平面力系(工程力学).ppt

第2章平面力系 2 1平面任意力系的简化 2 2平面力系的平衡方程及其应用 2 3静定与超静定问题物系的平衡 2 4考虑摩擦时的平衡问题 2 0平面任意力系引论 小结 平面力系 力系中各力的作用线都在同一平面内 可化为平面力系的空间力系条件 1 构件具有一对称平面 2 力系的分布又对称于此平面 2 0平面任意力系引论 平面力系的分类 1 平面汇交力系 各个力的作用线都汇交于一点 2 平面平行力系 各个力的作用线都相互平行 3 平面力偶系 平面内各个力组成了一组力偶 4 平面任意力系 各个力的作用线在平面内任意分布 2 0平面任意力系引论 2 1平面任意力系的简化 2 1 1平面任意力系向一点简化 1 主矢 平面汇交力系各力的矢量和 在平面直角坐标系oxy中 根据合力投影定理有 2 1平面任意力系的简化 主矢大小 主矢方向 注意 1 主矢方向角 是与x轴夹的锐角 的指向由和的正负号决定 2 主矢与简化中心O位置的选择无关 2 主矩 附加平面力偶系的合力偶 注意 1 一般情况下主矩与简化中心O位置的选择有关 2 原力系与主矢和主矩的联合作用等效 2 1平面任意力系的简化 3 结论 平面力系向一点 简化中心 简化的一般结果是一个力和一个力偶 这个力作用于简化中心 称为原力系的主矢 它等于原力系中所有各力的矢量和 这个力偶称为原力系对简化中心的主矩 它等于原力系中所有各力对于简化中心力矩的代数和 2 1平面任意力系的简化 2 1 2简化结果的讨论 1 主矢 主矩 一般情况 合力的大小 方向与主矢相同 合力的作用线与简化中心O点的垂直距离 2 1平面任意力系的简化 2 主矢 主矩 作用于简化中心的主矢就是原力系的合力 简化中心O恰好选在了原力系的合力的作用线上 2 1平面任意力系的简化 3 主矢 主矩 原力系简化的最后的结果为一个力偶 主矩 此力偶称为平面力系的合力偶 因此 主矩与简化中心的位置无关 2 1平面任意力系的简化 4 主矢 主矩 原力系合成为零力系 则原力系是平衡力系 平面任意力系平衡的必要和充分条件为 主矢 主矩 2 1平面任意力系的简化 例2 1一端固定于墙内的管线上受力情况及尺寸如图2 3a所示 已知F1 600N F2 100N F3 400N 试分析力系向固定端A点的简化结果 并求该力系的合力 解 力系向A点简化的主矢为 N N N F F F F x Rx 8 382 45 cos 400 100 45 cos 3 2 N N N F F F Ry Rx R 2 962 8 882 8 382 2 2 2 2 N N N F F F F y Ry 8 882 45 sin 400 600 45 sin 3 1 2 1平面任意力系的简化 主矢指向第三象限 力系向A点简化的主矩MA为 主矩MA方向为顺时针 主矢和主矩MA继续简化可得到力系的合力 合力与主矢的大小相等 方向相同 作用线与A点的垂直距离 m 2 2平面力系的平衡方程及其应用 2 2 1平面任意力系的平衡方程 1 平面任意力系平衡方程的基本形式 平面任意力系平衡的必要和充分条件为 主矢 主矩 2 平面任意力系平衡方程的其它形式 二矩式 附加条件 投影轴x 或y 不能与矩心A B两点的连线相垂直 2 2平面力系的平衡方程及其应用 问题 在应用平面力系二矩式平衡方程时 所选择的矩心A B 投影轴x为什么要满足附加条件 如右图所示 一刚体只受一个力F作用 显然刚体不平衡 二矩式平衡方程不能成立 若所选的矩心A B和投影轴x 违背附加条件的要求 则二矩式平衡方程也成立 因此就出现了错误 所以 在使用二矩式平衡方程时 选择矩心和投影轴时必须满足附加条件 即 投影轴不能与矩心A B两点的连线相垂直 2 2平面力系的平衡方程及其应用 三矩式 附加条件 矩心A B C三点不能在一条直线上 问题 在应用平面力系三矩式平衡方程时 矩心A B C三点为什么要满足附加条件 如果一刚体只受一个力F作用 显然刚体不平衡 三矩式平衡方程不能成立 