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概率复习课 第三章概率 第1课时随机事件的概率 基础梳理 一定会发生 一定不会发生 必然事件与不可能事件 可能发生也可能不发生 2 频数与频率在相同的条件S下重复n次试验 观察某一事件A是否出现 称n次试验中为事件A出现的频数 称为事件A出现的频率 由于A发生的次数至少为0 至多为n 因此频率总在0与1之间 即3 概率 1 含义 概率是度量随机事件发生的的量 2 与频率联系 对于给定的随机事件A 事件A发生的频率随着试验次数的增加稳定于因此可以用来估计概率P A 事件A出现的次数 事件A出现的比例 可能性大小 频率 题型一事件与随机事件的概念问题例1判断以下现象是否为随机现象 1 某路口单位时间内发生交通事故的次数 2 四边形的内角之和为360 3 某同学竞选学生会主席的成功性 4 姚明在每场篮球比赛中所得的分数 5 太阳明天会西升东落 分析判断一个现象是否为随机现象 关键是看这一现象发生的可能性 若一定发生或一定不发生 则它就不是随机现象 否则是随机现象 典例分析 解 1 3 4 是随机现象 2 5 不是随机现象 1 指出下列事件是必然事件 不可能事件还是随机事件 1 如果a b 那么a b 0 2 某射手射击一次 击中10环 3 在一个三角形中 大边对的角小 小边对的角大 4 将一枚硬币连掷三次 结果出现三次正面 5 从分别标有号码1 2 3 4 5的5张标签中任取一张 得到4号签 6 导体通电后 发热 解析 1 6 是在相应的条件下一定会发生的事件 为必然事件 2 4 5 是在相应的条件下可能发生也可能不发生的事件 为随机事件 3 是有相应的条件下不可能发生的事件 为不可能事件 题型二随机事件的概率问题例2某地区近5年出生婴儿的调查表如下 完成该地区近5年出生婴儿的调查表 并分别求出生男孩和生女孩概率的近似值 分析利用公式 依次算出频率值 用频率估计男孩 女孩出生的概率 解 2 某批乒乓球产品质量检查结果如下表所示 1 计算表中乒乓球优等品的频率 2 从这批乒乓球产品中任取一个 质量检查为优等品的概率是多少 结果保留到小数点后三位 解析 1 依据公式可算出表中乒乓球优等品的频率依次为0 900 0 920 0 970 0 940 0 954 0 951 2 由 1 知 抽取的球数n不同 计算得到的频率值虽然不同 但却都在常数0 950的附近摆动 所以抽取一个乒乓球检测时 质量检查为优等品的概率为0 950 第2课时概率的意义 基础梳理 可能性 规律性 公平 使得样本出现的可能性最大 规律性 题型一正确理解概率的意义例1某种病的治愈率是0 3 那么 前7个人没有治愈 后3个人一定能治愈吗 该如何理解治愈率是0 3呢 分析概率反映了事件发生的可能性的大小 解如果把治疗一个病人作为一次试验 治愈率是30 指随着试验次数的增加 即治疗的病人数量的增加 大约有30 的人能够治愈 对于一次试验来说 其结果是随机的 因此前7个人没治愈是可能的 对后3个人来说 其结果仍然是随机的 即有可能治愈 也有可能没有治愈 治愈的概率是0 3 是指如果患病的人有1000人 那么我们根据 治愈的频率应在治愈的概率附近摆动 这一前提 就可以认为这1000人中 大约有300人能治愈 这个事先估计对于医药卫生部门是很有参考价值的 这也进一步说明了随机事件的概率只是反映了在大量重复试验条件下 随机事件发生的频率的稳定性 典例分析 解析 这种说法是不对的 虽然每次掷骰子出现6点的概率是 但连续掷6次骰子不一定会1 2 3 4 5 6各出现一次 可能出现某个数的次数多一些 其他的数少一些 这正好体现了随机事件发生的随机性 但随着试验次数的增加 出现1 2 3 4 5 6各数的频率大约相等 即都为试验次数的左右 一个骰子掷一次得到6的概率是 这说明一个骰子掷6次会出现一次6 这种说法对吗 请说明你的理由 题型二概率在现实生活中的应用例2设有外形完全相同的两个箱子 甲箱有99个白球1个黑球 乙箱有1个白球99个黑球 今随机地抽取一箱 再从取出的一箱中抽取一球 结果取得白球 问这球是从哪一个箱子中取出的 分析此类问题作出判断的依据是 样本发生的可能性最大 