《工程力学》压杆稳定.ppt

压杆稳定 1压杆稳定的概念 2两端铰支细长压杆的临界压力 3其他支座条件下压杆的临界压力 4压杆的临界应力 5压杆的稳定校核 6提高压杆稳定性的措施 1压杆稳定的概念 1 杆件在轴向拉力的作用下 工作应力达到屈服极限时出现屈服失效 塑性材料 工作应力达到强度极限时断裂 脆性材料 粗短杆在轴向压力的作用下 塑性材料的低碳钢短圆柱 铸铁短圆柱 2 工程中的某些细长杆在轴向压力的作用下 表现出与强度完全不同的失效形式 被压扁 脆断 当压力超过一定的数值时 压杆会由原来的直线平衡形式 接着必被压弯 发生较大的弯曲变形 细长竹片受压时 开始轴线为直线 最后被折断 两端承受压力的细长杆 突然变弯 致使结构丧失承载力 狭长截面梁在横向力的作用下 铅锤面内的弯曲 线弹性范围 弯曲和扭转 圆对称的平衡 受均匀压力的薄圆环 非圆对称 当压力超过一定数值时 圆环将不能保持圆对称的平衡形式 而突然变为非圆对称的平衡形式 上述各种关于平衡形式的突然变化 统称为稳定失效 失稳或屈曲 压杆 承受轴向压力的杆件 压杆失稳 丧失其直线形状的平衡 曲线形状平衡 工程中有许多杆件承受轴向压力的作用 工程中的压杆 工程中的压杆 工程中的压杆 子弹压进弹匣 柱 桁架的压杆 薄壳结构及薄壁容器等 在有压力存在时 都可能发生失稳 工程中的压杆 提升油缸 3 稳定平衡 临界平衡 随遇平衡 不稳定平衡 当球受到微小干扰 偏离其平衡位置后 经过几次摆动 它会重新回到原来的平衡位置 处于凸面的球体 当球受到微小干扰 它将偏离其平衡位置 而不再恢复原位 稳定平衡 不稳定平衡 把物体在原来位置上和现在位置上所处的平衡状态称为临界平衡 物体处于平衡状态 受到干扰后离开原来的平衡位置 干扰撤掉后 既不回到原来的平衡位置 也不进一步离开 而是停留在一个新的位置上平衡 实际上不属稳定平衡 临界平衡 4 压杆的失稳过程 4 1 压杆的稳定平衡 4 2压杆的临界平衡 4 3压杆的屈曲 5 压杆的失稳 压杆丧失其直线形状的平衡而过渡为曲线形状平衡 压杆从直线平衡到弯曲平衡的转变过程 屈曲 由于屈曲 压杆产生的侧向位移 屈曲位移 弯曲平衡 通常 屈曲将使构件失效 并导致相关的结构发生坍塌 由于这种失效具有突发性 常常带来灾难性后果 8吨汽车起重机在起重的一瞬间回转台突然发生失稳 转台两侧的立板向外隆起 案例1 25吨汽车起重机在起重时回转台失稳 案例2 易拉罐失稳 案例3 如1907年8月29日 施工中的加拿大魁北克市圣劳伦斯河大铁桥 跨长为548米的奎拜克大桥 因压杆失稳 导致整座大桥倒塌 桥上74人全部遇难 压杆的稳定性不足 案例4 事故原因 1983年10月4日 高54 2m 长17 25m 总重565 4kN大型脚手架屈曲坍塌 5人死亡 7人受伤 经济损失4 6万元 横杆之间的距离太大2 2m 规定值1 7m 地面未夯实 局部杆受力大 与墙体连接点太少 安全因数太低 1 11 1 75 规定值3 0 案例5 案例6 1934年 前苏联在改建电车线路时 钢轨长50米 其间接合处采用焊接 钢轨成了蛇形 连枕木都带动了 焊接钢轨相当于一根超静定细长杆 温度变化引起钢轨产生极大的温度应力 半波的长度约为5米 侧向位移达30厘米 矿井中的坑木 压杆失稳的利用 P P Pcr 即 屈曲位移 0的直线状态 6临界压力 使中心受压的直杆由直线平衡形式转变为曲线平衡形式时所受的轴向压力 当F Fcr时有两种可能的平衡状态 故临界压力可以理解为 或压杆处于微弯状态 丧失稳定 的最小载荷 非线性稳定理论已经证明 对于细长压杆 临界平衡是稳定的 屈曲位移为无穷小的无限接近于直线的弯曲状态 压杆保持直线形态平衡的最大载荷 压杆的稳定性试验 压杆失稳后 压力的微小增量会引起屈服变形的显著增大 杆件丧失了继续增大荷载的能力 为了保证压杆安全可靠的工作 必须使压杆处于直线平衡形式 因而压杆是以临界力为其极限承载能力 压杆的极限承载能力 