高二数学排列组合综合应用问题.ppt

排列组合综合应用题 引入 前面我们已经学习和掌握了排列组合问题的求解方法 下面我们要在复习 巩固已掌握的方法的基础上 学习和讨论排列 组合的综合问题 和应用问题 问题 解决排列组合问题一般有哪些方法 应注意什么问题 解排列组合问题时 当问题分成互斥各类时 根据加法原理 可用分类法 当问题考虑先后次序时 根据乘法原理 可用位置法 上述两种称 直接法 当问题的反面简单明了时 可通过求差排除法 采用 间接法 另外 排列中 相邻 问题可采用捆绑法 分离 问题可用插空法等 解排列组合问题 一定要做到 不重 不漏 分为三组 一组5人 一组4人 一组3人 分为甲 乙 丙三组 甲组5人 乙组4人 丙组3人 分为甲 乙 丙三组 一组5人 一组4人 一组3人 分为甲 乙 丙三组 每组4人 分为三组 每组4人 例1 有12人 按照下列要求分配 求不同的分法种数 答案 C125 C74 C33 C125 C74 C33 C125 C74 C33 A33 C124 C84 C44 分成三组 其中一组2人 另外两组都是5人 小结 练习1说明了非平均分配 平均分配以及部分平均分配问题 1 非平均分配问题中 没有给出组名与给出组名是一样的 可以直接分步求 给出了组名而没指明哪组是几个 可以在没有给出组名 或给出组名但不指明各组多少个 种数的基础上乘以组数的全排列数 2 平均分配问题中 给出组名的分步求 若没给出组名的 一定要在给出组名的基础上除以组数的全排列数 3 部分平均分配问题中 先考虑不平均分配 剩下的就是平均分配 这样分配问题就解决了 结论 给出组名 非平均中未指明各组个数 的要在未给出组名的种数的基础上 乘以组数的阶乘 例2 求不同的排法种数 6男2女排成一排 2女相邻 6男2女排成一排 2女不能相邻 4男4女排成一排 同性者相邻 4男4女排成一排 同性者不能相邻 分析 由2女捆绑成一人与6男全排列 再把2女全排列 有A77 A22种 捆绑法 把6男2女8人全排列 扣去2女 相邻 就是2女 不相邻 所以有A88 A77 A22种 排除法 还可用 插空法 直接求解 先把6男全排列 再在6男相邻的7个空位中排2女 所以共有A66 A72种 分离排列问题 思考 对于不相邻的分离排列能否都用 排除法 若改5男3女排成一列 3女不相邻 用排除法得对吗 4男4女排成一列 同性者相邻 把4男 4女捆绑成一个排列 然后同性者之间再全排列 所在地共有A22 A44 A44种 捆绑法 同性不相邻必须男女都排好 即男奇数位 女偶数位 或者对调 总排列数为A22 A44 A44种 例3 某乒乓球队有8男7女共15名队员 现进行混合双打训练 两边都必须要1男1女 共有多少种不同的搭配方法 分析 每一种搭配都需要2男2女 所以先要选出2男2女 有C82 C72种 然后考虑2男2女搭配 有多少种方法 男女 男女 Aa Bb Ab Ba Bb Aa Ba Ab 显然 与 与 在搭配上是一样的 所以只有2种方法 所以总的搭配方法有2C82 C72种 搭配问题 先组后排 1 高二要从全级10名独唱选手中选出6名在歌咏会上表演 出场安排甲 乙两人都不唱中间两位的安排方法有多少种 一 有条件限制的排列问题 例1 5个不同的元素a b c d e每次取全排列 a e必须排在首位或末位 有多少种排法 a e既不在首位也不在末位 有多少种排法 a e排在一起多少种排法 a e不相邻有多少种排法 a在e的左边 可不相邻 有多少种排法 解 解题思路 分两步完成 把a e排在首末两端有A22种 再把其余3个元素排在中间3个位置有A33种 由乘法共有A22 A33 12 种 排法 优先法 二 排列组合应用问题 解 先从b c d三个选其中两个排在首末两位 有A32种 然后把剩下的一个与a e排在中间三个位置有A33种 由乘法原理 共有A32 A33 36种排列 间接法 A55 4A44 2A33 种 排法 解 捆绑法 a e排在一起 可以将a e看成一个整体 作为一个元素与其它3个元素全排列 有A44种 a e两个元素的全排列数为A22种 由乘法原理共有A44 A22 种 