高数9-2二重积分的计算.ppt

第二节 二重积分的计算法 第九章 一 利用直角坐标计算二重积分 且在D上连续时 由曲顶柱体体积的计算可知 若D为X 型区域 则 若D为Y 型区域 则 X型区域的特点 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 Y型区域的特点 穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 若区域如图 在分割后的三个区域上分别使用积分公式 则必须分割 例1 计算 其中D是直线y 1 x 2 及 y x所围的闭区域 解法1 将D看作X 型区域 则 解法2 将D看作Y 型区域 则 作草图 选择类型 确定上下限 后积先定限 限内化条线 例2 计算 其中D是抛物线 所围成的闭区域 解1 及直线 1 例2 计算 其中D是抛物线 所围成的闭区域 解2 为计算简便 后对y积分 及直线 则 例3 计算 其中D是直线 所围成的闭区域 解 由被积函数可知 先对x积分不行 说明 选择积分序的原则 先积分的容易 并能为后积分创造条件 积分域的划分 块数越少越好 例4 交换下列积分顺序 解 积分域由两部分组成 视为Y 型区域 则 例5 计算 其中D由 所围成 解 令 如图所示 显然 二 利用极坐标计算二重积分 则除包含边界点的小区域外 小区域的面积 及射线 常数 分划区域D为 在极坐标系下 用同心圆 常数 对应有 在 内取点 即 则 1 极点在边界外 注意 积分域的边界曲线用极坐标表示 如何确定上下限 2 极点在边界上 1 2 3 极点在边界内 何时选用极坐标 积分域D形状 圆域 环域 扇域 环扇域 被积函数形式 例6 计算 其中 解 在极坐标系下 原式 的原函数不是初等函数 故本题无法用直角 由于 故 坐标计算 注 利用例6可得到一个 反常积分公式 例7 求球体 被圆柱面 所截得的 含在柱面内的 立体的体积 解 由对称性可知 o 例8 其中D为由圆 所围成的 及直线 解 平面闭区域 例9 交换积分顺序 提示 积分域如图 第三节 一 三重积分的概念 二 三重积分的计算 三重积分 第九章 一 三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想 采用 引例 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的 物质 求分布在 内的物质的 可得 大化小 常代变 近似和 求极限 解决方法 质量M 密度函数为 定义 设 存在 称为体积元素 若对 作任意分割 任意取点 则称此极限为函数 在 上的三重积分 在直角坐标系下常写作 三重积分的性质与二重积分相似 性质 下列 乘 积和式 极限 二 三重积分的计算 1 利用直角坐标计算三重积分 方法1 投影法 先一后二 方法2 截面法 先二后一 如图 方法1 投影法 得 其中 为三个坐标 例1 计算三重积分 所围成的闭区域 解 面及平面 例2 计算三重积分 解 解 方法2 截面法 例2 计算三重积分 解 用 先二后一 注 被积函数为一元函数时 多选用截面法 例3 计算积分 其中 是两个球 R 0 的公共部分 提示 由于被积函数缺x y 原式 利用 截面法 计算方便 小结 直角坐标系三重积分的计算方法 方法1 先一后二 方法2 先二后一 三次积分 具体计算时应根据 二种方法 包含6种次序 各有特点 被积函数及积分域的特点灵活选择 例4 设 计算 提示 利用对称性 原式 奇函数 灵活应用对称性 例5 计算 解 积分域关于y x y z x z平面对称 1 将 用三次积分表示 其中 由 所 提示 六个平面 围成 2 利用柱坐标计算三重积分 就称为点M的柱坐标 直角坐标与柱面坐标的关系 坐标面分别为 圆柱面 半平面 平面 如图所示 在柱面坐标系中体积元素为 因此 其中 适用范围 1 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 2 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离 其中 为由 例1 计算三重积分 所围 解 在柱面坐标系下 及平面 柱面 成半圆柱体 例2 计算三重积分 解 在柱面坐标系下 所围成 与平面 其中 由抛物面 原式 解 知交线为 解 所围成的立体如图 所围成立体的投影区域如图 3 利用球坐标计算三重积分 就称为点M的球坐标 直角坐标与球面坐标的关系 坐标面分别为 如图所示 在球面坐标系中体积元素为 因此有 其中 适用范围 1 积分域表面用球面坐标表示时方程简单 2 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离 例5 计算三重积分 解 在球面坐标系下 所围立体 其中 与球面 例6 求曲面 所围立体体积 解 由曲面方程可知 立体位于xoy面上部 利用对称性