且由失稳造成的失效可以导致整个结构的坍塌 保持直线平衡形态 2两端铰支细长压杆的临界压力 M Fcr 弯矩 挠曲线近似微分方程 令 此方程的通解为 利用杆的边界条件 可知压杆的微弯挠曲线为正弦函数 利用边界条件 即压杆没有弯曲变形 实际工程中有意义的是最小的临界力值 即 两端铰支细长压杆临界压力的欧拉公式 压杆失稳时 总是绕抗弯刚度最小的轴发生弯曲变形 应是截面最小的形心主惯性矩 因此 对于各个方向约束相同的情形 适用范围 3 理想压杆 2 线弹性 小变形 1 两端为铰支座的细长杆 轴线为直线 压力与轴线重合 材料均匀 轴线的初曲率 压力的偏心 材料的缺陷和不均匀等因素总是存在的 为非理想受压直杆 实际使用的压杆 公式的推导中应用了弹性小挠度微分方程 因此公式只适用于弹性稳定问题 Euler解 精确解 实验结果的比较 C F G H D E Euler解 精确解 实验结果 截面惯性矩 临界力 其他支座条件下细长压杆的临界压力 对于其它约束情况的压杆 将挠曲线形状与两端铰支压杆的挠曲线形状加以比较 用几何类比的方法 求它们的临界力 根据力学性质将某些点类比为支座点 其它约束 折算成两端铰支 类比法 一端固定 一端自由 两端铰支 两端铰支 一端固定 一端铰支 两端固定 两端铰支 两端铰支 一端固定 一端自由 长度系数 相当长度 长度系数 一端固定 一端铰支 两端固定 欧拉公式普遍形式 杆端的约束愈弱 则值 愈大 压杆的临界力愈低 杆端的约束愈强 则 值愈小 压杆的临界力愈高 讨论 1 相当长度 l的物理意义 压杆失稳时 挠曲线上两拐点间的长度就是压杆相当长度 l l是各种支承条件下 细长压杆失稳时 挠曲线中相当于半波正弦曲线的一段长度 长为L的一端固定一端自由的压杆的挠曲线与长为2L的两端铰支的细长杆相当 长为L的两端固定压杆与长为0 5L的两端铰支压杆相当 长为L的一端固定 另端铰支的压杆 约与长为0 7L的两端铰支压杆相当 2 横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩I 若杆端在各个方向的约束情况相同 球形铰等 则I应取最小的形心主惯性矩 讨论 若杆端在各个方向的约束情况不同 柱形铰 应分别计算杆在不同方向失稳时的临界力 I为其相应的对中性轴的惯性矩 例1 图示各杆材料和截面均相同 试问哪一根杆能承受的压力最大 哪一根的最小 3 杆的临界压力最大 最稳定 相当长度 1 杆的临界压力最小 最先失稳 能不能应用欧拉公式计算四根压杆的临界载荷 四根压杆是不是都会发生弹性屈曲 材料和直径均相同 问题 欧拉公式的适用范围经验公式 临界应力 截面的惯性半径 工作柔度 临界应力的欧拉公式 又称为压杆的长细比 它全面反映了压杆长度 约束条件 截面尺寸和形状对临界力的影响 塑性材料在压缩时的应力应变曲线 细长杆 当临界应力小于或等于材料的比例极限时 这类压杆又称为大柔度杆 令 材料的第一特征柔度 压杆发生弹性失稳 中粗杆 压杆的临界应力超过比例极限 低于屈服极限 直线公式 令 材料的第二特征柔度 中柔度压杆失稳时 横截面上的应力已超过比例极限 这类杆又称中柔度杆 a b为与材料性能有关的常数 中粗杆 故属于弹塑性稳定问题 粗短杆 这类压杆将发生强度失效 而不是失稳 这类杆又称为小柔度杆 压杆的临界应力超过超过屈服极限后 粗短杆 小柔度 中粗杆 中柔度 细长杆 大柔度 压杆的临界应力总图 弹性失稳 弹塑性稳定问题 强度失效 细长杆 中长杆 粗短杆 临界应力总图 粗短杆 三类不同的压杆 细长杆 中长杆 发生弹性屈曲 发生弹塑性屈曲 不发生屈曲 而发生屈服 欧拉公式 小柔度杆 中柔度杆 大柔度杆 经验直线公式 临界应力计算 临界压力 1846年拉马尔具体讨论了Euler公式的适用范围 并提出超过此范围的压杆要依靠实验研究 发展历史 文艺复兴时 达芬奇对压杆作了一些开拓性研究工作 荷兰物理学家教授穆森布洛克1729年对杆件的受拉试验 得出 