非线性函数的线性化问题.ppt

非线性函数的线性化问题 冯仲科北京林业大学2012 4 1 一 数学期望与方差性质 1 随机变量的数学期望就是所有可能取值的概率平均值 简称均值 它有如下性质 1 常数c的数学期望等于它本身 即E c c 2 常数c与 之积的数学期望等于c与 的数学期望之积 即E c cE 3 n个随机变量之和的数学期望 等于各随机变量数学期望之和 即E 1 2 n E 1 E 2 E n 4 随机变量的线性函数F 1 1 2 2 n n 的数学期望为E 1E 2 2E 2 nE n 5 n个相互独立的随机变量之积的数学期望 等于各随机变量数学期望之和 即E 1 2 n E 1 E 2 E n 2 随机变量的方差是描述随机变量所有可能取值离散程度的 在测量中就是中误差的平方 是一个精度指标 它有如下性质 1 常数c的方差等于零 即D c 0 2 常数c与随机变量之积的方差等于c2与方差之积 即D c c2D 3 n个相互独立的随机变量之和的方差等于各个随机变量的方差之和 即D 1 2 n D 1 D 2 D 3 4 相互独立的随机变量的线性函数F 1 1 2 2 n n 的方差为D D 1 E 2 E n 例 已知 X L 求真误差 的方差 解 因X是常数 故有D D X D L D L 亦即观测值L的误差方差D 等于观测值本身的方差D L 例 求算术平均值X L1 L2 Ln 的方差 解 D x D L1 D L2 D Ln 如果D L1 D L2 D Ln 2 则上式为D x 令 x 则有 x 式中 和 x分别为观测值和算术平均值的标准差 标准差在测量中称为中误差 二 协方差及其传播律 1 协方差的概念及定义设有线性函数z f1x f2y 令x y的真误差为 x y 则z的真误差 z为 z f1 x f2 y y 它的中误差mxy为mxy 当x与y彼此不独立 例如它们都是独立观测值L的函数 x 3L y 4L 则有mxy 12 0 式中 mL为L的中误差 为L的方差 例 已知x 3L1 2L2 y 2L1 3L2 L1和L2相互独立且同精度 设L1和L2的方差均为m2 试判别x与y是否独立 解 从x与y均是L1 L2的函数看 它们似乎相关 其实不一定 由已知关系得 x 3 L1 2 L2 y 2 L1 3 L2 x y 6 6 5 L1 L2 顾及 0 则x与y的协方差为mxy 6m2 6m2 0 可见 此例x与y实为互相独立的观测值 协方差有如下性质 1 当随机变量X与Y独立时 有 XY 0 2 当X Y时 有 XY 3 当X与Y成线性关系 Y aX b 式中 a b为常数 则有当a 0 XY 当a 0 XY 2 一般误差传播定律 设有相关观测值x1 x2 xn的线性函数的一般形式为z f1x1 f2x2 fnxn 最后可以得到它的中误差为mxy a1b1 a2b2 anbn 若用一般符号表示xi的方差 ij表示xi与xj的协方差 则一般误差传播定律式可以写成如下形式 2f1f2 12 2f1fx 1n 2f2fn 2n 3 协方差阵及其传播律 如果有两个随机变量X1和X2 已知其数学期望为E X1 和E X2 方差及协方差为D X1 D X2 和 则定义E X D X 其中D X 可以写成D X E X E X X E X T 一般 设有t维随机向量X X1X2 Xt T 定义X的数学期望和方差为E X D X 协方差阵传播率随机向量X的数学期望E X 是由E X 定义的 它具有如下性质 1 常数向量C的数学期望等于它本身 即E C C 2 常数矩阵A与随机向量X之积的数学期望等于A与X的数学期望之积 即E AX AE X 3 设A和B为常数矩阵 X和Y为随机向量 则AX与BY之和的数学期望等于AX的数学期望与BY的数学期望之和 即E AX BY AE X BE Y 特别地 当A和B均为单位阵 X和Y的维数相同 有E X Y E X E Y 4 设有随机向量X和Y 则E XYT E X E Y T XY 设有两个线性函数 A B C H为常数矩阵 则有FG AD X CT A XZHT B YZHT证 FG E AX BY E AX BY CX HZ E CX HZ T E A X E X B Y E Y C X E X H Z E Z T AD X CT A XZHT B YXCT B YZHT 三 非线性函数的线性化 以上是属于线性函数 对于非线性函数 如 y f x1 x2 xn 则需要采用 1 对数法线性化 2 级数展开法线性化 1 对数法 U xyzlnU lnx lny lnz 2 泰勒级数展开法 U xyzdU yzdx xzdy xydz两边同时除以U U xyz 通过 乘除法运算取对数加减乘除运算取级数 例 已知单木生物量的数学模型为 试说明a b的几何学和物理学意义 已知 试统计分析建模求a b 已知单木 求由计算的及其置信区间 答 利用林木相对生长公式 1 设第i i 1 2 n 棵标准木的生物量 树干 树枝 树根或树叶的生物量等 以下同 为 胸径为 树高为 的测定误差为 则可写出 2 对于 i 1 2 n 3 设a b的第k k 0 1 2 m 次近似值为 记 4 则用泰勒级数在处将式 3 展开得 5 其中为二阶以上的余项 又记 则有 6 在式 6 中 将换成估值形式 用代表的最或然误差 又称为的改正数 则有和式 6 的误差方程形式 7 其中中包含了观测误差和二次以上余项误差等 利用最小二乘准则 即在的原则下 利用式 7 可推导出求解的公式 即 8 根据式 4 和的定义 可知a b的第k 1次估值为 9 计算步骤1 用对数法求解a b的估值 作为初值 计算 并用式 8 求解 利用式 9 求解 2 将 作为a b的新的近似估值 计算 并用式 8 求解 利用式 9 求解 3 将 作为a b的新近似值计算 余者类推 直至达到最小或和达到足够小 此时 精度评定设迭代在第k 1步终止 以下不加推证地给出求解单位权方差 标准方差 估值的公式以及 的方差 协方差计算公式1 单位权方差的无偏估值 10 2 的方差和互协方差阵 例 已知树高预计公式 其中 hBH d1 3为胸高及胸径 对n棵树测得 hi hBHi d1 3i 1 2 n 试用LSM法估计参数a b1 b2 若第n 1棵树测得