解甲箱中有99个白球1个黑球 故随机地取出一球 得白球的可能性是 乙箱中有1个白球99个黑球 从中任取一球 得到白球的可能性是 由此可见 这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多 由极大似然法 既然在一次抽样中抽到白球 当然可以认为是由概率大的箱子中抽出的 所以我们作出统计推断 该球是从甲箱中抽出的 2 在使用计算机输入法时 英语中某些字母出现的概率远远高于另一些字母 进一步深入研究之后 人们还发现各字母被使用的频率相当稳定 下面就是英文字母使用频率的一份统计表 请你用概率的知识解释一下计算机键盘设计成现在形状的原因 解析 从表中可以看出 空格键的使用频率最高 鉴于此 人们在设计键盘时 空格不仅最大 而且放在了使用最方便的位置 同理 其他的字母键的排列也是按其使用的频率的大小来放置的 第3课时概率的基本性质 基础梳理 发生 一定发生 包含不可能事件 相等 A B BA或AB 事件A发生或事件B发生 事件A发生且事件B发生 不可能事件 不可能事件 必然事件 0 P A 1 必然事件 不可能事件 P A P B 1 0 题型一互斥事件与对立事件的判断例1从40张扑克牌 红桃 黑桃 方块 梅花点数从1 10各10张 中任取1张 判断下列给出的每对事件是否为互斥事件 是否为对立事件 并说明理由 1 抽出红桃 与 抽出黑桃 2 抽出红色牌 与 抽出黑色牌 3 抽出牌的点数为5的倍数 与 抽出牌的点数大于9 分析利用互斥事件和对立事件的定义进行判断 解 1 是互斥事件 不是对立事件 理由是 从40张扑克牌中任意抽取1张 抽出红桃 和 抽出黑桃 是不可能同时发生的 所以是互斥事件 同时 不能保证其中必有一个发生 这是由于还可能抽出 方块 或者 梅花 因此二者不是对立事件 2 既是互斥事件 又是对立事件 理由是 从40张扑克牌中任意抽取1张 抽出红色牌 与 抽出黑色牌 两个事件不可能同时发生 且其中必有一个发生 因此它们既是互斥事件 又是对立事件 典例分析 3 不是互斥事件 当然不可能是对立事件 理由是 从40张扑克牌中任意抽取1张 抽出牌的点数为5的倍数 与 抽出牌的点数大于9 这两个事件可能同时发生 如抽得点数为10 因此 二者不是互斥事件 当然不可能是对立事件 1 某县城有甲 乙两种报纸供居民订阅 记事件A为 只订甲报 事件B为 至少订一种报 事件C为 至多订一种报 事件D为 不订甲报 事件E为 一种报纸也不订 判断下列各对事件是不是互斥事件 如果是 再判断它们是不是对立事件 1 A与C 2 B与E 3 B与D 4 B与C 5 C与E 解析 1 由于事件C 至多订一种报 中可能只订甲报 即事件A与事件C有可能同时发生 故A与C不是互斥事件 2 事件B 至少订一种报 与事件E 一种报纸也不订 是不可能同时发生的 故B与E是互斥事件 由于事件B发生可导致事件E一定不发生 且事件E发生会导致事件B一定不发生 故B与E是对立事件 3 事件B 至少订一种报 中有可能只订乙报 即有可能不订甲报 也就是说事件B发生 事件D也可能发生 故B与D不是互斥事件 4 事件B 至少订一种报 中有这些可能 只订甲报 只订乙报 订甲 乙两种报 事件C 至多订一种报 中有这些可能 一种报纸也不订 只订甲报 只订乙报 由于这两个事件可能同时发生 故B与C不是互斥事件 5 由 4 的分析 事件E 一种报纸也不订 是事件C的一种可能 事件C与事件E有可能同时发生 故C与E不是互斥事件 题型二互斥事件与对立事件的概率例2如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张 那么取到红心 事件A 的概率是 取到方片 事件B 的概率是 问 取到红色牌 事件C 的概率是多少 取到黑色牌 事件D 的概率是多少 分析两互斥事件并的概率等于这两个事件的概率的和 即P A B P A P B 两对立事件的概率的和为1 即P A P 1 故P A 1 P 解 1 因为取到红心 事件A 与取到方片 事件B 不能同时发生 所以A与B是互斥事件 且有C A B 故由互斥事件的概率的加法公式得P C P A B P A P B 2 因为当取一张牌时 取到红色牌 事件C 与取到黑色牌 