压曲载荷与杆长的平方成反比 瑞士数学家Euler首先导出细长杆压曲载荷公式 1744年出版的变分法专著曾得到 失稳后弹性屈曲的精确描述及压曲载荷的计算公式 两端铰支压杆的压曲载荷公式由法国科学家拉格朗日在Euler近似微分方程的基础上于1770年左右得到 英国科学家杨 YoongT 于1807年 纳维于1826年先后指出Euler只适用于细长杆 安全系数法 P为压杆的工作载荷 是压杆的临界载荷 由于压杆存在初曲率和载荷偏心等不利因素的影响 值一般比强度安全系数要大些 越大 在机械 动力 冶金等工业部门 由于载荷情况复杂 一般都采用安全系数法进行稳定计算 压杆的稳定校核 是稳定安全系数 值也越大 压杆稳定校核的一般步骤 的四种取值情况 1 计算工作柔度 压杆总在工作应力大的纵向面内首先失稳 故工作柔度取较大者 为形心主轴的惯性矩 小柔度杆 中柔度杆 3 临界应力 大柔度杆 欧拉公式 直线公式 强度问题 2 特征柔度 4 确定临界应力 5 稳定条件 稳定性校核 确定许可载荷 设计合理截面 注意 在压杆计算中 有时会遇到压杆局部有截面被消弱的情况 如杆上有孔 切槽等 由于压杆的临界载荷是从研究整个压杆的弯曲变形来决定的 局部截面的消弱对整个变形影响较小 故稳定计算中仍用原有的截面几何量 但强度计算是根据危险点的应力进行的 故必须对削弱了的截面进行强度校核 a 压杆的稳定取决于整个杆件的弯曲刚度 b 对于局部削弱的横截面 应进行强度校核 2 AB杆的工作柔度 1 计算工作压力 AB为大柔度杆 AB杆满足稳定性要求 3 选用公式 计算临界应力 4 计算安全系数 5 结论 例题2 两根直径均为d的压杆 材料都是Q235钢 但二者长度和约束条件各不相同 试 2 已知 d 160mm E 206GPa P 200MPa求 二杆的临界载荷 1 分析 哪一根压杆的临界载荷比较大 1 分析 哪一根压杆的临界载荷比较大 从临界应力总图可以看出 对于材料相同的压杆 柔度越大 临界载荷越小 所以判断哪一根压杆的临界载荷大 必须首先计算压杆的柔度 柔度小者 临界载荷大 2 已知 d 160mm Q235钢 E 206GPa 求 二杆的临界载荷 首先计算柔度 判断属于哪一类压杆 Q235钢 p 100 二者都属于细长杆 采用欧拉公式 例题3 已知 b 40mm h 60mm l 2300mm Q235钢E 206GPa FP 150kN n st 1 8校核稳定性 正视图 俯视图 压杆在正视图平面内 两端约束为铰支 屈曲时横截面将绕z轴转动 y yl iy Iz bh3 12 Iy hb3 12 z 132 6 y 99 48 z zl iz 压杆在俯视图平面内 两端约束为固定端 屈曲时横截面将绕y轴转动 因此 压杆将在正视图平面内屈曲 工作安全因数 z 132 6 压杆将在正视图平面内屈曲 1 圆截面杆BD的直径为 35毫米 采用普通碳钢 弹性模量 200GP 比例极限为 P 200MP 屈服极限为 S 235MP 304MP 1 12MP 稳定安全系数取 w 3 载荷G 30KN 校核BD杆的稳定性 2 横梁AB与拉杆BC的直径相同 D 40毫米 同为普通碳钢 弹性模量 200GP 比例极限为 P 200MP 屈服极限为 S 235MP 304 1 12 屈服安全系数取 s 1 5 稳定安全系数取 w 5 L 2米 均布载荷的集度 2KN 校核系统 3 钢制矩形截面杆的长度为L 1 732米 横截面为60 100 P 100KN 许用应力为 30MP 弹性模量E 200GP 比例极限 P 80MP 屈服极限 S 160MP 稳定安全系数 w 2 304MP 1 12MP 构件安全吗 4 AB杆的两端固定 在20OC时杆内无内力 已知 杆长为L 400毫米 杆的直径d 8毫米 材料的弹性模量为E 200GP 比例极限为 P 200Mpa 线胀系数 1 25 10 51 OC 杆的稳定安全系数为2 