《随机变量及其分布》PPT课件.ppt

第二章随机变量及其分布 一 随机变量二 离散型随机变量及其分布律三 随机变量的分布函数四 连续型随机变量及其概率密度五 随机变量的函数的分布 主要内容 第一节随机变量 为了全面研究随机试验的结果 揭示随机现象的统计规律性 将随机试验的结果与实数对应起来 即将随机试验的结果数量化 引入随机变量的概念 在随机试验完成时 人们常常不是关心试验结果本身 而是对于试验结果联系着的某个数感兴趣 这样 我们可以引进一个变量来表示它的各种结果 也就是说 把试验结果数值化 例1在一袋中装有编号分别为1 2 3的3只球 在袋中任取一只球 放回 再取一只球 记录它们的编号 计算两只球的号码之和 试验的样本空间S e i j i j 1 2 3 这里i j分别表示第一 二球的号码 以X记两球号码之和 对于每一个样本点e X都有一个值与之对应 如右上图所示 在有些试验中 试验结果表面上看来与数值无关 仍然可以将结果数值化 例2抛一枚硬币 观察正反面的出现情况 我们引入记号 显然 该试验有两个可能的结果 X就是一个随机变量 又如 将一枚硬币掷三次 观察正面H 反面T出现的情况 样本空间S HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT 若记X为三次出现正面的总数 那么 对于样本空间S e 中的每一个样本点e X都有一个数与之对应 X是定义在样本空间S上的一个实值单值函数 它的定义域是样本空间S 值域是集合 0 1 2 3 使用函数记号可以写成 定义设随机试验E的样本空间是S 若对于每一个e S 有一个实数X e 与之对应 即X X e 是定义在S上的单值实函数 称它为随机变量 randomvariable 简记为r v X e R e 随机变量的取值随试验结果而定 而试验的各个结果出现有一定的概率 因而随机变量的取值有一定的概率 例如 在例2中X取值为2 记成 X 2 对应于样本点的集合A HHT HTH THH 这是一个事件 当且仅当事件A发生时有 X 2 则称P A P HHT HTH THH 为 X 2 的概率 即P X 2 P A 3 8 一般 若L是一个实数集合 将X在L上取值写成 X L 它表示事件B e X e L 即B是由S中使得X e L的所有样本点e所组成的事件 此时有P X L P B P e X e L 随机变量的取值随试验的结果而定 在试验之前不能预知它取什么值 且它的取值有一定的概率 此性质说明随机变量与普通函数有本质的差异 1 随机变量是一个函数 但普通函数是定义在实数轴上的 而随机变量是定义在样本空间上的 样本空间的元素不一定是实数 随机变量与普通函数的区别 2 随机变量X的可能取值不止一个 试验前只能预知它的可能的取值 但不能预知取哪个值 3 X以一定的概率取某个值 第二节离散型随机变量及其分布律 离散型随机变量分布律的定义离散型随机变量表示方法三种常见分布 如果随机变量X只取有限或可列无穷多个值 则称X为离散型随机变量 对于离散型随机变量 关键是要确定 1 所有可能的取值是什么 2 取每个可能值的概率是多少 称之为离散型随机变量X的分布律 或写成如下的表格形式 例3某篮球运动员投中篮圈概率是0 9 求他两次独立投篮投中次数X的概率分布 解 X可取值为0 1 2 P X 0 0 1 0 1 0 01 P X 1 2 0 9 0 1 0 18 P X 2 0 9 0 9 0 81 下面给出几种常见的离散型随机变量的概率分布 背景 一次试验的成功次数X所服从的分布 分布律为 或用公式表示 1 0 1分布 如果试验的结果只有两个 成功与失败 并且成功的概率为p 则成功的次数服从参数为p的0 1分布 0 1分布是最简单的一种分布 任何一个只有两种可能结果的随机现象 比如新生婴儿是男还是女 明天是否下雨 种籽是否发芽等 都可以用服从两点分布的随机变量来描述 说明 例4200件产品中 有190件合格品 10件不合格品 现从中随机抽取一件 那末 若规定 则随机变量X服从 0 1 分布 2 二项分布 BinomialDistribution 背景 n重伯努利试验中的成功次数X所服从的分布 注意 当n 1时二项分布就是0 