线性代数(人大版)第12讲.ppt

2020 3 26 线性代数 1 线性代数第12讲 2020 3 26 线性代数 2 定理3 5如果向量组中有一部分向量 称为部分组 线性相关 则整个向量组线性相关 2020 3 26 线性代数 3 证 设向量组a1 a2 as中有r个 r s 向量的部分组线性相关 不妨设a1 a2 ar线性相关 则存在不全为零的数k1 k2 kr使k1a1 k2a2 krar o成立 因而存在一组不全为零的数k1 k2 kr 0 0 0使k1a1 k2a2 krar 0ar 1 0as o成立 即a1 a2 as线性相关 2020 3 26 线性代数 4 此定理也可如下叙述 线性无关的向量组中任何部分组皆线性无关 例6 含有零向量的向量组线性相关 因零向量线性相关 由定理3 5可知 该向量组也线性相关 2020 3 26 线性代数 5 三 关于线性组合与线性相关的定理定理3 6向量组a1 a2 as s 2 线性相关的充分必要条件是 其中至少有一个向量是其余s 1个向量的线性组合 2020 3 26 线性代数 6 证 必要性因为a1 a2 as线性相关 故存在一组不全为零的数k1 k2 ks使k1a1 k2a2 ksas o成立 不妨假设k1 0 于是 即a1是a1 a2 as的线性组合 2020 3 26 线性代数 7 充分性如果a1 a2 as中至少有一个向量是其余s 1个向量的线性组合 不妨设a1 k2a2 k3a3 ksas因此存在一组不全为零的数 1 k2 k3 ks使 1 a1 k2a2 ksas o成立 即a1 a2 as线性相关 2020 3 26 线性代数 8 例如 设有向量组a1 1 1 1 0 a2 1 0 1 0 a3 0 1 0 0 因为a1 a2 a3 o 故a1 a2 a3线性相关 由a1 a2 a3 o可得a1 a2 a3 a2 a1 a3 a3 a1 a2 2020 3 26 线性代数 9 2020 3 26 线性代数 10 定理3 7如果向量组a1 a2 as b线性相关 而a1 a2 as线性无关 则向量b可由向量组a1 a2 as线性表示且表示法唯一 2020 3 26 线性代数 11 证 先证b可由a1 a2 as线性表示 因a1 a2 as b线性相关 因而存在一组不全为零的数k1 k2 ks及k 使k1a1 k2a2 ksas kb o成立 必有k 0 否则 上式成为k1a1 k2a2 ksas o且k1 k2 ks不全为零 这与a1 a2 as线性无关矛盾 因此k 0 故 即b是a1 a2 as的线性组合 2020 3 26 线性代数 12 再证表示法唯一 如果b h1a1 h2a2 hsas且b l1a1 l2a2 lsas则有 h1 l1 a1 h2 l2 a2 hs ls as o成立 由a1 a2 as线性无关可知 h1 l1 h2 l2 hs ls 0即h1 l1 h2 l2 hs ls 所以表示法是唯一的 2020 3 26 线性代数 13 例如 任意一向量a a1 a2 an 可由初始单位向量组e1 e2 en唯一地线性表示 即a a1e1 a2e2 anen 2020 3 26 线性代数 14 设有两个向量组a1 a2 as A 及b1 b2 bt B 如果组 A 中每一向量都可由组 B 线性表示 则称向量组 A 可由向量组 B 线性表示 2020 3 26 线性代数 15 定理3 8如果向量组 A 可由向量组 B 线性表示 而向量组 B 又可由向量组 C 线性表示 则向量组 A 也可由向量组 C 线性表示 证 设向量组a1 a2 as A b1 b2 bt B g1 g2 gp C 如果ai bi1b1 bi2b2 bitbt i 1 2 s bk ck1g1 ck2g2 ckpgp k 1 2 t 将 代入 得 2020 3 26 线性代数 16 ai bi1 c11g1 c12g2 c1pgp bi2 c21g1 c22g2 c2pgp bit ct1g1 ct2g2 ctpgp i 1 2 s 整理后得ai bi1c11 bi2c21 bitct1 g1 bi1c12 bi2c22 bitct2 g2 bi1c1p bi2c2p bitctp gp i 1 2 s 即向量组 A 可由 C 线性表示 2020 3 26 线性代数 17 定理3 9设有两个向量组a1 a2 as A b1 b2 bt B 向量组 B 可由向量组 A 线性表示 如果s t 则向量组 B 线性相关 2020 3 26 线性代数 18 证 由定理条件知bj a1ja1 a2ja2 asjas j 1 2 t 如果有一组数k1 k2 kt使k1b1 k2b2 ktbt o 成立 我们需要证明k1 k2 kt可以不全为零 把 代入 得k1 a11a1 a21a2 as1as k2 a12a1 a22a2 as2as kt a1ta1 a2ta2 astas o整理后得 2020 3 26 线性代数 19 a11k1 a12k2 a1tkt a1 a21k1 a22k2 a2tkt a2 as1k1 as2k2 astkt at o因为s t 故齐次线性方程组 有非零解 2020 3 26 线性代数 20 