当温度升高到40OC时 校核杆的稳定性 5 立柱为实心圆截面 直径为D 20毫米 材料的弹性模量为E 200GP 比例极限为 P 200Mpa 稳定安全系数为nst 2 校核立柱的稳定性 6 如图所示中的直角三角形桁架 三杆的直径均为30毫米 A点的力P水平P 30KN 若材料的弹性模量为E 200GPa 屈服极限为 s 240MPa 比例极限为 p 200MP 材料常数为a 304MPa b 1 12Mpa 稳定安全系数为nw 2 4 校核结构的稳定性 7 各杆的材料相同 横截面同为直径为D的圆截面 按稳定性排序 8 若直径为d的实心圆杆与内外直径比为d2 D2 0 7的空心圆管的横截面面积相同 从稳定性的角度考虑 以下四种方案中较为合理的是 论述原因 9 若直径为d的实心圆杆与内外直径比为d2 D2 0 7的空心圆管的横截面面积相同 从稳定性的角度考虑 以下两种方案中较为合理的是 论述原因 10 图示结构中四根压杆的长度 材料 截面形状 横截面面积均相同 排序出在纸平面内失稳的先后顺序 11 图示中的正方形桁架的几何尺寸 杆的横截面直径 材料 力P及其作用点均相同 若它们所承受的最大外力分别为P1 P2 P3 按从大到小的顺序排列 12设千斤顶的最大承载压力为P 150kN 螺杆内径d 52mm l 50cm 材料为A3钢 E 200GPa 稳定安全系数规定为nst 3 试校核其稳定性 13图示结构AB为圆截面直杆 直径d 80mm A端固定 B端与BC直杆球铰连接 BC杆为正方形截面 边长a 70mm C端也是球铰 两杆材料相同 弹性模量E 200GPa 比例极限 200GPa 长度l 3m 求该结构的临界力 14图示托架中杆AB的直径d 4cm 长度l 80cm 两端可视为铰支 材料是Q235钢 1 试按杆AB的稳定条件求托架的临界力 2 若已知实际载荷Q 70kN 稳定安全系数nst 2 问此托架是否安全 15图示立柱由两根10号槽钢组成 立柱上端为球铰 下端固定 柱长L 6m 试求两槽钢距离a值取多少立柱的临界力最大 其值是多少 已知材料的弹性模量E 200GPa 比例极限 200MPa 16蒸汽机车的连杆截面为工字形 材料为A3钢 连杆所受最大轴向压力为465kN 连杆在摆动平面 xy平面 内发生弯曲时 两端可认为铰支 而在与摆动平面垂直的xz平面内发生弯曲时 两端可认为是固定支座 试确定其工作安全系数 越大越稳定 1 减小压杆长度 2 减小长度系数 3 增大截面惯性矩I 4 增大弹性模量E 提高压杆稳定性的措施 1 减小压杆长度 2 增强约束 3 选择合理的截面形式 增大截面的惯性矩 合理截面的基本原则 使截面对两个形心主轴的惯性矩相等 而且尽可能大 压杆的承载能力取决于最小的惯性矩I 1 当压杆各个方向的约束条件相同时 是理想截面 它们各个方向的惯性矩相同 且惯性矩比同等面积的实心杆大得多 但这种薄壁杆的壁厚不能过薄 否则会出现局部失稳现象 出现折皱 对于型钢截面 工字钢 槽钢 角钢等 由于它们的两个形心主轴惯性矩相差较大 选用合适的距离a 使Iy Iz 可大大提高压杆的承载能力 组合截面压杆 工程实际中常用几个型钢 通过缀板组成一个组合截面压杆 为提高复合型压杆的承载力 型钢应分开安放 缀条或缀板应有足够的强度 否则各型钢将变为分散的单独受压构件 达不到预期的稳定性 2 两纵向面内约束不同 宜采用非对称截面 2 合理截面要求在两个纵向面内有相同的稳定性 1 两纵向面内的约束相同时 此时宜采用对称性截面 4 合理选择材料 但各种钢材的E基本相同 所以对大柔度杆选用优质钢材比低碳钢并无多大差别 1 细长杆 对于大柔度杆 临界应力与材料的弹性模量E成正比 不宜采用优质钢 但钢材E比铜 铝合金的E高 所以多用钢压杆 随的提高而提高 所以采用高强度合金钢可降低自重 提高稳定性 2 中粗杆 a b与强度有关 优质钢可在一定程度上提高压杆的临界力 可适当选用优质钢 