事件D 不可能同时发生 所以C与D也是互斥事件 又由于事件C与事件D必有一者发生 即C D为必然事件 所以C与D互为对立事件 所以P D 1 P C 2 回答问题 1 全运会中某省派出两名乒乓球运动员参加单打比赛 她们夺取冠军的概率分别是和 则该省夺取该项比赛冠军的概率是吗 为什么 2 某战士射击一次 击中环数大于7的概率为0 6 击中环数是6或7或8的概率为0 3 则该战士击中环数大于5的概率是0 6 0 3 0 9 这种说法对吗 为什么 例3在数学考试中 小明的成绩在90分以上的概率是0 18 在80 89分的概率是0 51 在70 79分的概率是0 15 在60 69分的概率是0 09 在60分以下的概率是0 07 计算 1 小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率 2 小明考试及格的概率 分析小明的成绩在80分以上可以看作是互斥事件 80 89分 和 90分以上 的并事件 小明考试及格可看作是 60 69分 70 79分 80 89分 90分以上 这几个彼此互斥的事件的并事件 又可看作 不及格 的对立事件 2 方法一 小明考试及格的概率为P B C D E P B P C P D P E 0 18 0 51 0 15 0 09 0 93 方法二 小明考试不及格的概率是0 07 所以小明考试及格的概率是P A 1 0 07 0 93 答 小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率是0 69 考试及格的概率是0 93 3 一盒中装有各色球12个 其中5个红球 4个黑球 2个白球 1个绿球 从中随机取出1球 求 1 取出1球是红球或黑球的概率 2 取出的1球是红球或黑球或白球的概率 解析 从盒中任取1球 记事件 得到红球 得到黑球 得到白球 得到绿球 分别为A B C D 则P A P B P C P D 1 因为 得到红球 与 得到黑球 互斥 由加法公式 得P A B P A P B 2 取出1球是红球或黑球或白球 的对立事件是 取得1绿球 即该事件概率P 1 P D 第4课时古典概型 基础梳理 试验结果 互斥的 基本事件 只有有限个 可能性相等 题型一基本事件的计数问题例1连续掷3枚硬币 观察落地后这3枚硬币是出现正面还是反面 写出这个试验的所有基本事件 2 恰有两枚正面朝上 这一事件包含哪几个基本事件 分析该问题属于古典概型 每一个基本事件是等可能的 解 1 基本事件有 正 正 正 正 正 反 正 反 正 反 正 正 正 反 反 反 正 反 反 反 正 反 反 反 2 恰有两枚正面朝上 包含以下3个基本事件 正 正 反 正 反 正 反 正 正 典例分析 3 古典概型的概率公式对于任何事件A 1 一只口袋内装有大小相同的5只球 其中3只白球 2只黑球 从中一次摸出2只球 1 共有多少个基本事件 2 两只都是白球 包含几个基本事件 解析 1 分别标记白球为1 2 3号 黑球为4 5号 有以下基本事件 1 2 1 3 1 4 1 5 2 3 2 4 2 5 3 4 3 5 4 5 共10个 2 两只都是白球 包括 1 2 1 3 2 3 三个基本事件 题型二古典概型概率的求法例2先后抛掷两枚骰子 观察向上的点数 问 1 共有多少种不同的结果 2 所得点数之和是3 的概率是多少 3 所得点数之和是3的倍数 的概率是多少 分析求古典概型概率先要求得试验所含的基本事件总数 再计算所求事件中所含基本事件数 利用古典概型的概率公式便可得解 解 1 将骰子抛掷一次 它出现6种结果 先后抛掷两枚骰子 第一枚骰子出现6种结果 对每一种结果 第二枚又有6种可能结果 于是一共有6 6 36种不同的结果 2 事件 所得点数之和是3 记为A 共有两种结果 第一枚点数为1 第二枚点数为2 和 第一枚点数为2 第二枚点数为1 故所求概率为P A 3 第一枚抛掷向上的点数为1 2 3 4 5 6这6个数中的某一个 第二枚抛掷时都可以有两种结果使两枚向上的点数和为3的倍数 例如 第一枚向上的点数为4 则当第二枚向上的点数为2或5时 两枚的点数之和都为3的倍数 于是共有6 2 12种不同的结果 因为抛掷两枚得到的36种结果是等可能出现的 