推断是否存在自然数m 使函数f x 3 2x在区间 m m 1 上有零点 若存在 求m的值 若不存在 说明理由 例1求函数f x lnx 2x 6零点的个数 由表3 1和图3 1 3可知 f 2 0 即f 2 f 3 0 说明这个函数在区间 2 3 内有零点 由于函数f x 在定义域 0 内是增函数 所以它仅有一个零点 解 用计算器或计算机作出x f x 的对应值表 表3 1 和图象 图3 1 3 4 1 3069 1 0986 3 3863 5 6094 7 7918 9 9459 12 0794 14 1972 例题2求函数f x lnx 2x 6的零点个数 小结 1 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的