将受压杆件改换为杆件的受拉伸 从而彻底根除稳定性问题 3 粗短杆 本来就是强度问题 优质钢材的强度高 其承载能力的提高是显然的 5 在可能的条件下 从结构方面采取相应的措施 1 图示中二杆的直径相同 均为40毫米 采用同种材料 E 200GP 许用应力为 120MP 第一特征柔度系数 P 90 稳定安全系数 w 2 求载荷 P 确定系统的许可载荷 2 由三根钢管构成的支架如图所示 钢管的外经为30mm 内径为22mm 长度l 2 5m E 210GPa 在支架的顶点三杆铰接 若取稳定安全系数3 0 试求许可载荷 3 图示结构中 一端固定一端铰支的圆截面压杆受轴向压力P的作用 直径为d 80毫米 杆长为L 3 4米 材料均为A3钢 比例极限为 P 200MPa 屈服极限为 s 240MPa 强度极限为 b 400Mpa 弹性模量E 200GPa 直线公式系数a 304MPa b 1 12MPa 稳定安全系数为nW 3 求 AB杆的许可载荷 P 为提高压杆的稳定性 在AB杆的中央C点处加一中间活动铰链支撑 把AB杆分成AC CB独立的两段 求此时结构的许可载荷 P 1 二杆的直径均为 50毫米 采用同种材料 弹性模量E 200GP 许用应力 200MP 比例极限 P 240MP 稳定安全系数 8 外力的作用线与1杆的轴线平行 求许可载荷P 综合类 2下端固定 上端铰支 长l 4m的压杆 由两根10号槽钢焊接而成 如图所示 已知杆材料为3号钢 强度许用应力 160MPa 试求压杆的许可荷载 3图示结构中AC与CD杆均用3号钢制成 C D两处均为球铰 已知d 20mm b 100mm h 180mm E 200GPa 235MPa 400MPa 强度安全系数n 2 0 稳定安全系数3 0 试确定该结构的最大许可荷载 3 AB CD均由普通碳钢制成 弹性模量E 200GP 比例极限 P 200MP 屈服极限 S 240MP AB采用 20 40的矩形截面 C 采用直径为 20毫米的圆截面 L 1米 屈服安全系数 稳定安全系数 2 求系统的许可载荷 4AB BC均由普通碳钢制成 弹性模量E 200GP 比例极限 P 200MP 屈服极限 S 240MP AB BC均采用直径为 40毫米的圆截面 L 2米 2KN m 屈服安全系数 稳定安全系数 校核系统 5横梁ABC为10号工字钢 抗弯截面系数为W 49 3 BD杆采用20 30的矩形截面 梁与杆的材料相同 弹性模量E 200GP 许用应力为 140MP 第一特征柔度系数 P 100 稳定安全系数 2 系统安全吗 6横梁AB为刚性 CD EF杆的尺寸相同 均采用圆截面 直径为 30毫米 弹性模量E 200GP 比例极限 P 200MP 屈服极限 S 240MP 屈服安全系数 2 稳定安全系数 3 求许可载荷P 7横梁AB为T型截面铸铁梁 截面对形心轴的惯性矩为I 800 4 1 50毫米 2 90毫米 许用拉应力为 t 40MP 许用压应力为 c 80MP CD杆的直径为 24毫米 采用普通碳钢 弹性模量E 200GP 比例极限 P 200MP 屈服极限 S 240MPa 稳定安全系数 2 5 L 1m 校核结构 8 各构件均为圆截面 直径d 20毫米 材料弹性模量E 200GPa L 1米 第一特征柔度 p 100 第二特征柔度 s 57 经验公式 cr 304 1 12 稳定安全系数nw 3 许用应力 140MPa 求此结构的许可载荷 P 9 横梁为刚性杆 1 2杆件的材料相同均为A3钢 比例极限 P 200MP 屈服极限为 s 240Mpa 强度极限为 b 400MP 1杆的直径为 10毫米 杆长L1 1米 2杆的直径为 20毫米 杆长为L2 1米 1杆与横梁的夹角为30度 2杆与横梁的夹角为60度 两杆的强度与稳定安全系数均为2 0 求结构的许可载荷 P 10 细长杆长L 1米 直径 16毫米 两端铰支 在温度15 时装配 装配后有 0 25毫米