排列 解 排除法 即用5个元素的全排列数A55 扣除a e排在一起排列数A44 A22 则a e不相邻的排列总数为A55 A44 A22 种 插空法 即把a e以外的三个元素全排列有A33种 再把a e插入三个元素排定后形成的4个空位上有A42种 由乘法原理共有A33 A42 种 解 a在e的左边 可不相邻 这表明a e只有一种顺序 但a e间的排列数为A22 所以 可把5个元素全排列得排列数A55 然后再除以a e的排列数A22 所以共有排列总数为A55 A22 种 注意 若是3个元素按一定顺序 则必须除以排列数P33 例2 已知集合A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 求含有5个元素 且其中至少有两个是偶数的子集的个数 二 有条件限制的组合问题 解法1 5个元素中至少有两个是偶数可分成三类 2个偶数 3个奇数 3个偶数 2个奇数 4个偶数 1个奇数 所以共有子集个数为C42 C53 C43 C52 C44 C51 105 解法2 从反面考虑 全部子集个数为P95 而不符合条件的有两类 5个都是奇数 4个奇数 1个偶数 所以共有子集个数为C95 C55 C54 C41 105 下面解法错在哪里 例2 已知集合A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 求含有5个元素 且其中至少有两个是偶数的子集的个数 至少有两个偶数 可先由4个偶数中取2个偶数 然后再由剩下的7个数中选3个组成5个元素集合且满足至少有2个是偶数 成以共有子集C42 C73 210 个 用 具体排 来看一看是否重复 如C42中的一种选法是 选4个偶数中的2 4 又C73中选剩下的3个元素不6 1 3组成集合 2 4 6 1 3 再看另一种选法 由C42中选4个偶数中的4 6 又C73中选剩下的3个元素不2 1 3组成集合 4 6 2 1 3 显然这是两个相同和子集 所以重复了 重复的原因是分类不独立 三 排列组合混合问题 例3 从6名男同学和4名女同学中 选出3名男同学和2名女同学分别承担A B C D E5项工作 一共有多少种分配方案 解1 分三步完成 1 选3名男同学有C63种 2 选2名女同学有C42种 3 对选出的5人分配5种不同的工作有A55种 根据乘法原理C63 C42 A55 14400 种 例3 从6名男同学和4名女同学中 选出3名男同学和2名女同学分别承担A B C D E5项工作 一共有多少种分配方案 解2 把工作当作元素 同学看作位置 1 从5种工作中任选3种 组合问题 分给6个男同学中的3人 排列问题 有C53 A63种 第二步 将余下的2个工作分给4个女同学中的2人有A42种 根据乘法原理共有C53 A63 A42 14400 种 亦可先分配给女同学工作 再给男同学分配工作 分配方案有C52 A42 A63 14400 种 例4 九张卡片分别写着数字0 1 2 8 从中取出三张排成一排组成一个三位数 如果6可以当作9使用 问可以组成多少个三位数 解 可以分为两类情况 若取出6 则有种方法 若不取6 则有种方法 根据分类计数原理 一共有 602种方法 排列组合应用题与实际是紧密相连的 但思考起来又比较抽象 具体排 是抽象转化为具体的桥梁 是解题的重要思考方法之一 具体排 可以帮助思考 可以找出重复 遗漏的原因 有同学总结解排列组合应用题的方法是 想透 排够不重不漏 是很有道理的 解排列组合应用题最重要的是 通过分析构想设计合理的解题方案 在这里抽象与具体 直接法与间接法 全面分类与合理分步等思维方法和解题策略得到广泛运用 课堂小结 典型例题 1 4名优等生被保送到3所学校 每所学校至少得1名 则不同的保送方案总数为 A 36 B 24 C 12 D 6 2 若把英语单词 error 中字母的拼写顺序写错了 则可能出现的错误的种数是 A 20 B 19 C 10 D 69 3 小于50000且含有两个5 而其它数字不重复的五位数有 个 A B C D A B B 练习 3 15人按照下列要求分配 求不同的分法种数 1 分