《微分方程模型》PPT课件.ppt

引例 破案问题某公安局于晚上7时30分发现一具尸体 当天晚上8点20分 法医测得尸体温度为32 6 1小时后 尸体被抬走的时候又测得尸体的温度为31 4 假定室温在几个小时内均为21 1 由案情分析得知张某为此案的主要嫌疑犯 但张某矢口否认 并有证人说 下午张某一直在办公室 下午5时打了一个电话后才离开办公室 从办公室到凶案现场步行需要5分钟 问张某是否能被排除在嫌疑犯之外 提示 按照Newton冷却定律 温度为T的物体在温度为T0 T0 T 的环境中冷却的速度和温度差成正比 由此可以建立模型 微分方程模型 2010 11 内容 微分方程建模实例与练习微分方程模型的解法要求 掌握微分方程建模方法并能熟练地建立一阶常微分方程模型重点 难点 微分方程的建模 例题1 冰雹的下落速度当冰雹由高空落下时 它受到地球引力和空气阻力的作用 阻力的大小与冰雹的形状和速度有关 一般可以对阻力作两种假设 1 阻力大小与下落的速度成正比 2 阻力大小与速度的平方成正比 请根据两种不同的假设 建立速度满足的微分方程 并计算冰雹下落的极限速度 已知初速度v 0 0 冰雹质量m 重力加速度g 正比例系数k 0 例题2 人口模型问题描述人口的增长是当前世界上引起普遍关注的问题 早在18世纪人们就开始进行人口预报工作 几百年来建立了许多有关人口问题的模型 较简单的模型有Malthus人口模型和Logistic人口模型 下面分别介绍这两个模型 Malthus人口模型第一次出现 1789年 英国人口学家Malthus 1766 1834 根据100年来人口统计资料提出 基本假设 人口增长率r是常数或单位时间内人口增长量与当时的人口数量成正比 常用假设 大规模种群的个体数量是时间的连续可微函数 Malthus人口模型模型构成引入符号x t t时刻人口数量 x t t t t时刻人口数量 x0 初始时刻 t 0 人口数 r 人口增长率 为常数 即单位时间内x t 的增量等于r乘以x t 构建平衡关系 等式 考虑t到t t时间内人口的增长量 由Malthus理论 有x t t x t rx t t Malthus人口模型模型构成构成微分方程在等式x t t x t rx t t中 令 t 0 得到x t 满足微分方程 其中x0为t 0时的人口数 Malthus人口模型求解模型当r 0时 表示人口将按指数规律随时间无限增长 称为指数增长模型 参数估计 1 式的参数r和x0我们用表一数据估计 为了利用线性最小二乘法 将 1 式取对数 可得以1790年至1900年的数据拟和 2 式 用Mathematica软件计算可得以1790年至2000年的数据拟和 2 式 计算可得 t以10年为单位 模型检验 模型检验 Malthus人口模型成功之处与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代可用于短期人口增长预测缺陷之处不符合19世纪后多数地区人口增长规律不能预测较长期的人口增长过程产生这些缺陷的主要原因人口增长率r不是常数 逐渐下降 改进Logistic模型 阻滞增长模型 Logistic人口模型问题分析 人口增长到一定数量后 增长率下降的原因 资源 环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大 Logistic人口模型1837年 荷兰生物学家Verhulst引入常数xm 用来表示自然资源和环境条件下所能容纳许的最大人口数量 Verhulst将Malthus模型中的假设条件 人口自然增长率为常数 修正为人口自然增长率为从而有如下模型 Logistic模型 注 Logistic人口模型模型求解 Logistic人口模型模型曲线 模型比较 