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文档简介

第八章特征值问题的计算方法 ComputationalMethodofEigenvalueProblem 本章主要介绍矩阵的特征值和特征向量的计算方法 一 特征值和特征向量的基本概念与性质 1基本概念与性质 若的所有特征值都是半单的 则称是非亏损的 相似矩阵有相同的特征值 设 本章算法的计算思想 设 有r个互不相同的特征值 其重数分别为 则一定存在非奇异矩阵 使得 Jordan分解 其中 说明 对称矩阵的特征值总是良态的 注意 实际问题中矩阵一般都是由计算或实验得到 本身必然存在误差 不妨假设 2幂法 PowerMethod 幂法是计算一个矩阵的模最大的特征值和对应的特征向量的一种迭代方法 又称为乘幂法 基本思想 假设是可对角化的 即存在如下分解 其中 不妨假设 对于 说明 当k充分大时 的一个近似特征向量为 特征向量可以相差一个倍数 因为向量中含有未知量 实际不能计算 但我们关心的仅是的方向 故作如下处理 令 其中为的模最大分量 幂法迭代算法 设和均收敛 由算法知 幂法的收敛性 证明 设有如下Jordan分解 是属于的Jordan块构成的块上三角矩阵 是半单的特征值 令 将和如下分块 记 是属于的一个特征向量 几点说明 幂法的收敛速度取决于的大小 幂法可以计算第二个模最大特征值 常用的方法 降阶方法 收缩技巧 设已经计算出模最大特征值及其特征向量 对向量
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