记 向上的点数之和是3的倍数 为事件A 则事件A的结果有12种 故所求的概率为P A 2 抛掷两颗骰子 求 1 点数之和是4的倍数 的概率 2 点数之和大于5小于10 的概率 解析 抛掷两颗骰子 基本事件总数为36 但所求事件的基本事件个数不易把握 很容易出现遗漏或重复 故可借助直观图形 以便更准确地把握基本事件个数 于是 作图 如图 从图中容易看出基本事件与所描点一一对应 共36种 1 记 点数之和是4的倍数 为事件A 从图中可以看出 事件A包含的基本事件共有9个 1 3 2 2 3 1 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 6 6 所以P A 2 记 点数之和大于5小于10 为事件B 从图中可以看出 事件B包含的基本事件共有20个 即 1 5 2 4 3 3 4 2 5 1 1 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 1 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 3 6 4 5 5 4 6 3 所以P B 题型三复杂概型的概率计算例3从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛 1 求 所选3人都是男生 的概率 2 求 所选3人中恰有1名女生 的概率 3 求 所选3人中至少有1名女生 的概率 解男生编号为1 2 3 4号 女生编号为5 6号 从6个人中选3人的方法有 1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 2 6 2 3 4 2 3 5 2 3 6 3 4 5 3 4 6 4 5 6 1 3 4 1 3 5 1 3 6 1 4 5 1 4 6 1 5 6 2 4 5 2 4 6 2 5 6 3 5 6 共20种方法 1 所选3人都是男生 有 1 2 3 1 2 4 2 3 4 1 3 4 共4种方法 故 所选3人都是男生 的概率为 2 所选3人中恰有1名女生 有 1 2 5 1 2 6 2 3 5 2 3 6 3 4 5 3 4 6 1 3 5 1 3 6 1 4 5 1 4 6 2 4 5 2 4 6 共12种方法 故 所选3人中恰有1名女生 的概率为 3 所选3人中恰有2名女生 有 1 5 6 2 5 6 3 5 6 4 5 6 共4种方法 则 所选3人中至少有1名女生 的方法共有12 4 16 种 所以 所选3人中至少有1名女生 的概率为 3 在大小相同的6个球中 2个是红球 4个是白球 若从中任意选取3个 则 所选的3个球中至少有1个红球 的概率是多少 解析 设白球标号为1 2 3 4 红球标号为5 6 从6个球中任选三球包括 1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 2 6 1 3 4 1 3 5 1 3 6 1 4 5 1 4 6 1 5 6 2 3 4 2 3 5 2 3 6 2 4 5 2 4 6 2 5 6 3 4 5 3 4 6 3 5 6 4 5 6 共20种 其中 至少有1个红球 的情形包括 1 2 5 1 2 6 1 3 5 1 3 6 1 4 5 1 4 6 1 5 6 2 3 5 2 3 6 2 4 5 2 4 6 2 5 6 3 4 5 3 4 6 3 5 6 4 5 6 共16种 所以 所选3个球中至少有1个红球 的概率为 第5课时 整数值 随机数 randomnumbers 的产生 基础梳理 大小形状 充分搅拌 确定算法 周期性 周期 随机数 真正的随机数 题型一用随机模拟法估计概率例1用模拟试验的方法 估计抛掷硬币正面向上的情况出现的概率 分析方法一 用计算器产生 0 1 之间的随机数 如果这个随机数在0 0 5之间 则认为硬币正面朝上 如果这个随机数在0 5 1之间 则认为硬币正面朝下 记下正面朝上的频数及试验总次数 就可以得到正面朝上的频率了 方法二 利用随机函数产生从整数0到整数1的随机数 记0为正面向上 1为反面向上 分别统计0和1出现的次数 然后计算频率 