第六章三角函数(高中数学竞赛标准教材)

1 / 17第六章三角函数( 高中数学竞赛标准教材)本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 第六章三角函数一、基础知识定义 1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。定义 2 角度制，把一周角 360 等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360 度=2 弧度。若圆心角的弧长为 L，则其弧度数的绝对值|=,其中 r 是圆的半径。定义 3 三角函数，在直角坐标平面内，把角 的顶点放在原点，始边与 x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点 P，设它的坐标为（x,y） ，到原点的距离为 r,则正弦函数 sin=,余弦函数 cos=,正切函数tan=，余切函数 cot=，正割函数 sec=,余割函数csc=定理 1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan=,sin=，cos=；商数关系：tan=；乘积关系：tancos=sin,cotsin=cos；平方关系：sin2+cos2=1,tan2+1=sec2,cot2+1=csc2.2 / 17定理 2 诱导公式（）sin(+)=-sin,cos(+)=-cos,tan(+)=tan,cot(+)=cot;（）sin(-)=-sin,cos(-)=cos,tan(-)=-tan,cot(-)=cot;（）sin(-)=sin,cos(-)=-cos,tan=(-)=-tan,cot(-)=-cot;（）sin=cos,cos=sin,tan=cot（奇变偶不变，符号看象限） 。定理 3 正弦函数的性质，根据图象可得 y=sinx（xR）的性质如下。单调区间：在区间上为增函数，在区间上为减函数，最小正周期为 2.奇偶数.有界性：当且仅当x=2kx+时，y 取最大值 1，当且仅当 x=3k-时,y 取最小值-1。对称性：直线 x=k+均为其对称轴，点（k,0）均为其对称中心，值域为-1，1。这里 kZ.定理 4 余弦函数的性质，根据图象可得 y=cosx(xR)的性质。单调区间：在区间2k,2k+上单调递减，在区间2k-,2k上单调递增。最小正周期为 2。奇偶性：偶函数。对称性：直线 x=k 均为其对称轴，点均为其对称中心。有界性：当且仅当 x=2k 时，y 取最大值1；当且仅当 x=2k- 时，y 取最小值-1。值域为-1，1。这里 kZ.定理 5 正切函数的性质：由图象知奇函数 y=tanx(xk+)在开区间(k-,k+)上为增函数,最小正周期为 ，值域3 / 17为（-，+） ，点（k，0） ， （k+，0）均为其对称中心。定理 6 两角和与差的基本关系式：cos()=coscossinsin,sin()=sincoscossin;tan()=定理 7 和差化积与积化和差公式:sin+sin=2sincos,sin-sin=2sincos,cos+cos=2coscos,cos-cos=-2sinsin,sincos=sin(+)+sin(-),cossin=sin(+)-sin(-),coscos=cos(+)+cos(-),sinsin=-cos(+)-cos(-).定理 8 倍角公式:sin2=2sincos,cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2,tan2=定理 9 半角公式:sin=,cos=,tan=定理 10 万能公式:,定理 11 辅助角公式：如果 a,b 是实数且 a2+b20，则取始边在 x 轴正半轴，终边经过点(a,b)的一个角为 ，则sin=,cos=，对任意的角 .4 / 17asin+bcos=sin(+).定理 12 正弦定理：在任意ABc 中有，其中 a,b,c 分别是角 A，B，c 的对边，R 为ABc 外接圆半径。定理 13 余弦定理：在任意ABc 中有 a2=b2+c2-2bcosA，其中 a,b,c 分别是角 A，B，c 的对边。定理 14 图象之间的关系：y=sinx 的图象经上下平移得y=sinx+k 的图象；经左右平移得 y=sin(x+)的图象（相位变换） ；纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到 y=sin()的图象（周期变换） ；横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到 y=Asinx 的图象（振幅变换） ；y=Asin(x+)(0)的图象（周期变换） ；横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到 y=Asinx 的图象（振幅变换） ；y=Asin(x+)(,0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得到 y=Asinx 的图象。定义 4 函数 y=sinx 的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x-1,1)，函数 y=cosx(x0,)的反函数叫反余弦函数，记作 y=arccosx(x-1,1).函数 y=tanx的反函数叫反正切函数。记作 y=arctanx(x-,+).y=cosx(x0,)的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x-,+).