高二数学证明线面平行.ppt

用空间向量证 解 立体几何题之 五 证明线面平行 用空间向量证 解 立体几何题是现阶段的热门话题 它可以把一些复杂的证明或计算题用 程序化 的计算来给出解答 前段时间我们研究了用空间向量求角 包括线线角 线面角和面面角 求距离 包括线线距离 点面距离 线面距离和面面距离 和证明垂直 包括线线垂直 线面垂直和面面垂直 用空间向量证明 平行 包括线面平行和面面平行 M N 例1 如图 ABCD与ABEF是正方形 CB 平面ABEF H G分别是AC BF上的点 且AH GF 求证 HG 平面CBE P o z y 证明 由已知得 AB BC BE两两垂直 故可建立如图所示的空间直角坐标系o xyz x 设正方形边长为1 AH FG a 则H 0 1 a a G 1 a 1 a 0 故 而平面CBE的法向量为 0 1 0 故 而平面CBE故HG 平面CBE R 例2 在正方体ABCD A1B1C1D1中 P Q分别是A1B1和BC上的动点 且A1P BQ M是AB1的中点 N是PQ的中点 求证 MN 平面AC 作PP1 AB于P1 作MM1 AB于M1 连结QP1 作NN1 QP1于N1 连结M1N1 N1 M1 P1 NN1 PP1MM1 AA1 z y x o 证明 建立如图所示的空间直角坐标系o xyz 设正方形边长为2 又设A1P BQ 2x 则P 2 2x 2 Q 2 2x 2 0 故N 2 x 1 x 1 而M 2 1 1 例3 在正方体ABCD A1B1C1D1中 求证 平面A1BD 平面CB1D1 于是平面A1BD 平面CB1D1 o z y x 证明 建立如图所示的空间直角坐标系o xyz 同理可得平面CB1D1的法向量为 则显然有 通过本例的练习 同学们要进一步掌握平面法向量的求法 即用平面内的两个相交向量与假设的法向量求数量积等于0 利用解方程组的方法求出平面法向量 在解的过程中可令其中一个未知数为某个数 例1 2与例3在利用法向量时有何不同 例4 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F G H分别是A1B1 B1C1 C1D1 D1A1的中点 求证 平面AEH 平面BDGF 故得平面AEH 平面BDGF o z y x 略证 建立如图所示的空间直角坐标系o xyz 则求得平面AEF的法向量为 求得平面BDGH的法向量为 显然有 故平面AEH 平面BDGF 小结 利用向量的有关知识解决一些立体几何的问题 是近年来很 时髦 的话题 其原因是它把有关的 证明 转化为 程序化的计算 本课时讲的内容是立体几何中的证明 线面平行 的一些例子 结合我们以前讲述立体几何的其他问题 如 证明垂直 求角 求距离等 大家从中可以进一步看出基中一些解题的 套路 利用向量解题的关键是建立适当的空间直角坐标系及写出有关点的坐标 作业 1 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是A1D1 BB1的中点 问 在边CC1上是否存在一点P 使AC 平面EFP 若存在 求出P的位置 若不存在 请说明理由 2 在四棱锥P ABCD中 底ABCD是正方形 且PA PB PC PD AB BC