《导数与微分§》PPT课件.ppt

第二章导数与微分 1导数的概念及其四则运算1 导数定义 定义 设在有定义 考虑一个增量 且使得 记 称为函数关于的增量 有时也记作 若极限存在 则称这个函数在可导 并称这个极限值为在点的导数或微商 记作或或 如果在定义域中每一点导数都存在 那么称在可导 称作导函数 例1 常数函数的导数处处为 注 下一节证明 例4 证明 注 下一节证明R 例3 设为一自然数 则 注 同理 例2 定理1 1 设在处可导 则它在该点处连续 注 连续是可导的必要条件 但不充分 2 可导与连续 3 导数的四则运算定理1 2 设 在可导 则在可导 且 在可导 且 3 若 则在可导 且 例5 求下列函数的导数 1 5 4 3 2 定义 若存在 则称之为在的右导数 记为 类似地 若存在 则称之为在的左导数 记为 注 函数在一点可导的充要条件是 在该点左右导数都存在且相等 4 函数的可导性 例6 证明 在连续 但不可导 例7 证明 在没有导数 注 从几何上看的曲线在没有切线 当动点趋于时 割线摆动不定 没有极限位置 而在是有切线的 切线是轴 因此 在可导 则曲线在处有非垂直切线 有切线并不意味着可导 2复合函数与反函数的导数 1 复合函数的导数 定理2 1 设在有定义 值域包含在中 又设在有定义 若在可导 在相应的可导 则在可导 且或写作 注 如果及在各自定义域内可导 那么或简写成一般称之为链式法则 例1 求下列函数的导数 1 注 5 4 3 2 2 隐函数求导法 例2 求由确定的函数的导数 例 求由所确定函数的导数 方程两端关于求导 是的函数 求隐函数导数的方法 若函数由一个关于与的方程决定 该函数称作隐函数 定理2 2 设在连续且严格单调 其值域为 又设其反函数在内处有导数 且不为 则在处有导数 且或 3 反函数的导数 注 一个函数在一点的导数恰好等于其反函数在对应点导数的倒数 注 例5 求的导数 例4 求和的导数 注 例3 求和的导数 例6 求的导数 注 若初等函数在定义域内可导 则其导函数仍是初等函数 注 对 先取对数 再求导 称为对数求导法 例7 求的导数 3微分的概念 定义 设 且 1 无穷小量阶的比较 若 则称与是等价无穷小量 记作 假若 则称与是同阶无穷小量 假若 则称是比更高阶的无穷小量 记作 若存在及 使得即当时 是有界量 记为 注 在使用 时 应附上记号或相应的极限过程 注 例2 证明 例1 证明 注 定义 设 若与是同阶的无穷小量 则称是阶无穷小量 注 当时 取 注 有时取 表示当时 是无穷小量 表示当时 是有界变量 定义 设 假若 则称与是同阶无穷大量 若 则称与是等价无穷大量 记作 假若 则称当时 是比更高阶的无穷大量 若存在及 使得则记 注 令 若 则称是阶无穷大量 当时 取 注 无穷大量比较时 习惯上不用 而仍用和 例3 证明 1 例4 求 4 设 则 3 设 则 2 注 当计算中出现无穷小量 或无穷大量 相互叠加时 不能随便使用等价量直接代换 定义 设在点附近有定义 假定有一个常数 使得则称在点可微 称为在处的微分 记作或 注 微分是函数值改变量的线性主要部分 2 微分的概念 定理3 1 设在有定义 则在可微的充要条件是 在可导 且 定义 若 在可微 则称在可微 注 当是自变量时 通常将微分表示为 注 若在处处可微 则 微分的四则运算 1 2 3 2 1 例5 求下列微分 例6 计算的近似值 例7 求由确定函数的导数 4高阶导数与高阶微分 1 高阶导数设在可导 其导函数也是上函数 同样讨论的可导性 若在可导 在的导数称为在的二阶导数 记作 或 若在每一点可导 则得到的二阶导函数 记作 或 的阶导数是阶导数的导数 记作或 例1 求下列高阶导数 6 5 4 3 2 1 定理4 1 Leibniz公式 设 在有阶导数 则其中 注 例2 求 注 要求复合函数或隐函数的高阶导数 只需重复使用求一阶导数的方法 例5 求由确定的函数的二阶导数 例4 求的二阶导数 例3 求 设 依赖于 当固定时 是的函数 又可以考虑关于的微分 记之为 记 则 2 高阶微分 阶微分公式为 其中 2 若它出现在等式右端 左端也是微分 则为 1 若它单独出现 则 注 有两种意义 5一阶微分的形式不变性 不论是自变量还是另一 注 意义不一样 1 一阶微分形式不变性 个变量的函数 总是成立的 这个性质称为一阶微分的形式不变性 注 一阶微分形式不变性有多方面的应用 1 积分的变量替换 2 为求较复杂形式的微分提供了方便 注 高阶微分不具有形式不