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数学思想与数学方法专题训练一 选择题1 已知全集U R 集合A x 2 x 2 B x x2 2x 0 则A RB 等于 A 2 0 B 0 2 C 0 2 D 2 0 解析 解不等式x2 2x 0 得0 x 2 B x 0 x 2 RB 0 2 故A RB 2 0 答案 D2 已知虚数z x 2 yi 其中x y均为实数 当此虚数的模为1时 则的取值范围是 A B C D 0 0 解析 设k 则k为过圆 x 2 2 y2 1上点及原点的直线斜率 作图如下 k 又 y 0 k 0 故的取值范围是 答案 B 3 在等比数列 an 中 Sn为其前n项和 已知a5 2S4 3 a6 2S5 3 则此数列的公比q为 A 2 B 3 C 4 D 5 解析 两式相减得a6 a5 2a5 a6 3a5 q 3 答案 B4 从5位男教师和4位女教师中选出3位教师 派到3个班担任班主任 每班1位班主任 要求这3位班主任中男 女教师都要有 则不同的选派方案共有 A 210种 B 420种 C 630种 D 840种 解析 由题意先从3位班主任中选出1男2女或者2男1女 然后再全排列 所以共有 C C C C A 420种 故选B 或A A A 答案 B 5 已知函数f x Acos x 的图象如图所示 f 则f 0 等于 A B C D 解析 由图可知 T 3 f f 0 f 又图象的对称中心是 f f 故f 0 f 答案 C 6 编辑一个运行程序 1 A 2002 B 2002 C 2004 D 2004 解析 由已知得 1 答案 C7 设x 0 y 0 且9x y xy 则x y的最小值为 A 12 B 14 C 16 D 18 解析 由9x y xy 得 1 x y x y 10 10 2 16 答案 C 8 不等式 a 在t 0 2 上恒成立 则a的取值范围是 A a 1 B a 1 C a D a 2 解析 f t 在 0 2 上为减函数 a要小于等于 即a要小于等于f t 在 0 2 上的最小值f 2 1 g t 在 0 2 上为增函数 a要大于等于 即a要大于等于g t 在 0 2 上的最大值g 2 故 a 1 答案 B 9 ABC中 a b c分别为角A B C的对边 如果a b c成等差数列 B 30 ABC的面积为 那么b为 A 1 B 3 C D 2 解析 如下图 由面积公式得 ac sin30 ac 2 由a b c成等差数列 2b a c 又由余弦定理得 b2 a2 c2 2ac cos30 即b2 a c 2 2ac 2ac 得b2 4b2 2 2 2 求得b 答案 C 10 过正三棱锥S ABC侧棱SB与底面中心O作截面SBO 已知截面是等腰三角形 则侧面和底面所成角的余弦值为 A B C 或 D 或 解析 如图 在正三棱柱S ABC中 设底边BC a 侧棱SB b SO 面ABC AC BD AC SD SDB即为侧面与底面所成角的平面角 SD BD a SB b 显然SB SD SB BD或SD BD 1 若SB BD 即b a 此时SD a cos SDB 2 若SD BD 即a 化简得a b 此时BD a SD a SB a cos SDB 侧面与底面所成角的余弦值为或 答案 C 11 已知点P为抛物线y2 2x上的动点 点P在y轴上的射影是点M 点A的坐标是 则 PA PM 的最小值是 A B 4 C D 5 解析 如图 焦点F 当P A F三点共线时 PA PM 才有最小值 此时 PA PM PA PF 即 PA PM 的最小值为 FA 答案 C 12 2011年衡水一中一模 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2 点M是棱AB上异于点A的一定点 点P是平面ABCD内的一动点 且点P到直线A1D1的距离两倍的平方比到点M的距离的平方大4 则点P的轨迹为 A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 解析 点P到直线A1D1的距离两倍的平方比到点M距离的平方大4 可转化为点P到点M的距离等于P到AD的距离 由抛物线定义得点P的轨迹为抛物线 答案 D 二 填空题13 如果 1 x2 n 1 x 2n的展开式中x项的系数与x2项的系数之和为40 则n的值等于 解析 1 x2 n的展开式中不含x项 x2项的系数是Cn1 1 x 2n的展开式中x项的系数是C2n1 x2项的系数是C2n2 所以Cn1 C2n1 C2n2 40 解得 n 4 答案 414 与点P 4 3 的距离为5 且在两坐标轴的截距相等的直线方程为 解析 若截距a 0 可设直线方程为 1即x y a 0 由已知 5 可得 a 7 5 若截距a 0 由于OP所在的直线方程为y x 且 OP 5 所求直线方程为y x 综上 所求直线方程为x y 7 5 0或x y 7 5 0或4x 3y 0 答案 x y 7 5 0或x y 7 5 0或4x 3y 0 15 给定两个长度为1的平面向量和 它们的夹角为120 如图所示 点C在以O为圆心的圆弧AB上变动 若 x y 其中x y R 则x y的最大值是 解析 2 x y 2 x2 y2 xy 1 即 x y 2 3xy 1 所以 x y 2 1 3xy 1 32 得x y 2 当且仅当x y 1时等号成立 答案 2 16 直角坐标系中横坐标 纵坐标均为整数的点称为格点 如果函数f x 的图象恰好通过k个格点 则称函数f x 为k阶格点函数 下列函数 f x sin f x x 1 2 3 f x f x log0 6 x 1 其中是一阶格点函数的是 填上所有满足题意的序号 解析 中函数不通过格点 