若在选择矩心时 违背附加条件的要求 即 A B C选在一条直线上 如右图所示 则三矩式平衡方程也成立 因此就出现了错误 所以 在使用三矩式平衡方程时 三矩心的选择必须满足附加条件 即 三点不能在一条直线上 2 2平面力系的平衡方程及其应用 2 2 2解题步骤与方法 例2 2如图2 4 a 所示 已知 梁长l 2m F 100N 求固定端A处的约束力 解 1 取梁AB为分离体 画受力图AB梁受到已知力F和固定端A点的约束力FAx FAy 约束力偶MA作用为一平面任意力系 2 选择直角坐标系Axy 矩心A点 列平衡方程 2 2平面力系的平衡方程及其应用 3 求解未知量将已知条件代入以上平衡方程解得 4 校核 选择B点为矩心 重新计算约束力偶MA 所以计算结果正确 计算结果为正值说明未知力实际方向与图 b 中的方向相同 2 2平面力系的平衡方程及其应用 解题方法与步骤 1 确定研究对象 画其受力图 注意 一般应选取有己知力和未知力共同作用的物体为研究对象 取出分离体画受力图 2 选取投影坐标轴和矩心 列平衡方程 注意 1 由于坐标轴和矩心的选择是任意的 在选择时应遵循以下 原则 1 坐标轴应与尽可能多的未知力垂直 或平行 2 矩心应选在较多未知力的汇交点处 2 列平衡方程时要注意力的投影和力矩的 号 3 解平衡方程 求得未知量 4 校核 2 2平面力系的平衡方程及其应用 例2 3悬臂吊车如图所示 横梁AB长l 2 5m 自重G1 1 2kN 拉杆CD倾斜角 30 自重不计 电葫芦连同重物共重G2 7 5kN 当电葫芦在图示位置时平衡 a 2m 试求拉杆的拉力和铰链A的约束力 解1 选取横梁AB为研究对象 画受力图 2 选取投影坐标轴xAy和矩心A 列平衡方程 2 2平面力系的平衡方程及其应用 4 校核 讨论 校核 若取B点为矩心 列力矩方程 解得FAy 2 1kN 或 取C点为矩心 列力矩方程 解得FAx 11 43kN 说明以上计算结果正确 讨论 通过以上分析可知 1 如果取平衡方程即二矩式 同样可以求解 2 2平面力系的平衡方程及其应用 2 如果取平衡方程即三矩式 同样也可以求解 因此 只要便于解题 平面任意力系平衡方程的三种形式可以任选 2 2 3平面特殊力系的平衡方程 1 平面汇交力系平衡方程 如右图所示 力系中各力对汇交中心O的力矩恒等于零 即 因此 平面汇交力系独立的平衡方程为两个投影方程 即 两个平衡方程只能解两个未知量 2 2平面力系的平衡方程及其应用 2 平面力偶系的平衡方程 平面力偶系平衡的充要条件 力偶系中各力偶矩的代数和等于零 即平面力偶系的平衡方程 只能求解一个未知量 3 平面平行力系平衡方程 如右图所示 很显然力系中各个力在x坐标轴上的投影恒等于零 即因此 平面平行力系独立的平衡方程为 称为基本形式 只能求解两个未知量 也可表示为二矩式 附加条件 矩心A B两点的连线不能与各力的作用线平行 2 2平面力系的平衡方程及其应用 问题 如果不满足附加条件 即矩心A B两点的连线与各力的作用线平行 将会出现什么情况 如右图所示 一平面平行力系 A B两矩心的连线与各个力的作用线平行 于是 若平面平行力系平衡 可建立二矩式平衡方程两个独立的平衡方程就变成了一个独立平衡方程 只能解一个未知量 因此 平面平行力系平衡在应用二矩式平衡方程时 必须满足附加条件 2 2平面力系的平衡方程及其应用 例2 4如图a所示 已知定滑轮一端悬挂一物重G 500N 另一端施加一倾斜角为30 的拉力FT 使物体A匀速上升 求定滑轮支座O处的约束力 解 1 选取滑轮与重物为研究对象 画受力图如图b所示 2 建立直角坐标系Oxy 列平衡方程 3 解方程求未知量 FR为正值 FR实际方向与图中假设方向相同 FR与x轴夹角为60 在第一象限内 2 2平面力系的平衡方程及其应用 例2 5图a所示为一夹具中的连杆增力机构 主动力F作用于A点 夹紧工件时连杆AB与水平线间的夹角 15 试求夹紧力FN与主动力F的比值 摩擦不计 解1 