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第2章连续时间系统时域分析 主要内容 1 微分方程式的建立与求解2 起始点的跳变 从0 到0 3 零输入响应与零状态响应4 冲激响应与阶跃响应5 卷积及其性质 SIGNALSANDSYSTEMS 鲁东大学电子与电气工程学院 本章内容特点 1 以电路分析 高等数学 工程数学等先修课程为基础 理论 提高与应用之间比较难把握和处理 2 系统响应的时域求解 计算过程比较繁琐 3 对冲激函数的理解和应用 需要灵活掌握 SIGNALSANDSYSTEMS 鲁东大学电子与电气工程学院 2 1引言 2 1引言 分析过程中不经过任何变换 直接求解系统的微分 积分 方程 所涉及的函数的变量都是时间t 称为时域分析方法 time domainmethod 系统分析的两个主要任务 1 建立数学模型 线性微分方程 2 分析信号通过系统产生的响应 求解线性微分方程 系统数学模型的时域表示 1 输入 输出描述 一元n阶微分方程 2 状态变量描述 n元联立一阶微分方程 2 2微分方程式的建立与求解 2 2微分方程式的建立与求解 连续时间系统种类很多 其描述的工具都可用微分方程 对于电系统 依据是电网络的两个约束特性 元件特性约束 即表征元件特性的关系式 例如二端元件电阻 电感 电容各自的电压与电流的关系等 网络拓扑约束 由网络结构决定的电压 电流约束关系 以基尔霍夫电压定律 KVL 和基尔霍夫电流定律 KCL 表示 1 微分方程式的建立 1 元件端口的电压与电流约束关系 电网络的两个约束特性 微分方程式的建立方法 连续时间系统数学模型 2 2微分方程式的建立与求解 2 各电路的电流 电压约束关系 KVL KCL 电网络的两个约束特性 2 2微分方程式的建立与求解 例1 如右图所示RLC电路 求电阻R2两端电压y t 与输入电压f t 之间的关系 解 设电路中两回路电流分别为i1 t 和i2 t 根据KVL列出回路方程为 LCR2f t 回路 1 LR1f t 回路 2 利用可得到 将 1 2 整理得到 2 2微分方程式的建立与求解 2 2微分方程式的建立与求解 例2 如右图所示的一机械位移系统 质量为m的物体由弹簧牵引 另一端固定在墙壁 物体与地面摩擦系数为f 弹簧系数为k 外加牵引力为FS t 求FS t 与物体运动速度v t 的关系 解 弹簧拉力 摩擦力 运动物体的惯性力 整个系统的力是平衡的 化简得 2 2微分方程式的建立与求解 说明 对比例题1 2可以看出 虽然是两个不同性质的系统 但却具有相同的数学模型 如果组成系统的元件都是参数恒定的线性元件 则构成的系统是线性时不变系统 体现在方程形式上是一线性微分方程 例题1 例题2 微分方程式的求解方法 经典法 即时域分析法 以前电路分析课里已经讨论过 但对于含有冲激函数时的情况 需特别处理 双零法 零输入 可利用经典法求零状态 利用卷积积分法求解变换域法 将时间变量变换成其它形式的变量求解 2 2微分方程式的建立与求解 n阶常系数微分方程的求解法thesolutionmethodforconstant coefficientdifferenceequationofNth order 2 2微分方程式的建立与求解 例3 对于一个线性系统 其激励信号x t 与响应函数y t 之间的关系 可用下列形式的微分方程式来描述 上式就是一个常系数n阶线性常微分方程 2 微分方程式的求解方法 经典时域分析方法 2 2微分方程式的建立与求解 上方程的完全解由两部分组成 即齐次解和特解 齐次解应满足齐次微分方程 特征方程为 2 2微分方程式的建立与求解 齐次解的基本形式为 将其代入上式得 1 当特征根为不等单实根 微分方程的齐次解为 固有响应 自由响应 固有频率 自由频率 3 若 为共轭复根 即 那么 在齐次解中 对应于 的部分为 2 2微分方程式的建立与求解 2 当特征根有重根 假设是特征方程的K重根 那么 在齐次解中 对应于的部分将有K项 以上各式中的Ai为待定系数 由初始条件确定 特征方程的根所对应微分方程的齐次解 