定理 15 三角方程的解集，如果 a(-1,1)，方程 sinx=a的解集是x|x=n+(-1)narcsina,nZ。方程 cosx=a 的5 / 17解集是x|x=2kxarccosa,kZ.如果 aR，方程 tanx=a 的解集是x|x=k+arctana,kZ。恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.定理 16 若，则 sinxtanx.二、方法与例题1结合图象解题。例 1 求方程 sinx=lg|x|的解的个数。【解】在同一坐标系内画出函数 y=sinx 与 y=lg|x|的图象（见图） ，由图象可知两者有 6 个交点，故方程有 6 个解。2三角函数性质的应用。例 2 设 x(0,),试比较 cos(sinx)与 sin(cosx)的大小。【解】若，则 cosx1 且 cosx-1，所以 cos，所以 sin(cosx)0,又 0sinx1,所以 cos(sinx)0，所以 cos(sinx)sin(cosx).若，则因为 sinx+cosx=(sinxcos+sincosx)=sin(x+)，所以 0，所以 cos(sinx)cos(-cosx)=sin(cosx).综上，当 x(0,)时，总有 cos(sinx)sin(cosx).6 / 17例 3 已知 ， 为锐角，且 x（+-）0，求证：【证明】若 +0得 coscos(-)=sin,所以 0sin(-)=cos,所以01，所以若 +得cos0,所以sin(-)=cos，所以1，所以，得证。注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。3最小正周期的确定。例 4 求函数 y=sin(2cos|x|)的最小正周期。【解】首先，T=2 是函数的周期（事实上，因为 cos(-x)=cosx，所以 co|x|=cosx） ；其次，当且仅当 x=k+时，y=0（因为|2cosx|2）,所以若最小正周期为 T0，则 T0=m,mN+，又sin(2cos0)=sin2sin(2cos)，所以 T0=2。4三角最值问题。7 / 17例 5 已知函数 y=sinx+，求函数的最大值与最小值。【解法一】令 sinx=,则有 y=因为，所以，所以1，所以当，即 x=2k-(kZ)时，ymin=0，当，即 x=2k+(kZ)时，ymax=2.【解法二】因为 y=sinx+,=2（因为(a+b)22(a2+b2)） ，且|sinx|1，所以 0sinx+2，所以当=sinx，即 x=2k+(kZ)时,ymax=2，当=-sinx，即 x=2k-(kZ)时,ymin=0。例 6 设 0，求 sin 的最大值。【解】因为 0，所以，所以sin0.所以 sin（1+cos）=2sincos2=当且仅当 2sin2=cos2,即 tan=,=2arctan 时，sin(1+cos)取得最大值。例 7 若 A，B，c 为ABc 三个内角，试求sinA+sinB+sinc 的最大值。【解】因为 sinA+sinB=2sincos,sinc+sin,8 / 17又因为，由，得 sinA+sinB+sinc+sin4sin,所以 sinA+sinB+sinc3sin=,当 A=B=c=时， （sinA+sinB+sinc）max=.注：三角函数的有界性、|sinx|1、|cosx|1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。5换元法的使用。例 8 求的值域。【解】设 t=sinx+cosx=因为所以又因为 t2=1+2sinxcosx,所以 sinxcosx=，所以，所以因为 t-1，所以，所以 y-1.所以函数值域为例 9 已知 a0=1,an=(nN+)，求证：an.【证明】由题设 an0，令 an=tanan,an，则an=因为，an，所以 an=，所以 an=又因为 a0=tana1=1，所以 a0=，所以。9 / 17又因为当 0x，所以注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。另外当 x时，有 tanxsinx，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明是很容易的。6图象变换：y=sinx(xR)与 y=Asin(x+)(A,0).由 y=sinx 的图象向左平移个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，然后再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到 y=Asin(x+)的图象；也可以由 y=sinx 的图象先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，最后向左平移个单位，得到 y=Asin(x+)的图象。例 10 例 10 已知 f(x)=sin(x+)(0,0)是 R 上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值。【解】由 f(x)是偶函数，所以 f(-x)=f(x)，所以 sin(+)=sin(-x+)，所以 cossinx=0，对任意 xR 成立。又 0，解得=，因为 f(x)图象关于对称，所以=0。取 x=0，得=0，所以 sin所以(kZ)，即=(2k+1)(kZ).