取滑块A为研究对象 画受力图 如图b所示 选取水平方向为x轴 竖直方向为y轴 解得 2 取滑块B为研究对象 画受力图 如图c所示 选取水平方向为x轴 竖直方向为y轴 解得 于是 所以 愈小夹紧力与主动力的比值愈大 增力效果愈明显 2 2平面力系的平衡方程及其应用 例2 6用多孔钻床在一水平放置的工件上同时钻四个直径相同的孔如图a所示 设每个钻头作用在工件上的切削力偶矩的大小为M1 M2 M3 M4 M 15N m 问此时工件受到的总切削力偶矩为多大 若不计摩擦 加工时用两个螺钉A B固定工件 试求螺钉受力 2 求螺钉A B受力 取工件为研究对象 画受力图如图b所示 建立平面力偶系平衡方程求解 FA FB 300N 方向如图所示 螺钉A B受力与FA FB互为作用与反作用力关系 2 2平面力系的平衡方程及其应用 例2 7电动机的功率是通过联轴器传递给工作轴的 联轴器由两个法兰盘和连接两者的螺栓所组成 如图所示 四根螺栓A B C D均匀分布在同一圆周上 圆周直径D 200mm 已知电动机轴传给联轴器的力偶矩M 2 5kN m 设每根螺栓的受力相等 试求螺栓的受力F 解1 取法兰盘为研究对象 画受力图如图所示 2 建立平面力偶系平衡方程 求解 故N 6 25kN 每根螺栓的受力均为F 6 25kN 与法兰盘上四点受力互为作用与反作用力关系 2 2平面力系的平衡方程及其应用 例2 8图a为卧式密闭容器结构简图 设容器总重量沿筒体轴向均匀分布 集度为q 20kN m 容器两端端部折算重力为G 10kN 力矩为M 800kN m 容器鞍座结构可简化为一端为固定铰链支座 另一端为活动铰链支座 容器计算简图如图b所示 试求支座A B的约束力 解1 取容器整体为研究对象 画受力图如图c所示为一平面平行力系 图中q表示均布载荷大小 2 选取坐标系Axy 列平衡方程 2 2平面力系的平衡方程及其应用 均布载荷简介均布载荷 载荷在一定范围内连续均匀分布 载荷集度q 常数 均布载荷一般分为体均布载荷 面均布载荷 线均布载荷 实际中许多均布载荷都可以简化为线均布载荷 其载荷集度q单位为N m或N km 列平衡方程时 常将均布载荷简化为一个集中力F 其大小为 l为载荷作用长度 作用线通过作用长度中点 3 代入已知量 解平衡方程 求得未知量FA FB 210kN 2 2平面力系的平衡方程及其应用 例2 9图a所示为一塔式起重机简图 已知机身重G 700kN 重心与机架中心线距离为4m 最大起重量G1 200kN 最大吊臂长为12m 轨距为4m 平衡块重G2 G2的作用线至机身中心线距离为6m 试求保证起重机满载和空载时不翻倒的平衡块重 若平衡块重为750kN 试分别求出满载和空载时 轨道对机轮的法向约束力 2 2平面力系的平衡方程及其应用 解取整个起重机为研究对象 画受力图 如图所示 空载时 G1 0 解FA 1150kN FB 300kN 2 2平面力系的平衡方程及其应用 结论 为了保证安全 平衡块重必须满足下列条件 425kN G2 1050kN 2 求G2 750kN时 轮轨对机轮的约束力 取整个起重机为研究对象 画受力图 如图b所示 满载时 G1 200kN 解得FA 650kN FB 1000kN 2 2平面力系的平衡方程及其应用 3 校核 满载时 G1 200kN 代入已知量和FA FB 左式成立 空载时 G1 0 代入已知量和FA FB 左式成立 所以 计算结果正确 2 2平面力系的平衡方程及其应用 补充例1如图所示 物重G 20kN 用钢丝绳经过滑轮B再缠绕在铰车D上 杆AB与BC铰接 并以铰链A C与墙连接 设两杆和滑轮的自重不计 并略去摩擦和滑轮的尺寸 求平衡时杆AB和BC所受的力 2 选坐标轴x y列平衡方程 3 求解未知量 kN kN 2 2平面力系的平衡方程及其应用 FBA为负值 表示此力的实际指向与图示相反 AB杆受压力 4 思考题 如果选择投影轴x y水平 垂直 重复以上计算 试比较两种计算有何优缺点 结论 