1分布 例5已知100个产品中有5个次品 现从中有放回地取3次 每次任取1个 求在所取的3个中恰有2个次品的概率 解 因为这是有放回地取3次 因此这3次试验的条件完全相同且独立 它是伯努利试验 依题意 每次试验取到次品的概率为0 05 设X为所取的3个中的次品数 于是 所求概率为 解 因此 例6 三 泊松分布设随机变量X所有可能取的值为0 1 2 而取各个值的概率为 其中l 0是常数 则称X服从参数为l的泊松分布 记为X p l 电话呼唤次数 交通事故次数 商场接待的顾客数 地震次数 火山爆发 特大洪水 在生物学 医学 工业统计 保险科学及公用事业的排队等问题中 泊松分布是常见的 例如地震 火山爆发 特大洪水 交换台的电话呼唤次数等 都服从泊松分布 例7已知服从泊松分布 且 求 解 泊松 Poisson 定理 设 0是一常数 n是任意正整数 设npn 则对于任一固定的非负整数k 有 通常在n比较大 p很小时 用泊松分布近似代替二项分布的公式 其中l np 泊松分布的方便之处在于有现成的分布表可查 见P383附表3 例8计算机硬件公司制造某种特殊型号的微型芯片 次品率达0 1 各芯片成为次品相互独立 求在1000只产品中至少有2只次品的概率 解 以X记次品只数 则 课堂练习商店的历史销售记录表明 某种商品每月的销售量服从参数为l 10的泊松分布 为了以95 以上的概率保证该商品不脱销 问商店在月底至少应进该商品多少件 附解 由附录的泊松分布表知 只要在月底进货15件 假定上月没有存货 就可以95 的概率保证这种商品在下个月内不会脱销 第三节随机变量的分布函数 背景 对于非离散型随机变量X 由于其可能取的值不能一个一个地列举出来 因而就不能像离散型随机变量那样可以用分布律来描述它 另外 通常所遇到的非离散型随机变量 取任一指定的实数值的概率都等于0 此时 我们转而去研究随机变量所取的值落在一个区间的概率 P x1 X x2 由于P x1 X x2 P X x2 P X x1 所以我们只需知道P X x2 和P X x1 就可以了 由此引出分布函数的概念 为X的分布函数 设X是一个随机变量 定义 是任意实数 则称函数 随机变量落在区间里的概率 如果将X看作数轴上随机点的坐标 那么分布函数F x 的值就表示X落在区间内的概率 分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性 通过它 我们可以用高等数学的工具来研究随机变量 X的分布函数 分布函数F x 具有以下的基本性质 1 F x 是一个不减函数 对于任意实数x1 x2 x1 x2 有F x2 F x1 P x1 X x2 0 2 0 F x 1 且 3 F x 0 F x 即F x 是右连续的 解 例9 已知随机变量X的分布律为 求分布函数 的图形是阶梯状的图形 在x 0 1 2处有跳跃 其跃度分别等于P X 0 P X 1 P X 2 F x 右连续 分布函数图 设离散型r vX的分布律是 P X xk pk k 1 2 3 F x P Xx 即F x 是X取的诸值xk的概率之和 一般地 则其分布函数 例10在区间 1 5 上任意掷一个质点 用X表示这个质点与原点的距离 则X是一个随机变量 如果这个质点落在 1 5 上任一子区间内的概率与这个区间的长度成正比 求X的分布函数 解 另外 容易看到本例中的分布函数F x 对于任意x可以写成形式 其中 这就是说 F x 是非负函数f t 在区间 x 上的积分 在这种情况下我们称X为连续型随机变量 第四节连续型随机变量及其概率密度 一 概率密度及其性质 定义如果随机变量X的分布函数可表示成 其中 为非负的函数 则称 X为连续型随机变量 f x 称为X的概率密度函数 简称为概率密度或密度 记作 概率密度函数f x 的基本性质 这两条性质是判定一个函数f x 是否为某随机变量的概率密度的充要条件 另外 连续型随机变量还具有如下重要性质 若f x 在点x处续 则有 1 连续型r v取任一指定实数值a的概率均为0 即 这是因为 请注意 当时 得到 概率为0的事件未必不发生 2 对连续型r vX 有 连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关 