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第八章 空间解析几何与向量代数 通过建立空间直角坐标系把空间几何图形和代数方程联系起来 空间解析几何 向量 既有大小又有方向的量 本章知识也为讨论多元函数微积分立下几何基础 第一节 空间直角坐标系 向量及其线性运算 第七章 一 空间直角坐标系及点的坐标 过空间一定点O 作三条相互垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系 面 面 面 过空间中任一点M作三个平面分别垂直于x轴 y轴和z轴 它们与坐标轴的交点依次为P Q R 这三点在各自坐标轴上的坐标依次为x y z 空间两点间的距离 特别的 证 结论成立 向量 既有大小又有方向的量 向量表示 模为1的向量 零向量 模为0的向量 向量的模 向量的大小 单位向量 二 向量的概念 零向量的方向可以任意规定 如位移 力 速度等 几何上以一条有方向的线段表示 其长度表示向量的大小 大小相等且方向相同的向量视为相等 规定 向量的平行 两向量方向相同或相反 起点可以不一样 三 向量的线性运算 1 加法 或按照三角形法则 根据力学中力与速度的合成 向量求和可按照平行四边形法则规定 向量的加法符合下列运算规律 1 交换律 2 结合律 性质 2 向量与数的乘法 注意 向量的伸缩 向量与数的乘积符合下列运算规律 1 结合律 2 分配律 向量的减法 负向量 例2 设M为 解 如果两个向量平行 则它们之间必存在数乘关系 证明 必要性 向量经过数乘运算后与原向量平行 反之 两式相减 得 上式表明 一个非零向量除以它的模就得到与原向量同方向的单位向量 由上述定理可知 向量的夹角 类似可定义向量与轴 轴与轴的夹角 空间一点在轴上的投影 向量在轴上的投影 空间一向量在轴上的投影 关于向量投影的性质 1 证 关于向量投影的性质 2 四 向量的坐标 正如在物理学中力和速度的分解一样 向量也可以分解 由此引进向量的坐标概念 向量沿坐标轴方向的分解 向量的坐标就是向量在三条坐标轴上的投影值 容易证明 向量与其坐标一一对应 特别的 如果向量的起点在原点o 则 与其终点M的坐标一致 所以要求一个向量的坐标 可将其起点移至坐标原点 直接求终点的坐标即可 利用坐标作向量的线性运算 根据向量加法的交换律 结合律 数乘的结合律 分配律 所以对向量进行加减和数乘运算 只需对向量的各个坐标进行相应的运算 当分母为零时分子也为零 所以两个向量平行的条件是其对应的坐标成比例 解 向量模的坐标表示式 向量的方向 非零向量与三条坐标轴正向的夹角称为向量的方向角 向量的方向角的余弦称为其方向余弦 所以由向量的方向余弦所构成的向量就是与原向量同方向的单位向量 解 解 要点 第一节 空间直角坐标系 向量及其线性运算 空间直角坐标系及点的坐标 空间两点间的距离 两个向量平行的充要条件是它们之间存在数乘关系 非零向量除以它的模就得到与原向量同方向的单位向量 向量及其加法与数乘运算 向量的坐标 向量沿坐标轴方向的分解 向量
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