又0，取 k=0 时，此时 f(x)=sin(2x+)在0，上是减10 / 17函数；取 k=1 时，=2，此时 f(x)=sin(2x+)在0，上是减函数；取 k=2 时，此时 f(x)=sin(x+)在0，上不是单调函数，综上，=或 2。7三角公式的应用。例 11 已知 sin(-)=，sin(+)=-，且 -，+，求 sin2,cos2 的值。【解】因为 -，所以 cos(-)=-又因为 +，所以 cos(+)=所以 sin2=sin(+)+(-)=sin(+)cos(-)+cos(+)sin(-)=,cos2=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)=-1.例 12 已知ABc 的三个内角 A，B，c 成等差数列，且，试求的值。【解】因为 A=1200-c，所以 cos=cos(600-c)，又由于=，所以=0。解得或。11 / 17又0，所以。例 13 求证：tan20+4cos70.【解】tan20+4cos70=+4sin20三、基础训练题1已知锐角 x 的终边上一点 A 的坐标为(2sin3,-2cos3)，则 x 的弧度数为_。2适合-2cscx 的角的集合为_。3给出下列命题：（1）若 ，则sinsin；（2）若 sinsin,则 ；（3）若sin0，则 为第一或第二象限角；（4）若 为第一或第二象限角，则 sin0.上述四个命题中，正确的命题有_个。4已知 sinx+cosx=(x(0,)，则cotx=_。5简谐振动 x1=Asin 和 x2=Bsin 叠加后得到的合振动是x=_。6已知 3sinx-4cosx=5sin(x+1)=5sin(x-2)=5cos(x+3)=5cos(x-4)，则 1，2，3，4 分别是第_象限角。7满足 sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的锐角 x 共有12 / 17_个。8已知，则=_。9=_。10cot15cos25cot35cot85=_。11已知 ,(0,),tan,sin(+)=，求 cos 的值。12已知函数 f(x)=在区间上单调递减，试求实数 m 的取值范围。四、高考水平训练题1已知一扇形中心角是 a,所在圆半径为 R，若其周长为定值 c(c0)，当扇形面积最大时，a=_.2.函数 f(x)=2sinx(sinx+cosx)的单调递减区间是_.3.函数的值域为_.4.方程=0 的实根个数为_.5.若 sina+cosa=tana,a，则_a（填大小关系）.6.(1+tan1)(1+tan2)(1+tan44)(1+tan45)=_.7.若 0且 tanx=3tany，则 x-y 的最大值为_.8.=_.9.cos=_13 / 17_.+cos71cos49+cos249=_.11.解方程：sinx+2sin2x=3+sin3x.12.求满足 sin(x+sinx)=cos(x-cosx)的所有锐角 x.13.已知 f(x)=(kA0,kZ,且 AR)， （1）试求 f(x)的最大值和最小值；（2）若 A0,k=-1，求 f(x)的单调区间；（3）试求最小正整数 k，使得当 x 在任意两个整数（包括整数本身）间变化时，函数 f(x)至少取得一次最大值和一次最小值。五、联赛一试水平训练题（一）1若 x,yR，则 z=cosx2+cosy2-cosxy 的取值范围是_.2已知圆 x2+y2=k2 至少盖住函数 f(x)=的一个最大值点与一个最小值点，则实数 k 的取值范围是_.3f()=5+8cos+4cos2+cos3 的最小值为_.4方程 sinx+cosx+a=0 在（0，2）内有相异两实根，则 +=_.5函数 f(x)=|tanx|+|cotx|的单调递增区间是_.6设 sinacos，则的取值范围是_.7方程 tan5x+tan3x=0 在0，中有_个解.14 / 178若 x,yR,则 m=cosx+cosy+2cos(x+y)的最小值为_.9若 0,mN+,比较大小：(2m+1)sinm(1-sin)_1-sin2m+1.10cot70+4cos70=_.11.在方程组中消去 x,y，求出关于 a,b,c 的关系式。12已知 ，且 cos2+cos2+cos2=1，求tantantan 的最小值。13关于 x,y 的方程组有唯一一组解，且sin,sin,sin 互不相等，求 sin+sin+sin 的值。14求满足等式 sinxy=sinx+siny 的所有实数对（x,y）,x,y.联赛一试水平训练题（二）1在平面直角坐标系中，函数 f(x)=asinax+cosax(a0)在一个最小正周期长的区间上的图象与函数 g(x)=的图象所围成的封闭图形的面积是_.2若，则 y=tan-tan+cos 的最大值是_.3在ABc 中，记 Bc=a,cA=b,AB=c,若 9a2+9b2-19c2=0，则=_.4设 f(x)=x2-15 / 17x,=arcsin,=arctan,=arccos,=arccot,将 f(),f(),f(),f()从小到大排列为_.5logsin1cos1=a,logsin1tan1=b,logcos1sin1=c,logcos1tan1=d。将 a,b,c,d 从小到大排列为_.6在锐角ABc 中，cosA=cossin,cosB=cossin,cosc=cossin，则tantan=_.7已知矩形的两边长分别为 tan 和 1+cos(0)，且对任何 xR,f(x)=sinx+cos0，则此矩形面积的取值范围是_.8在锐角ABc 中，sinA+sinB+sinc 的取值范围是_.9已知当 x0,1，不等式 x2cos-x(1-x)+(1-x)2