投影轴应尽可能与未知力垂直或平行 以避免解联立方程 2 2平面力系的平衡方程及其应用 补充例2刚性支架的A端嵌固在基础上 C端装有滑轮 如下图所示 绳子一端固定在D点 与水平面成 60 角 另一端吊着重FQ 1000N的重物 已知AD 0 5m DE 1 5m 求支架插入端的支座反力 2 选择坐标轴x y 矩心为A 列平衡方程 解1 取整体为研究对象 画其受力图 请看动画 2 2平面力系的平衡方程及其应用 3 求解未知量 N N N m 4 本题小结 今后遇到带有滑轮的结构 一般不把滑轮拆开 以免增加不需要的未知数 解固定端支座一般采用基本形式的平衡方程组 每个平衡方程都可解一个未知量 不必解联立方程 一般先用字符列平衡方程 最后代入数字 这样能减少计算错误 便于复查 2 3静定与超静定问题物系的平衡 2 3 1静定与超静定问题的概念 1 概念请观察下面两受力图 分析比较两者有什么不同点和相同点 a 图为静定问题 b 图为超静定问题 2 3静定与超静定问题物系的平衡 结论 全部未知量可以由静力平衡方程确定的问题称为静定问题 未知量不可以由静力平衡方程确定的问题称为超静定问题 静定 超静定问题判别 全部未知量数 独立的平衡方程的数目 静定问题 全部未知量数 独立的平衡方程的数目 超静定问题 2 举例试判断以下各图静定与超静定情况 2 3静定与超静定问题物系的平衡 左边三个图为静定问题 右边三个图为超静定问题 2 3静定与超静定问题物系的平衡 2 3 2物体系统的平衡 1 概念 1 物体系统 由两个或两个以上物体以一定的约束方式组成的系统 2 物体系统内力 系统内各物体之间的相互作用力 3 物体系统外力 系统所受的外部约束力 4 物体系统处于平衡状态时 组成该系统的每一个物体必须处于平衡状态 例2 10一静定多跨梁由梁AB和BC用中间铰B连接而成 支承和载荷情况如图所示 已知 F 20kN q 5kN m 45 试求支座A C和中间铰B处的约束反力 2 举例 2 3静定与超静定问题物系的平衡 2 分析各部分受力情况 确定梁AB为研究对象 列平衡方程 解得 kN kN kN 3 取梁AB为研究对象 列平衡方程 2 3静定与超静定问题物系的平衡 解得 FAx 10kN FAy 20kN MA 30kN m 解物系平衡问题的步骤和方法 1 画出物体系统整体和各个物体的分离体和受力图 2 分析各部分受力图 选取静定物体或可求出某个未知量的可解物体为研究对象 列平衡方程 求出未知量 3 选取与上一步静定物体或可解物体相连 有关系 的静定物体为研究对象 求出未知量 4 重复上一步过程 最终求出全部未知量 2 3静定与超静定问题物系的平衡 例2 11等边三角支架由杆AB与杆BC铰接而成 如图所示 在支架上搁置一圆筒重G 2kN 不计杆重 求铰链A B C处的约束力 解1 分别画出圆筒 整体 杆AB的受力图 2 分析各部分受力图 选择圆筒研究 列平衡方程 解得kN 由对称关系得FNE FND 1 414kN 2 3静定与超静定问题物系的平衡 4 取杆AB为研究对象 解得FAx 0 33kN 方向向左 FBx 1 33kN FBy 0 5 取整体为研究对象 列平衡方程 解得kN 方向向右 3 取整体为研究对象 列平衡方程 解得kN 由对称关系得FAy FCy 1kN 2 3静定与超静定问题物系的平衡 例2 12曲柄滑块机构如动画所示 设曲柄OB在水平位置时机构平衡 滑块所受工作阻力为F 已知 不计滑块和杆件的自重 试求作用于曲柄上的力偶矩M和支座O处的约束力 解1 按照力的传递顺序画滑块 连杆 曲柄的受力图 2 3静定与超静定问题物系的平衡 2 取滑块A为研究对象 列平衡方程 解得 3 以曲柄OB为研究对象 列平衡方程 其中 解得 2 4考虑摩擦时的平衡问题 2 4 1滑动摩擦 两个相互接触的物体 在沿着它们接触面的切线相对滑动或有相对滑动趋势时 在接触面上存在着相互阻碍滑动的现象 这种现象称为滑动摩擦 这种相互阻碍滑动的力称为滑动摩擦力 