Logistic人口模型成功之处与国内外一个时期的人口数据对比 均较为吻合可用于中长期人口增长预测缺陷之处多了一个参数xm 对它的估计至今也没有好的办法继续改进影响增长率的出生率和死亡率与年龄有关 所以 更合乎实际的人口模型应该考虑年龄因素 建模练习1 人的体重变化某人的摄入热量是每天2500大卡 Calorie 卡路里 热量单位 其中1200大卡用于基本的新陈代谢 在健身训练中 他所消耗的大约是每天每千克体重为16大卡 设以脂肪形式贮藏的热量100 地有效 而1千克脂肪含热量10000大卡 求此人的体重随时间变化的规律 提示 每天体重的变化 每天净吸收量 每天健身训练的消耗 建模练习2 捕鱼业的持续收获可持续发展是一项基本国策 对于像渔业 林业这样的再生资源 一定要注意适度开发 不能为了一时的高产去 涸泽而渔 应该在持续稳产的前提下追求产量或效益的最优化 考察一个渔场 其中的鱼量在天然环境下按照一定规律增长 如果捕捞量恰好等于增长量 那么渔场鱼量将保持不变 这个捕捞量就可以持续下去 试建立在稳定捕捞情况下渔场鱼量遵从的方程 分析鱼量稳定的条件 并且在稳定的前提下讨论如何控制捕捞使持续产量或经济效益达到最大 并研究捕捞过度的问题 建模练习2 捕鱼业的持续收获提示 渔场中鱼量的变化 自然增长 人工捕捞模型详细参见文献 姜启源等编 数学模型 第三版 P177 高等教育出版社 建模练习3 观众厅地面设计在影视厅或报告厅 经常会为前边观众遮挡住自己的视线而苦恼 显然 场内的观众都在朝台上看 如果场内地面不做成前低后高的坡度模式 那么前边观众必然会遮挡后面观众的视线 试建立数学模型设计良好的报告厅地面坡度曲线 建立坐标系 o o 处在台上的设计视点 b b 第一排观众的眼睛到x轴的垂直距离 x y a d d a 第一排观众与设计视点的水平距离 d 相邻两排的排距 视线升高标准 x 表示任一排与设计视点的水平距离 求任一排x与设计视点o的竖直距离函数 使此曲线满足视线的无遮挡要求 问题 2问题的假设 观众厅地面的纵剖面图一致 只需求中轴线上地面的起伏曲线即可 同一排的座位在同一等高线上 每个坐在座位上的观众的眼睛与地面的距离相等 每个坐在座位上的观众的头与地面的距离也相等 所求曲线只要使观众的视线从紧邻的前一个座位的人的头顶擦过即可 3建模 设眼睛升起曲线应满足微分方程 初始条件 o b x y a d d 1 从第一排起 观众眼睛与o点的连线的斜率随排数的增加而增加 而眼睛升起曲线显然与这些直线皆相交 故此升起曲线是凹的 2 选择某排 和相邻排 o y x d C x 0 C2 x d 0 M M2 M1 x N1 A B N 相似于 D 再计算 相似于 4模型求解 微分不等式 比较定理 设函数 定义在某个区域上 且满足 1 在D上满足存在唯一性定理的条件 2 在D上有不等式 则初值问题 与 的解 在它们共同存在区间上满足 所求曲线的近似曲线方程 折衷法 折衷法 5总结与讨论 有时只需求近似解 方法 利用微分不等式建模 模型讨论 o b x y a d d 1 视点移动时升起曲线如何求得 2 怎样减少地面的坡度 调整参数 相邻排错位 3 衡量经济的指标 座位尽量多 升起曲线占据的空间尽量少等 微分方程建模步骤 翻译或转化根据实际问题将给出的信息转化为导数问题 一般地 速率 增长 衰变 边际 改变 变化等都可以转化为导数问题 并且 不少问题都遵循关系净变化率 输入率 输出率单位统一在所建立的微分方程模型中每一项都应有相同的物理单位给定解条件所研究问题在某一特定时刻的信息 它们独立于微分方程 在微分方程解出后 利用它们确定有关的常数 建立模型在任何时刻都正确的瞬时表达式 即寻找y n y n 1 y y t之间的关系 建立微分方程模型 附 Mathematica软件求解命令如何求解常微分方程和常微分