数学实验作业七.doc

数学实验作业七题目：P200. 2)；6)日期：2003-4-9【实验目的】：1、 掌握MATLAB优化工具箱的基本用法，对不同算法进行初步分析、比较。2、 练习实际问题的非线性最小二乘拟合。【实验内容】：二：求解，初值（1，1），对不同算法的结果进行分析、比较。【模型分析】：首先画出函数f=的图像和等高线：可以看到：在0.5,-1附近为一个“凹地”，最小值应在该凹地中取得。另外，从（-1,1）到此凹地为一与Rosenbrock函数类似的狭长通道，不利于沿负梯度方向下降。可以想象，该函数具有与Rosenbrock函数类似的性质。【MATLAB 源程序】比较程序如下：%数学实验作业二.1-dfunction f=ch72fun(x);%第7章第2题的函数f=exp(x(1).*(4*x(1).2+2*x(2).2+4*x(1).*x(2)+2.*x(2)+1);%ch72.m%第7章第2题X0=-1,1;%赋初值%BFGS,混合二三次插值opt1=optimset(TolX,1e-6,TolFun,1e-6,MaxIter,1000);X1,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT=FMINUNC(ch72fun,X0,opt1)%BFGS,三次插值opt2=optimset(opt1,LineSearchType,cubicpoly);X1,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT=FMINUNC(ch72fun,X0,opt2)%DFP,混合二三次插值opt3=optimset(opt1,HessUpdate,dfp);X1,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT=FMINUNC(ch72fun,X0,opt3)%DFP,三次插值opt4=optimset(opt3,LineSearchType,cubicpoly);X1,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT=FMINUNC(ch72fun,X0,opt4)%最速下降,混合二三次插值opt5=optimset(opt1,HessUpdate,steepdesc);X1,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT=FMINUNC(ch72fun,X0,opt5)【MATLAB 运行结果】：结果为：搜索方向步长搜索最优解最优值迭代次数BFGSquadcubic（0.50000349867429 -1.00000872058446）1.302793198827844e-0107BFGScubicpoly（0.50000550257798 -1.00000588930458）1.003340139037585e-01022DFPquadcubic（0.50005027832388 -0.99990715185660）7.588817567829805e-0086DFPcubicpoly（0.50000001176327 -1.00000037427431）4.334501663087731e-01312最速下降quadcubic（0.49992419845803 -0.99988138702904）2.498840793355238e-00812所以可以得到本题的解析解：x=(0.5,-1)，f=0。【结果分析】：观察上面的运算结果可以看出：BFGS和混合二三次插值（Matlab默认值）的性能是最好的，其精度较高，迭代次数少；DFP和三次插值的精度最高，但是其迭代次数相对较多。DFP和混合二三次插值的迭代次数最少，但是其精度是最低的。另外最速下降法也能得出结果，而不是像Rosenbrock函数那样不收敛。六：中国统计年鉴（1995）给出下表的数据，试据此拟合生产函数中的参数。如何看待用最小二乘法和非线性最小二乘法拟合的结果。年份总产值（万亿元）资金（万亿元）劳动力（亿人）19840.71710.24694.817919850.89640.33864.987319861.02020.38465.128219871.19620.43225.278319881.49280.54955.433419891.69090.60955.532919901.85310.64445.674019912.16180.75175.836019922.66350.96365.943219933.45151.49985.022019944.50061.89446.1470第一问：模型建立：本题考虑用非线性拟合最小二乘拟合方法，来求解生产函数的未知系数。生产函数为 以系数为三个变量，列写函数 再运用leastsq程序，设立初值，即可求出三个系数的数值解。模型求解：用Matlab作非线性最小二乘拟合，编程语句如下：ch7.6-(1)function f=pp1(c)q=0.7171,0.8964,1.0202,1.1962,1.4928,1.6909,1.8531,2.1618,2.6635,3.4515,4.5006;q1=q/q(6); 以1989年总产值为基准k=0.2469,0.3386,0.3846,0.4322,0.5495,0.6095,0.6444,0.7517,0.9636,1.4998,1.8944;k1=k/k(6); 以1989年资金为基准l=4.8179,4.9873,5.1282,5.2783,5.4334,5.5329,5.6740,5.8360,5.9432,6.0220,6.1470;l1=l/l(6); 以1989年为劳动力基准f=q1-c(1).*k1.c(2).*l1.c(3);c0=0.5,0,1;c=leastsq(pp1,c0)运行程序可以得到： c = 0.9858 0.6300 2.4290结论：生产函数为其中0.9858 0.6300 2.4290第二问：模型建立：本题考虑用线性拟合最小二乘拟合方法，来求解生产函数的未知系数。对原式两边取对数，即可将非线性函数变化为线性函数，为变量，为所求系数。解超定方程组：，其中均为列向量。即可得到所求三个系数的值。模型求解：用Matlab作线性最小二乘拟合，编程语句如下：ch7.6-(2)q=0.7171,0.8964,1.0202,1.1962,1.4928,1.6909,1.8531,2.1618,2.6635,3.4515,4.5006;q1=log(q/q(6); 以1989年总产值为基准k=0.2469,0.3386,0.3846,0.4322,0.5495,0.6095,0.6444,0.7517,0.9636,1.4998,1.8944;k1=log(k/k(6); 以1989年资金为基准l=4.8179,4.9873,5.1282,5.2783,5.4334,5.5329,5.6740,5.8360,5.9432,6.0220,6.1470;l1=log(l/l(6); 以1989年为劳动力基准m=1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1;A=m,k1,l1;B=q1;C=AB;c=exp(C(1),C(2),C(3)运行程序可以得到： c = 0.9906 0.6208 2.3728结论：生产函数为其中0.9906 0.6208 2.3728结果分析：本题中，线性拟合和非线性拟合两种计算方法的结果相差不大。但是，在有些情况下，二者的差距将会较大，如书上182