选修4-4坐标系与参数方程.ppt

选修4 4坐标系与参数方程第一节坐标系第二节参数方程 目录 备考方向要明了 1 理解坐标系的作用 了解平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况 2 了解极坐标的基本概念 会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置 能进行极坐标和直角坐标的互化 3 能在极坐标系中用极坐标表示点位置 理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别 能进行极坐标和直角坐标的互化 考什么 1 从知识点上看 主要考查极坐标方程与直角坐标的互化 考查点 曲线的极坐标方程的求法 考查数形结合 化归思想的应用能力以及分析问题 解决问题的能力 2 以解答题形式出现 难度不大 如2012年新课标T23等 4 能在极坐标系中给出简单图形 如过极点的直线 过极点或圆心在极点的圆 的方程 通过比较这些图形在极坐标系中的方程 理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义 怎么考 考什么 归纳 知识整合 1 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 x 0 y 0 2 极坐标系的概念 1 极坐标系如图所示 在平面内取一个O 点O叫做极点 自极点O引一条Ox Ox叫做极轴 再确定一个 一个 通常取弧度 及其正方向 通常取逆时针方向 这样就建立了一个极坐标系 定点 射线 长度单位 角度单位 2 极坐标 一般地 不作特殊说明时 我们认为 0 可取任意实数 3 点与极坐标的关系一般地 极坐标 与表示同一个点 特别地 极点O的坐标为 和直角坐标不同 平面内一个点的极坐标有种表示 如果规定 0 0 2 那么除极点外 平面内的点可用惟一的极坐标表示 同时 极坐标 表示的点也是惟一确定的 探究 1 极点的极坐标如何表示 提示 规定极点的极坐标是极径 0 极角可取任意角 无数 2k k Z 0 R 3 极坐标与直角坐标的互化 sin x2 y2 探究 2 平面内点与点的直角坐标的对应法则是什么 与点的极坐标呢 提示 平面内的点与点的直角坐标是一一对应法则 而与点的极坐标不是一一对应法则 如果规定 0 0 2 那么除极点外 点的极坐标与平面内的点就一一对应了 cos 4 常见曲线的极坐标方程 r 0 2 2rcos 2rsin 0 R R sin a 0 自测 牛刀小试 1 极坐标方程 cos 化为直角坐标方程 解 由 cos 得 2 cos 故x2 y2 x 2 2013 北京模拟 在极坐标系中 求过点 1 0 并且与极轴垂直的直线方程 解 过点 1 0 且与极轴垂直的直线 在直角坐标系中的方程为x 1 所以其极坐标方程为 cos 1 4 在极坐标系中 若过点A 3 0 且与极轴垂直的直线交曲线 4cos 于A B两点 求AB的长 5 已知圆的极坐标方程为 2cos 求该圆的圆心到直线 sin 2 cos 1的距离 伸缩变换的应用 求经伸缩变换后曲线方程的方法 极坐标与直角坐标的互化 极坐标与直角坐标互化的注意点 1 在由点的直角坐标化为极坐标时 一定要注意点所在的象限和极角的范围 否则点的极坐标将不惟一 2 在曲线的方程进行互化时 一定要注意变量的范围 要注意转化的等价性 极坐标系的综合问题 求解与极坐标有关的问题的主要方法一是直接利用极坐标系求解 求解时可与数形结合思想结合使用 二是转化为直角坐标系后 用直接坐标求解 使用后一种时应注意 若结果要求的是极坐标 还应将直角坐标化为极坐标 4 2013 西安五校联考 在极坐标系 0 2 中 求曲线 2sin 与 cos 1的交点的极坐标 1 互化的三个前提条件 极点与原点重合 极轴与x轴正方向重合 取相同的单位长度 2 若把直角坐标化为极坐标 求极角 时 应注意判断点P所在的象限 即角 的终边的位置 以便正确地求出角 利用两种坐标的互化 可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题 易误警示 极坐标系中的解题误区 1 因没有掌握极坐标与直角坐标的转化 无法把极坐标方程转化为普通方程 2 因不清楚题意 即直线与圆的交点实为直线与x轴的交点 如果不会转化 导致计算加大 多走弯路 3 解答与极坐标有关的问题时 还易出现不注意极径 极角的取值范围等而致错的情况 已知两曲线的极坐标方程C1 2 0 C2 4cos 求两曲线交点的直角坐标 演练知能检测 见 限时集训 七十三 2 2011 江西高考改编 若曲线的极坐标方程为 2sin 4cos 以极点为原点 极轴为x轴正半轴建立直角坐标系 求该曲线的直角坐标方程 备考方向要明了 本节考查的重点是参数方程和直角坐标方程的互化 热点是参数方程 极坐标方程的综合性问题 难度较小 主要考查转化和化归的思想方法 如2012年新课标T23等 1 了解参数方程 了解参数的意义 2 能选择适当的参数写出直线 圆和椭圆的参数方程 怎么考 考什么 归纳 知识整合 1 参数方程的概念 任意一点 曲线C上 参数 普通方程 探究 1 平面直角坐标系中 同一曲线的参数方程唯一吗 提示 不唯一 平面直角坐标系中 对于同一曲线来说 由于选择的参数不同 得到的曲线的参数方程也不同 2 直线的参数方程 y y0 tsin 3 圆的参数方程 4 椭圆的参数方程 自测 牛刀小试 参数方程与普通方程的互化 将参数方程化为普通方程的方法 1 将参数方程化为普通方程 需要根据参数方程的结构特征 选取适当的消参方法 常见的消参方法有 代入消参法 加减消参法 平方消参法等 对于含三角函数的参数方程 常利用同角三角函数关系式消参 如sin2 cos2 1等 2 将参数方程化为普通方程时 要注意两种方程的等价性 不要增解 参数方程的应用 与参数方程有关的问题 求解时 一般是将参数方程化为普通方程 转化为我们熟悉的形式 利用直角坐标方程求解问题 极坐标方程和参数方程的综合 例3 2012 辽宁高考 在直角坐标系xOy中 圆C1 x2 y2 4 圆C2 x 2 2 y2 4 1 在以O为极点 x轴正半轴为极轴的极坐标系中 分别写出圆C1 C2的极坐标方程 并求出圆C1 C2的交点坐标 用极坐标表示 2 求圆C1与C2的公共弦的参数方程 求参数方程与极坐标问题的转化方法在已知极坐标方程求曲线交点 距离 线段长 切线等几何问题时 如果不能直接用极坐标解决 或用极坐标解决较麻烦时 可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决 转化时要注意两坐标系的关系 注意 的取值范围 取值范围不同对应的曲线不同 数学思想 参数方程中的转化思想 在对坐标系与参数方程的考查中 最能体现坐标法的解题优势 灵活地利用坐标法可以使问题得到简捷的解答 例如 将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程 然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法 对应数学问题求解的 化生为熟 原则 充分体现了等价转化的数学思想 1 本题