2 4考虑摩擦时的平衡问题 1 静摩擦力 两个接触物体间只有相对滑动趋势时 接触面间产生的摩擦力Ff 静摩擦力作用于两物体在接触点公切面内 方向与两接触面相对滑动的趋势相反 在未达到临界平衡状态时 其大小可在一定范围内 随主动力的变化而变化 数值等于相对滑动趋势方向上的主动力 由平衡方程来确定 2 最大静摩擦力 临界静止状态时 静摩擦力达到最大值Ffm 最大静摩擦力的大小与两接触面间的法向压力FN成正比 这就是库仑定律或静滑动摩擦定律 即 fs是无量纲的比例常数 称为静摩擦因数 它只与两接触物体的材料及接触表面的粗糙程度 温度 湿度等有关 2 4考虑摩擦时的平衡问题 常见材料的滑动摩擦因数 2 4考虑摩擦时的平衡问题 3 动摩擦力 当两接触物体处于相对滑动状态时 接触面间产生的摩擦力 动摩擦力Ff 的大小与接触面之间的法向压力FN成正比 这就是动摩擦定律 即 f为无量纲的比例常数 称为动摩擦因数 它除了与接触面的材料及表面情况等有关外 还与物体间的相对滑动速度有关 它随相对滑动速度的增大而稍有减小 一般可认为是一个常数 精度要求不高时fs f 2 4考虑摩擦时的平衡问题 2 4 2摩擦角与自锁现象 1 摩擦角 摩擦角 最大全约束力与接触面公法线间的夹角 上式表明 摩擦角的正切等于静摩擦因数 这说明摩擦角与静摩擦因数都是表示材料摩擦性质的物理量 只与物体接触面的材料 表面状况等因素有关 也就是说 当接触面确定了静摩擦因数就确定了 摩擦角的大小也就确定了 2 4考虑摩擦时的平衡问题 2 自锁现象 作用于物体上的主动力的合力FP 不论其大小如何 只要其作用线与接触面法线间的夹角 小于或等于摩擦角 f 支承面便会产生一个全反力与之平衡 物体便处于静止状态 这种现象称为自锁 这种与主动力的大小无关 而只和摩擦角有关的平衡条件 f 称为自锁条件 2 4考虑摩擦时的平衡问题 3 摩擦角的应用 静摩擦因数的测定 斜面 螺纹 的自锁条件 斜面的倾角或螺纹的升角 2 4考虑摩擦时的平衡问题 其它 a 在堆放松散的物资如沙 土 煤 粮食时 能够堆起的最大坡度称为休止角 它就是松散物质间的摩擦角 用休止角可以算出一定面积的场地能堆放松散物质的数量 b 自卸货车的车斗能翻转的角度必须大于摩擦角 才能保证货车车斗内的货物倾倒干净 c 铁路或高速公路路基侧面的最大倾角必须小于摩擦角以防止路基滑坡 2 4考虑摩擦时的平衡问题 2 4 3考虑摩擦时物体的平衡问题 方法和步骤与不计摩擦时的平衡问题基本相同 只是在受力分析和建立平衡方程时必须考虑摩擦力 关键在于正确分析摩擦力 注意 如果用全约束力FR来表示接触面的约束力 则受力图上就不应再画摩擦力 例2 13一重量为G的物体放在倾角为 的斜面上 如图a所示 若静摩擦因数为fs 摩擦角为 f f 试求使物体保持静止的水平推力F的大小 解1 设F Fmin 物体处于将向下滑的临界状态 1 取物体处于将向下滑的临界状态研究 画受力图 2 4考虑摩擦时的平衡问题 2 选取坐标轴xy 建立平衡方程和补充方程 3 解方程得 2 设F Fmax 物体处于向上滑动的临界状态 1 取物体处于将向上滑的临界状态研究 画受力图 请看动画 2 选取坐标轴xy 建立平衡方程和补充方程 2 4考虑摩擦时的平衡问题 3 解方程得 3 结论 只有当力F满足以下条件时 物体才能处于平衡 2 4考虑摩擦时的平衡问题 例2 14图2 19a所示为一凸轮滑道机构 在推杆上端C点有载荷F作用 凸轮上有主动力偶矩M作用 设推杆与滑道间的静摩擦因数为fs 凸轮与推杆间有良好的润滑作用 摩擦不计 尺寸a d已知 推杆横截面尺寸不计 为使推杆在图示位置不被卡住 试写出滑道宽度b的计算式 解1 分别取推杆和凸轮为研究对象 画受力图 2 选坐标xy 矩心A和O 建立平衡方程和补充方程 2 4考虑摩擦时的平衡问题 补充方程 3 平衡方程和补充方程联立解得 2 4考虑摩擦时的平衡问题 补充例1如下图所示长l 4m 重G 200N的梯上端B斜靠在光滑的墙上 下