特征方程的根 微分方程的齐次解 1 单实根 2 K重实根 3 一对单共轭复根 4 一对K重共轭复根 2 2微分方程式的建立与求解 例3 求下列微分方程的齐次解 解 微分方程的特征方程为 齐次解 2 2微分方程式的建立与求解 特解的求法 特解的函数形式与激励函数的形式有关 2 2微分方程式的建立与求解 鲁东大学电子与电气工程学院 SIGNALSANDSYSTEMS 微分方程的右端的函数式称为 自由项 通常由观察自由项 来试选特解函数式 代入方程后求得特解函数式中的待定系数 即可求出特解 注意 特解一定是系统在t 0 时刻的解 几种典型激励函数相应的特解 激励函数x t 响应函数y t 的特解 解 1 列出微分方程式为 节点1 节点2 例5 如下图所示电路 已知激励信号x t cos2tu t 两个电容上的初始电压均为零 求输出信号v2 t 的表达式 1 2 化简上两式得 2 为求齐次解 写出特征方程 特征根 3 查表 得特解形式为 代入原方程得 齐次解为 比较上述方程两边系数得 2 2微分方程式的建立与求解 强迫响应 自由响应 4 则方程的完全解为 由于已知电容C2上的初始电压为零 因而有v2 0 0 又因为电容C1上的初始电压也为零 于是流过R2 C2中的初始电流也为零 即v 2 0 0 1 由v2 0 0及v 2 0 0代入方程 1 可求得系数A1 A2 2 2微分方程式的建立与求解 由v2 0 0及v 2 0 0代入 1 式求得 1 2 2微分方程式的建立与求解 自由响应 齐次解 强迫响应 特解 2 2微分方程式的建立与求解 自由响应 齐次解 强迫响应 特解 前两项随着t的增大而消失 称为瞬态响应 后两项随着t的增大呈现等幅振荡 称为稳态响应 一般地 稳定系统的全响应 瞬态 暂态 响应 稳态响应瞬态响应是激励接入后 暂时出现的分量 由指数衰减的各项组成 2 2微分方程式的建立与求解 分别画出波形图如下 瞬态响应 稳态响应 2 2微分方程式的建立与求解 一般将激励信号加入的时刻定义为t 0 响应为时的方程的解 初始条件 1 齐次解 由特征方程 求出特征根 写出齐次解的形式 注意重根情况处理方法 初始条件的确定是要解决的主要问题 经典法求解微分方程步骤 3 全解 齐次解 特解 由初始条件定出齐次解系数 2 特解 根据微分方程右端函数式形式 设含待定系数的特解函数式 代入原方程 比较系数定出特解 2 2微分方程式的建立与求解 小结 1 微分方程的齐次解表示系统的自由响应 它由系统本身的属性决定 2 特征方程的根称为系统的固有频率 它决定了系统自由响应的全部形式 3 特解称为系统的强迫响应 它只与激励函数的形式有关 4 系统的完全响应 自由响应 强迫响应 2 3起始点的跳变 2 3起始点的跳变 从0 到0 1 起始状态与初始条件起始状态 在激励接入之前的瞬时 t 0 时刻 系统的固有状态 也称0 状态 反映的是系统以往的历史信息 初始条件 在激励接入之后的瞬时 t 0 时刻 系统的状态 也称系统的0 状态或初始条件 系统微分方程的求解限于时间范围 在用经典方法求系统响应时 必须确定系统的初始条件 这是求解微分方程的关键 2 3起始点的跳变 1 初始条件的确定 实际电路的初始条件 由储能元件的储能情况或 来确定0 状态 当没有冲激电流 或阶跃电压 强迫作用于C 没有冲激电压 或阶跃电流 强迫作用于L时 电路的0 状态为 电路分析中的换路定则 但是当有冲激电流强迫作用于电容 或有冲激电压强迫作用于电感 0 到0 状态就会发生跳变 跳变值往往不易直接求得 这时 可借助微分方程式两端各奇异函数系数平衡的方法作出判断 2 3起始点的跳变 1 初始条件的确定 一般系统的初始条件 当系统用微分方程表示时 系统的0 到0 的状态有没有跳变取决于微分方程右端函数式有无冲激函数及其各阶导数项 初始条件的求法 1 电路分析中的换路定则 经典法 2 当微分方程的右端包含冲激函数时 就用冲激函数及其导数平衡匹配法 奇异函数平衡法 例6 如右图所示电路 t 0开关S处于1的位置且电路已经达到稳态 当t 0转向2 建立i t 的微分方程 并求i t 在时的变化 