例11设随机变量X具有概率密度 解 2 X的分布函数为 三种重要的连续型随机变量 1 均匀分布设连续型随机变量X具有概率密度 则称X在区间 a b 上服从均匀分布 记为X U a b 如X U a b 则它落在 a b 中任意子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关 任给长度为l的子区间 c c l a c c l b 有 X的分布函数为 例12 设随机变量X在 2 5 上服从均匀分布 现对X进行三次独立观测 试求至少有两次测值大于3的概率 2 指数分布设连续型随机变量X的概率密度为 其中q 0为常数 则称X服从参数为q的指数分布 容易得到X的分布函数为 指数分布的另一种形式 此时的分布函数为 如X服从指数分布 则任给s t 0 有P X s t X s P X t 事实上 此性质称为无记忆性 指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用 3 正态分布设连续型随机变量X的概率密度为 其中m s s 0 为常数 则称X服从参数为m s的正态分布或高斯 Gauss 分布 记为X N m s2 显然f x 0 下面来证明 令 x m s t 得到 曲线关于轴对称 正态分布概率密度曲线图 决定了图形的中心位置 决定了图形中峰的陡峭程度 正态分布 概率密度曲线特点 正态变量的分布函数为 特别 当m 0 s 1时称X服从标准正态分布 其概率密度和分布函数分别用j x 和F x 表示 即有 易知F x 1 F x 人们已经编制了F x 的函数表 可供查用 见附表2 P304 引理若X N m s2 则 证 由此知Z N 0 1 若X N m s2 则它的分布函数F x 可写成 对于任意区间 x1 x2 有 例如 设X N 1 4 查表得 设X N m s2 由F x 的函数表还能得到 P m s X m s F 1 F 1 2F 1 1 68 26 P m 2s X m 2s F 2 F 2 95 44 P m 3s X m 3s F 3 F 3 99 74 我们看到 尽管正态变量的取值范围是 但它的值落在 m 3s m 3s 内几乎是肯定的事 这就是人们所谈的 3s 法则 例13将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内 调节器整定在d C 液体的温度X 以 C计 是一个随机变量 且X N d 0 52 1 若d 90 求X小于89的概率 2 若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0 99 问d至少为多少 解 1 所求概率为 2 按题意需求d满足 课堂练习1 解答 练习2公共汽车车门的高度是按乘客与车门顶头碰头机会在0 01以下来设计的 设人的身高X N 170 62 问车门高度应如何确定 提示 P X h 0 01 或P X h 0 99 求满足上式的最小的h 184 设车门高度为hcm 按设计要求 设X N 0 1 若za满足条件P X za a 0 a 1 则称点za为标准正态分布的上a分位点 由j x 的对称性知z1 a za 第五节随机变量的函数的分布函数 问题的提出离散型r v 的函数的分布连续型r v 的函数的分布 一 问题的提出 在实际中 人们常常对随机变量的函数更感兴趣 求截面面积A 的分布 比如 已知圆钢截面直径d的分布 本节研究的主要问题 已知随机变量X的概率分布 分布律或概率密度 求其函数的概率分布 一 离散型随机变量函数的分布 例14设随机变量X具有以下的分布律试求Y X 1 2的分布律 解 Y所有可能值为0 1 4 由P Y 0 P X 1 2 0 P X 1 0 1 P Y 1 P X 0 P X 2 0 7 P Y 4 P X 1 0 2 例15设随机变量X具有概率密度 解 分别记X Y Z的分布函数为FX x FY y FZ y 下面先来求FY y 求变量Y 2X 8及Z X2的概率密度 二 连续型随机变量函数的分布 将FY y 关于y求导数 得Y 2X 8的概率密度为 再求