因此可取k1 k2 kt为上述齐次线性方程组 的非零解 这个非零解可使 成立 因而可使 成立 即有不全为零的一组数k1 k2 kt使 成立 所以 向量组 B 线性相关 2020 3 26 线性代数 21 这个定理的另一种说法是 向量组 B 共有t个 可由向量组 A 共有s个 线性表示 如果向量组 B 线性无关 则t s 2020 3 26 线性代数 22 推论向量组 A 共有t个向量 与 B 共有s个向量 可以互相线性表示 如果 A B 都是线性无关的 则s t 证 A 线性无关且可由 B 线性表示 则s t B 线性无关且可由 A 线性表示 则t s 于是s t 2020 3 26 线性代数 23 四 向量组的秩设有向量组a1 a2 as 只要组中的向量不全为零向量 则至少有一个向量不为零向量 因而它至少有一个向量的部分组线性无关 再考察两个向量的部分组 如果有两个向量的部分组线性无关 则往下考察三个向量的部分组 依此类推 最后总能达到向量组中有r s 个向量的部分组线性无关 而没有多于r s 个向量的部分组线性无关 即向量组中r个向量的向量组线性无关的话 则是最大的线性无关的部分组 2020 3 26 线性代数 24 2020 3 26 线性代数 25 向量组的极大无关组可能不止一个 但由定义可知 其向量的个数是相同的 例如 二维向量组a1 0 1 a2 1 0 a3 1 1 a4 0 2 因为任何3个二维向量的向量组必线性相关 又a1 a2线性无关 故a1 a2是a1 a2 a3 a4的一个极大无关组 同样a2 a3也是一个极大无关组 2020 3 26 线性代数 26 2020 3 26 线性代数 27 2020 3 26 线性代数 28 2020 3 26 线性代数 29 定义3 8向量组a1 a2 as的极大无关组所含向量的个数 称为向量组的秩 记为r a1 a2 as 规定 全由零向量组成的向量组的秩为零 上例中二维向量组二维向量组a1 0 1 a2 1 0 a3 1 1 a4 0 2 其秩r a1 a2 a3 a4 2 2020 3 26 线性代数 30 为了叙述简化 我们把矩阵A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩 矩阵A的列向量组的秩称为矩阵A的列秩 定理3 11A为m n矩阵 r A r的充分必要条件是 A的列 行 秩为r 2020 3 26 线性代数 31 证 必要性设A aij m n 如果r A r 则存在A的r阶子式不为零 不妨设 令 2020 3 26 线性代数 32 则由定义2 12知r A1 r 又由定理3 4的另一说法知 A1的r个列向量线性无关 即A中有r个列向量线性无关 再证明A的任何r 1个列向量线性相关 用反证法 假设A中有r 1个列向量线性无关 不妨设 为A的r 1个线性无关的列向量组成的矩阵 2020 3 26 线性代数 33 则由定理3 4的另一说法知r A2 r 1 由矩阵的秩的定义知 A2有r 1阶子式不为零 即A有r 1阶子式不为零 这与r A r矛盾 因此A的任何r 1个列向量均线性相关 于是知A的列秩为r 2020 3 26 线性代数 34 充分性如果A的列秩为r 不妨设A的前r列为A的列向量组的一个极大无关组 设 2020 3 26 线性代数 35 由定理3 4的另一说法 知r A1 r 故A1中有r阶子式不为零 再证A中任何r 1阶子式全为零 用反证法 假设A中有一个r 1阶子式不为零 不妨设 2020 3 26 线性代数 36 令 则r A2 r 1 即A2的r 2个列向量线性无关 亦即A的前r 1个列向量线性无关 这与A的列秩为r矛盾 故A的所有r 1阶子式均为零 于是r A r 即r A 等于A的列秩 2020 3 26 线性代数 37 推论矩阵A的行秩与列秩相等 因为行秩 列秩均等于r A 2020 3 26 线性代数 38 2020 3 26 线性代数 39 2020 3 26 线性代数 40 类似地 如果对矩阵A仅施以初等列变换化为矩阵A 则A 的行向量组与A的行向量组间有相同的线性关系 证明略 简言之 矩阵的初等行 列 变换不改变其列 行 向量间的线性关系 2020 3 26 线性代数 41 例1 求向量组a1 2 4 2 a2 1 1 0 a3 2 3 1 a4 3 5 2 的一个极大无关组 并把其余向量用该极大无关组线性表示 解 对矩阵A a1Ta2Ta3Ta4T 仅施以初等行变换 2020 3 26 线性代数 42 2020 3 26 线性代数 43 由最后一个矩阵可知 a1 a2为一个极大无关组 且 2020 3 26 线性代数 44 例2 证明 如果向量组a1 a2 as与向量组b1 b2 bt可以互相线性表示 则r a1 a2 as r b1 b2 bt r a1 a2 as r b1 b2 bt 2020 3 26 线性代数 45 例3 设Am n及Bn s为两个矩阵 证明 A与B的乘积的秩不大于A的秩和B的秩 即r AB min r A r B 证 设A aij m n a1 a2 an B bij n sAB C cij m s g1g2 gs 即 2020 3 26 线性代数 46 因此有gj b1ja1 b2