解 1 列出电路的微分方程 回路方程 节点方程 化简上式 并代入电路参数得到 2 3起始点的跳变 利用经典法求0 状态 2 求系统的完全响应 求齐次解 特征方程 特征根 齐次解 求特解 特解形式为将其代入方程 1 得 1 系统的全响应为 2 3起始点的跳变 2 3起始点的跳变 3 确定换路后的 换路后 换路前 电容两端电压 电感中的电流在换路瞬间不发生突变 用经典法求0 状态 2 3起始点的跳变 4 求系统t 0 的全响应 系统t 0 时的全响应为 利用冲激函数及其导数平衡匹配法求0 状态 设某系统地微分方程如下 给定初始状态为r 0 确定它的0 状态r 0 由方程两端平衡 得知必包含 推出r t 含 t 0时 r t 含有 9 u t 注意 u t 表示0 到0 相对单位跳变函数 因而有r 0 r 0 9 根据上述过程则可得到冲激函数及其导数平衡匹配方法 2 3起始点的跳变 含和 2 3起始点的跳变 将上两式代入原方程得 利用冲激函数及其导数平衡匹配法求0 状态 由方程两端平衡得 2 3起始点的跳变 将a b c的值代入方程 2 并在区间 0 0 进行积分 所求的初始条件 0 状态 为 上述即为冲激函数及其导数平衡匹配法求0 状态的步骤 2 2 3起始点的跳变 例7 某LTI系统的系统方程为 1 因为 1 式对所有的t成立 故方程左右两端冲激函数及其各阶导数的系数应分别相等 2 3起始点的跳变 对 3 式等号两端从到t积分 得 4 将 2 3 4 式代入到微分方程 得 上式中等号两端冲激函数及各阶导数的系数应分别对应相等 故可求得 2 3起始点的跳变 将a b c d的值代入方程 2 并对等号两端从0 到0 进行积分 有 将a b c的值代入方程 3 并对等号两端从0 到0 进行积分 有 2 3起始点的跳变 由此可见 当微分方程等号右端含有冲激函数及其各阶导数时 系统响应及各阶导数从0 到0 的瞬间将发生跃变 上述方法是根据微分方程等号两端各个奇异函数的系数相等的原理 2 4零输入响应和零状态响应 2 4零输入响应和零状态响应 系统响应的类型 自由响应 也叫固有响应 由系统本身特性决定的 和外加激励形式无关 对应于齐次解 强迫响应 形式取决于外加激励 对应于特解 完全响应 自由响应 强迫响应 从微分方程经典法求解规律考虑 系统响应的类型 2 4零输入响应和零状态响应 暂态响应 是指激励信号接入一段时间内 完全响应中暂时出现的有关成分 随着时间t增加 它将消失 稳态响应 由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量 完全响应 暂态响应 稳态响应 从时间趋于无穷大的状态考虑 2 4零输入响应和零状态响应 零输入响应 是指输入信号为0 仅有系统的初始状态 起始时刻系统储能 作用于系统而产生的输出响应 零状态响应 是指系统的初始状态为0 不考虑起始时刻系统的储能作用 由外部激励作用于系统而产生的输出响应 完全响应 零输入响应 零状态响应 从区分初始储能和激励作用考虑 系统响应的类型 2 4零输入响应和零状态响应 零输入响应 当激励信号x t 0时 由起始状态所产生的响应 零输入响应的求解 由于激励信号x t 0 所以系统的起始时刻不会产生跳变 所以 零输入响应为自由响应的形式 即 其中系数Azik由起始条件来确定 齐次解的一部分 完全响应 2 4零输入响应和零状态响应 零状态响应 当起始状态时 由激励信号x t 所产生的响应 零状态响应的形式为 其中 系数Azsk由跳变量来确定 零状态响应的求解 自由响应的一部分对应微分方程的齐次解 强迫响应特解 完全响应 求解系统零状态响应主要有两种方法 经典法和卷积法 2 4零输入响应和零状态响应 根据前面分析 可以写出系统完全响应的表达式 2 4零输入响应和零状态响应 1 经典法求解零输入响应 解 特征方程 特征根 零输入响应 将初始条件代入 得 零输入响应为 2 4零输入响应和零状态响应 1 由方程右端为零构成的齐次方程而定 即由齐次方程的特征方程求出特征根 再列出解 2 由系统的初始0 条件 系统没有加外部激励时的原有状态 