典例分析 解方法一 计算器模拟抛掷硬币的试验结果见下表 通过上表可以看出 正面向上的频率在0 5附近变动 故所求概率为0 5 由此可见 正面向上的概率为0 5 1 在一个袋中装有红 黄 蓝三个大小相同 颜色不同的小球 求摸一次摸中红球的概率 题型二用随机模拟法解决实际问题例2在一次抽奖活动中 中奖者必须从一个箱子中取出一个数字来决定他获得什么奖品 5种奖品的编号如下 一次欧洲旅行 一辆摩托车 一组高保真音响 一台数字电视 一台微波炉 用模拟方法估计 1 他获得去欧洲旅行 的概率是多少 2 他获得高保真音响或数字电视 的概率是多少 3 他不获得微波炉 的概率是多少 分析5种奖品被抽得的可能性相同 这是古典概型问题 我们可以用抽签法 随机数表法或用计算机产生整数随机数模拟 解设事件A 他获得去欧洲旅行 事件B 他获得高保真音响或数字电视 事件C 他不获得微波炉 1 用计算器的随机函数RAND 1 5 或计算机的随机函数RANDBETWEEN 1 5 产生1到5之间的整数随机数表示它获得的奖品号码 2 统计试验总次数N及其中1出现的次数 出现3或4的次数 出现5的次数 解析 利用计算器或计算机产生0到9之间取整数值的随机数 我们用0代表不成活 1至9的数字代表成活 这样可以体现成活率是0 9 因为是种植5棵 所以每5个随机数作为一组 可产生30组随机数 698016609777124229617423531516297472494557558652587413023224374454434433315271202178258555610174524144134922017036283005949765617334783166243034401117 3 计算频率 即分别为事件A B C的概率的近似值 2 种植某种树苗 成活率为0 9 若种植这种树苗5棵 求恰好成活4棵的概率 这就相当于做了30次试验 在这些数组中 如果恰有一个0 则表示恰有4棵成活 共有9组这样的数 于是我们得到种植5棵这样的树苗恰有4棵成活的概率为 第6课时几何概型 基础梳理 构成该事件区域的长度 面积或体积 成比例 概率模型 无限多 相等 题型一与长度有关的几何概型问题例1平面上画了一些彼此平行且相距2a的平行线 把一枚半径r a的硬币任意投掷在这平面上 求硬币不与任一条平行线相碰的概率 分析把问题转化为圆心到平行线的距离 从而找到问题的突破口 解方法一 设事件A 硬币不与任一直线相碰 为了确定硬币的位置 由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM 垂足为M 如图 显然OM的取值范围是 0 a 当线段OM的长度满足r OM a时 硬币不与平行线相碰 这时OM的长度就是构成事件A的区域长度 故P A 典例分析 方法二 如图 在两相邻平行线间画出与平行线间距为r的两平行虚线 则当硬币中心落在两虚线间时 与平行线不相碰 故P A 1 取一根长为3m的绳子 拉直后在任意位置剪断 那么 剪得两段的长都不少于1m 的概率有多大 解析 如图 记 剪得两段绳长都不小于1m 为事件A 把绳子三等分 于是当剪断位置处在中间一段上时 事件A发生 由于中间一段的长度等于绳长的 所以事件A发生的概率P A 题型二与角度有关的几何概型问题例2如图 在等腰直角三角形ABC中 过直角顶点C在 ACB内部作一条射线CM 与线段AB交于点M 求AM AC的概率 分析 1 设等腰直角三角形各边长数值一定 AM的长度取决于 ACM扫过的度数 故该题型是与角度有关的几何概型 2 要使AM AC 可先找到AM AC时 ACM的度数 再找出相应的区域角 利用几何概型的概率公式求解即可 解在AB上取AC AC 则 ACC 67 5 设A 在 ACB内部作一条射线CM 与线段AB交于点M AM AC 则所有可能结果的区域角度为90 事件A的区域角度为67 5 故P A 2 如图 在圆心角为90 的扇形中 以圆心O为起点作射线OC 求使得 AOC和 BOC都不小于30 的概率 解析 设事件A为 AOC和 BOC都不小于30 则事件A表示区域角度为30 所有可能结果的区域为90 所以P A 