03-03 面积坐标及体积坐标.doc

3-3 面积坐标及体积坐标在研究高次单元时，仍采用直角坐标多项式的位移函数，求解时非常繁杂，为了简化计算，多采用局部坐标。在这一节里介绍一种三角形面积坐标和体积坐标。一、面积坐标1. 定义 在如图3-15所示的三角形单元中，任一点p的位置，它在直角坐标系中可用坐标值(x,y)来确定。 如果连接pi、pj、pm则形成三个小三角形pjm、pmi、pij，当x,y值确定后，则三个小三角形的面积也就确定了。反之，当三个小三角形面积确定后，p点的位置也就确定了。由此可见，三角形单元中任意一点p的位置，除了用直角坐标x,y确定外，还可以用p点与三个节点所形成的三个小三角形的面积来确定。 也就是说，三具小三角形的面积与P点的位置具有一一对应关系，可以做为坐标使用。图3-15 三角形面积坐标以i、j、m分别表示与i、j、m三个节点相对的pjm、pmi、pij三个小三角形的面积，令Li、Lj、Lm分别表示三个小三角形面积与三角形单元面积的比值，即 (3-74)则这三个比值就称为三角形单元中p点的面积坐标。显然，面积坐标有下面的特性：（1） 三个面积坐标并不是互相独立的。由于 所以 (3-75)其中任意一个面积坐标可以用另两个面积坐标来表示。（2） 面积坐标是一种局部坐标这里所引用的面积坐标，只限于用在一个三角形单元之内，在该三角形之外则无定义，因而是一种局部坐标。而以前所用的直角坐标系则是一种整体坐标，即通用于整个变形体。（3） 特殊的点线坐标根据面积坐标定义， 平行于jm边的任一直线上所有各点的面积坐标Li都相等，在图3-15中可看出，在平行于jm边的任一直线上所有各点与jm边所构成的小三角形面积相等，所以该直线上所有各点的面积坐标Li都相等，其值等于该直线至jm边的距离与节点i至jm边的距离的比值。图中给出了Li的一些等值线。同理，平行于mi边和ij边的直线，应分别是Lj和Lm的等值线。 反过来，为一直线方程，代表的是一直线。 特殊点的坐标 三个节点的面积坐标是节点i: Li=1, Lj=0, Lm=0；节点j: Li=0, Lj=1, Lm=0；节点m: Li=0, Lj=0, Lm=1。 等分点处的坐标2. 面积坐标与直角坐标的关系 现在来找出面积坐标与直角坐标之间的关系。小三角形pjm、pmi、pij的面积为 则上式可写成 将上式代入(3-1)式，即得用直角坐标表示面积坐标的关系式 (3-76) 将(3-76)式与(2-8)对比，可见三节点三角形单元中的形函数Ni,Nj,Nm就是其面积坐标Li,Lj,Lm。上式可用矩阵表示 (3-77) 将(3-6)式中的三个式子分别乘以xi,xj,xm然后相加得同理可得 于是，可得到用面积坐标表示的直角坐标式 (3-78)3. 面积坐标函数的运算(1) 面积坐标函数对直角坐标的偏导数设面积坐标的函数为Z=f(Li,Lj,Lm)。由于其中Li,Lj,Lm都是x,y的函数，所以将面积坐标的函数Z对直角坐标x,y求导时， 根据复合函数求导法则进行计算由(3-3)式知， ， ， ， 所以面积坐标函数对直角坐标的偏导数为 (3-79)(2) 面积坐标幂函数在三角形单元上的积分 求面积坐标的幂函数在三角形单元上的积分值时，可应用积分公式 (3-80)例如： (i,j,m) (i,j,m) (i,j,m) 求面积坐标幂函数在三角形单元一条边上的积分值时，可应用积分公式： (i,j,m) (3-81)式中，l为该边长度。(3-80)及(3-81)式可用B函数和函数证明。二、体积坐标1. 定义 和平面问题的面积坐标相似，在四面体1234中(图3-16)，任意一点P的位置可用下列四个比值来确定：图3-16 体积坐标， (3-82)式中 V四面体1234的体积 (a)，分别为四面体P234，P341，P412，P123的体积。可由(a)式变换相应坐标获得。 这四个比值则称为P点的体积坐标。2. 换算和计算由于 V，所以有 (b) 直角坐标和体积坐标之间，符合下列关系： (3-83) 对上式求逆，可用直角坐标表示体积坐标如下： (c)式中ai,bi,ci分别是表面i(角点i对面的表面)在x,y，z平面上的投影面积，实际上它们是(5-83)式中矩阵的相应于xi,yi,zi的代数余子式，例如： 求体积坐标的幂函数