确定其待定系数 零输入响应的求解步骤 例8 已知如右图电路 R 2欧 L 1 2H C 1 2F 电容上的初始储能为V 电感上初始储能为 求输入激励为零时的电容电压 2 4零输入响应和零状态响应 解 根据KVL 列出方程如下 即 代入参数 化简得 特征根为 零输入响应的一般形式为 由电容元件的伏安关系 故有 确定待定系数 必须知道和 将初始条件代入方程 1 有 零输入响应为 2 4零输入响应和零状态响应 只与电容的初始储能有关 1 电容器的等效电路 电路等效为起始状态为0的电容器与电压源的串联 2 4零输入响应和零状态响应 2 经典法求解零状态响应 电感的等效电路 电路等效为起始状态为0的电感L与电流源的并联 2 4零输入响应和零状态响应 2 4零输入响应和零状态响应 经典法求解零状态响应举例 例9 如右图所示电路 t 0开关S处于1的位置且电路已经达到稳态 当t 0转向2 建立i t 的微分方程 并求i t 在时的零输入响应和零状态响应 解 将t 0时的电路转换成电容 电感起始储能电路 如右下图a所示 电感起始储能等效为电流源 电容起始储能等效为电压源 a 带有起始状态的等效电路 解 1 求零输入响应 零输入响应是满足下列微分方程 前面例6 或教材例题2 5 零输入响应的形式为 2 4零输入响应和零状态响应 此时外加激励为0 系统在t 0 时刻的等效电路如右图b 电路在作用下工作 和0 状态的及的解 1 b 零输入等效电路 则有 1 求零输入响应下的初始条件 2 4零输入响应和零状态响应 而 b 零输入等效电路 c 求初值等效电路 将初始条件 得到系数 故 所求的零输入响应为 2 4零输入响应和零状态响应 代入下列方程 求待定系数 画出波形如下 2 4零输入响应和零状态响应 2 求零状态响应 此时 对应的电路如图d所示 零状态响是满足下列微分方程 及起始状态 则根据前面例6 或教材例2 5 的结果 2 4零输入响应和零状态响应 其待定系数由来确定 2 d 零状态等效电路 2 4零输入响应和零状态响应 冲激函数匹配法求0 状态的参数 将e t 4u t 代入方程 2 右端 则有 2 将其代入方程 3 2 4零输入响应和零状态响应 冲激函数匹配法求0 状态的参数 解得 将的值代入下列方程确定系数 求得待定系数 系统在t 0 时的零状态响应为 2 4零输入响应和零状态响应 通过上面的分析 系统的响应可以表示为下列各种形式 2 4零输入响应和零状态响应 零状态响应包含自由响应的一部分 零输入响应包含自由响应的一部分 且为自由响应的形式 2 4零输入响应和零状态响应 由方程两端奇异函数平衡条件容易判断 r t 在起始点无跳变 即r 0 r 0 3 2 代入 1 求得系数A 1 2 所以 其中 自由响应 强迫响应 1 2 4零输入响应和零状态响应 2 求零输入响应 在此条件下 特解 0 由初始条件r 0 3 2 求得系数A 3 2 于是零输入响应为 3 求零状态响应 在此条件下 r 0 0 求得系数A 1 于是零状态响应为 完全响应 1 连续系统的完全响应 可以分解为零输入响应和零状态响应两部分 也可分解为齐次解和特解两部分 齐次解的函数形式仅取决于系统本身的特性 与输入信号的函数形式无关 故称为系统的自由响应 固有响应 特解的形式由微分方程的自由项或输入信号决定 故称为系统的强迫响应 几点说明 2 4零输入响应和零状态响应 2 4零输入响应和零状态响应 几点说明 2 零输入响应和自由响应都是系统齐次微分方程的解 其函数形式也相同 但两者的系数是不一样的 自由响应 由0 条件确定 系数值由初始状态和输入信号共同确定 自由响应中除包含零输入响应外 还包括零状态响应的一部分 二者都与系统自身参数有关 2 4零输入响应和零状态响应 几点说明 3 若系统初始无储能 即0 条件为零 则零输入响应为零 但自由响应可以不为零 由激励信号和系统参数共同决定 4 零输入响应 由0 时刻到0 时刻不跳变 2 5冲激响应和阶跃响应 1 冲激响应概念 冲激响应 在初始状态为0的条件下 单位冲激信号作用在系统上的响应 以表示 2 5冲激响应和阶跃响应 说明 