中函数通过格点 1 3 中函数通过多个格点 中函数通过格点 0 0 答案 三 解答题17 已知函数f x Asin x B A 0 0 的一系列对应值如下表 1 根据表格提供的数据求函数f x 的解析式 2 根据 1 的结果 若函数y f kx k 0 的周期为 当x 时 方程f kx m恰有两个不同的解 求实数m的取值范围 解析 1 设f x 的最小正周期为T 得T 2 由T 得 1 又令w F 即 F 解得F f x 2sin 1 2 函数y f kx 2sin 1的周期为 又 k 0 k 3 令t 3x x t 如图 f t sint s在上有两个不同的解的充要条件是s 方程f kx m在x 上恰好有两个不同的解的充要条件是m 1 3 即实数m的取值范围是 1 3 18 某电视台举行电视奥运知识大奖赛 比赛分初赛和决赛两部分 为了增加节目的趣味性 初赛采用选手选一题答一题的方式进行 每位选手最多有5次选题答题的机会 选手累计答对少于3题或答错3题即终止其初赛的比赛 答对题者直接进入决赛 答错题者则被淘汰 已知选手甲答题的正确率为 1 求选手甲可进入决赛的概率 2 设选手甲在初赛中答题的个数为 试写出 的分布列 并求 的数学期望 解析 1 选手甲答3道题进入决赛的概率为 选手甲答4道题进入决赛的概率为 选手甲答5道题进入决赛的概率为 选手甲可进入决赛的概率p 2 依题意 的可能取值为3 4 5 则有P 3 P 4 P 5 因此 有 E 3 19 试求常数a的取值范围 使曲线y ax2 1的所有弦都不能被直线x y 0垂直平分 解析 法一 判别式法曲线y ax2 1关于直线x y 0对称的曲线方程为 x ay2 1 两式相减 得x y a x2 y2 两对称点A B所在的直线方程为y x 代入y ax2 1 得a2x2 ax 1 a 0 由D a2 4a2 1 a 0 解得a 故当a 时曲线上存在两点关于直线x y 0对称 原题要求所有弦都不能被直线垂直平分 那么a 0 法二 基本不等式法设已知曲线上关于直线x y 0对称的两点为A x1 y1 B x2 y2 则将 代入 并注意x1 x2 得将 代入基本不等式 x1 x2 有2 解得a 故当a 时曲线上存在两点关于直线x y 0对称 原题要求所有弦都不能被直线垂直平分 那么a 0 20 已知函数f x tx2 2t2x t 1 x R t 0 1 求f x 的最小值h t 2 若h t 0 当x t时 f x 取最小值f t t3 t 1 即h t t3 t 1 2 令g t h t 2t m t3 3t 1 m 由g t 3t2 3 0 得t 1 t 1 不合题意 舍去 当t变化时 g t g t 的变化情况如下表 g t 在 0 2 内有最大值g 1 1 m h t 1 21 如图 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1 点P在棱BB1上运动 不含B B1两点 1 设 APC1 求cos 的最小值 2 求 APC1的面积S的最小值 解析 法一 1 设PB1 x 0 x 1 则PC1 PA AC1 由余弦定理得cos 令f x cos2 则f x 当0 x 1时 x x 1 0 而 0 令f x 0 得x 于是 当0 x 时 f x 0 f x 单调递增 当 x 1时 f x 0 f x 单调递减 当x 时 f x max f 即cos2 cos cos 的最小值为 2 以D1为原点 D1A1为x轴 D1C1为y轴 D1D为z轴建立空间直角坐标系 设点P 1 1 z 在AC1上任取一点Q 可将点Q的坐标设为 x 1 x x 则 1 1 1 0 0 1 x 1 x x z 要使 最小 必有 得 当x z 时 0 即 又 APC1的面积S 故 APC1的面积S的最小值为 法二 1 设x cos2 则1 x sin2 cos 令t cos2 sin2 t 则cos 4 cos cos 当t 也即sin2 1时 x 时 cos 2 当PQ AC1且PQ BB1时 S APC1达到最小 则PQ为AC1与BB1的公垂线段 由BB1 面AA1C1 则即化为点B1到面AA1C1的距离d 取A1C1中点O 则d B1O S PC1A 22 已知数列 an 中 a1 1 an 1 2an n 1 n N 1 求数列 an 的通项公式 2 记bn 求数列 bn 的前n项的和Tn 3 若对一切n N 恒成立 求非零实数t的取值范围 4 设数列 cn 满足 cn 若cn 1 cn对一切n N 恒成立 求 的最大值 解析 1 法一 an 1 2an n 1 an 2an 1 n 1 1 an 1 an 2an 2an 1 1 an 1 an 1 2an 1 2an 1 2 2 an an 1 1 an an 1 1 为等比数列 且公比q 2 首项a2 a1 1 2 an an 1 1 2 2n 2 2n 1 an an 1 2n 1 1 a2 a1 21 1 a3 a2 22 1 a4 a3 23 1 an an 1 2n 1 1 an a1 21 22 23 2n 1 n 1 n 1 2n 2 n 1 2n n 1 an 2n n 法二 an 1 2an n 1 an 1 1 2an n an 1 n 1 2an n n 2 an n an n 是等比数列 且首项a1 1 2 公比q 2 则an n 2 2n 1 2n an 2n n 2 bn Tn Tn Tn Tn 1 2 2 3 且an 0 tn an 1 tan 0对一切n N 恒成立 若t 0 则tn时正时负 而an 1 tan 0 tn an 1 tan 0不可能对一切n N 恒成立 若t 0 则原不等式等价于an 1 tan 0 即 t 记f n 2 f n 1 2 f n 1 f n 当n 1时 n 2