题型三与面积有关的几何概型问题例3在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板 上面画了小 中 大三个同心圆 半径分别为2cm 4cm 6cm 某人站在3m之外向此板投镖 设投镖击中线上或没有投中木板都不算 可重投 问 1 投中大圆内的概率是多少 2 投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少 3 投中大圆之外的概率是多少 分析飞镖落点区域是边长为16cm的正方形 而需击中区域为三个不同的圆面 故该题型为与面积有关的几何概型问题 解答本题只需分别计算各区域的面积 以公式求解即可 解则 1 投中大圆的概率 2 投中小圆与中圆形成的圆环的概率为 3 投中大圆之外的概率为 3 射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环 从外向内为白色 黑色 蓝色 红色 靶心是金色 金色靶心叫 黄心 奥运会的比赛靶面直径为122cm 靶心直径为12 2cm 运动员在70m外射箭 假设射箭都能中靶 且射中靶面内任一点都是等可能的 那么射中黄心的概率为多少 解析 在该试验中 射中靶面上每一点都是一个基本事件 一点可以是靶面直径为122cm的大圆内的任意一点 记 射中黄心 为事件B 由于中靶点随机地落在面积为14 的大圆内 而当中靶点落在面积为14 的黄心内时 事件B发生 于是事件B发生的概率为P B 0 01 即射中黄心的概率是0 01 题型四与体积有关的几何概型问题例4在1升高产小麦种子中混入了1粒带麦锈病的种子 从中随机取出10毫升 则 取出的种子中含有麦锈病的种子 的概率是多少 分析带麦锈病的种子在这1升种子中的分布可以看作是随机的 取得的10毫升种子可视作构成事件的区域 1升种子可视作试验的所有结果构成的区域 可用 体积比 公式来计算概率 解取出10毫升种子 其中 含有麦锈病种子 记为事件A 则P A 0 01 故 含有麦锈病种子 的概率为0 01 4 在500mL的水中有一个草履虫 现从中随机取出2mL水样放到显微镜下观察 求发现草履虫的概率 解析 由于草履虫在水中什么位置是随机的 而取水样也具有随机性 所以取哪一部分水样的可能性都相等 所以取到草履虫的概率只与所取水样的体积有关 这符合几何概型的条件 记事件A 在取出的2mL水样中有草履虫 由几何概率公式得 P A 第7课时均匀随机数的产生 基础梳理 RAND rand 随机模拟 计算机产生随机数模拟试验 题型一用随机模拟估计长度型几何概率例1取一根长度为3m的绳子 拉直后在任意位置剪断 那么剪得两段的长都不小于1m 的概率有多大 分析在任意位置剪断绳子 则剪断位置到一端点的距离取遍 0 3 内的任意数 并且每一个实数被取到都是等可能的 因此在任意位置剪断绳子的所有结果 基本事件 对应 0 3 上的均匀随机数 其中取得的 1 2 内的随机数就表示剪断位置与端点距离在 1 2 内 也就是剪得两段长都不小于1m 这样取得的 1 2 内的随机数个数与 0 3 内的随机数个数之比就是事件A发生的频率 解方法一 1 利用计算器或计算机产生一组 0 1 区间的均匀随机数 RAND 2 经过伸缩变换 a 3 3 统计出 1 2 内随机数的个数和 0 3 内随机数的个数N 4 计算频率 即为概率P A 的近似值 典例分析 方法二 做一个带有指针的圆盘 把圆周三等分 标上刻度 0 3 这里3和0重合 转动圆盘记下指针指在 1 2 表示剪断绳子的位置在 1 2 范围内 的次数及试验总次数N 则即为概率P A 的近似值 1 在长为12cm的线段AB上任取一个点M 并以线段AM为边作正方形 试求这个正方形的面积介于36与81之间的概率 解析 正方形的面积只与边长有关 此题可以转化为在12cm长的线段上取一点M 求使得AM的长度介于6cm与9cm之间的概率 1 用计算机产生一组 0 1 内均匀随机数 RAND 2 经过伸缩变换a 12得到 0 12 内的均匀随机数 3 统计试验总次数N和 6 9 内随机数的个数 4 计算频率 记事件A 面积介于36与81之间 边长介于6cm与9cm之间 则P A 的近似值为 题型二用随机模拟法估计面积型几何概率例2如图所示 在墙上挂着一块边长为16c