1 激励信号在t 0的瞬间作用系统 输入能量 在t 0 以后激励为0 输入的初始能量在起作用 2 冲激响应仅取决于系统内部结构及元件参数 具有不同结构和元件参数的系统 将具有不同的冲激响应 2 5冲激响应和阶跃响应 任意信号都可以用冲击信号组合来表示 若把它作用于冲击相应为的线性时不变系统 则输出相应为 2 5冲激响应和阶跃响应 阶跃响应 在初始状态为0的条件下 单位阶跃信号作用在系统上的响应 以表示 考虑到冲激信号与单位阶跃信号之间存在微分与积分关系 因而对于LTI系统 和也同样存在上述关系 2 5冲激响应和阶跃响应 2 求解系统的冲激响应 对于由常系数描述的系统 它的冲激响应满足微分方程 及初始状态 由于在t 0时作用于系统 在时及其各阶导数都等于0 因此上方程右端各项在时恒为0 它成为齐次方程 则冲激响应与相应的齐次解具有相同的形式 冲激响应的形式既与特征根有关 又与n m相对大小有关 2 5冲激响应和阶跃响应 2 如果n m 冲激响应h t 将包含一个项 即 注意带u t 1 在n m时 冲激响应h t 应与齐次解的形式相同 如果特征根包括n个非重根 则h t 应与齐次解的形式相同 不包含及其各阶导数 即有 2 5冲激响应和阶跃响应 3 在n m时 要使方程两边相应的函数及各阶导数相等 则表达式中还应该含有及其相应阶的导数等项 即 则有 2 5冲激响应和阶跃响应 求解系统的冲激响应举例1 例11已知某线性时不变系统的方程为 求系统的冲激响应 解 当时 原微分方程为 特征根 且满足 因此的形式为 将h t 代入原方程 求待定系数A 解得A 2 因此系统的冲激响应为 注 上题中利用了阶跃信号与冲激信号的微积分关系以及冲激函数的筛选特性 2 5冲激响应和阶跃响应 2 5冲激响应和阶跃响应 求解系统的冲激响应举例2 例13右图所示电路 求电流对激励的冲激响应 解 前面例题得到的微分方程 1 系统的冲激响应微分方程 2 它的解包含两部分 齐次解形式和冲激函数 2 5冲激响应和阶跃响应 利用冲激函数匹配法求 得到 2 5冲激响应和阶跃响应 得 因而有 将初始条件代入方程 3 得 2 5冲激响应和阶跃响应 为了保持方程的左右平衡 中必含有项 因为a 1 所以得到 由方程 2 看 2 5冲激响应和阶跃响应 例12已知某线性时不变系统的方程为 求系统的冲激响应 解 当时 原微分方程为 特征根 且 为了保持微分方程的左右平衡 必含有项 冲激响应的形式为 将其代入原方程有 2 5冲激响应和阶跃响应 则得 系统的冲激响应为 注 冲激响应中是否含有冲激信号及其高阶导数 通过观察方程右边的导数最高次与方程左边的导数最高次来决定 对于由常系数描述的系统 它的冲激响应满足微分方程 及初始状态 方程右端的自由项含有冲激函数及其各阶导数 还包括阶跃函数 若方程的特征根均为单根 则阶跃响应中除了包含齐次解形式之外 还包括特解项 3 求解系统的阶跃响应 2 5冲激响应和阶跃响应 阶跃响应的求阶方法与前面介绍的方法类似 例14 已知LTI系统如下图 求其阶跃响应 解 1 写出系统的微分方程设定图中右端积分器输出为x t 左端加法器的输出为 1 2 5冲激响应和阶跃响应 1 2 响应y t 是x t 及其各阶导数的线性组合 因而以y t 为变量的微分方程左端的系数应与式 1 相同 由式 2 得 上面3个方程两边分别相加 得系统的微分方程 3 2 5冲激响应和阶跃响应 2 求阶跃响应 设式 1 的阶跃响应为 由式 2 知道 式 3 所表示的系统的阶跃响应为 满足方程 1 即 2 5冲激响应和阶跃响应 将初始条件代入上式 求得A1 1 A2 0 5 于是 则有 求得特征根为 1和 2 特解为0 5 于是得 2 5冲激响应和阶跃响应 2 6卷积 在前面分析知道 系统的零状态响应r t 等于激励信号与系统的冲激响应h t 的卷积积分 一 卷积分析 数学中两函数的卷积定义为 计算两个信号的卷积可以利用定义直接计算 也可以利用图解的方法 2 6卷积 2 6卷积 二 卷积积分计算 图解方法 1 先将x t 和h t 的自变量t改成 即 2 将其中的一个信号反褶 即 3 时移