2019年湖南长郡中学高三理科数学第三次月考高考模拟试卷附答案.pdf

书书书 理科数学试题 长郡版 第 页 共 页 题 答 要 不 内 线 封 密 号 学 名 姓 级 班 校 学 长郡中学 届高三月考试卷 三 数 学 理科 得分 本试卷共 页 时量 分钟 满分 分 一 选择题 本大题共 小题 每小题 分 共 分 在每小题给出的四个选 项中 只有一项是符合题目要求的 已知集合 槡 则 等于 若关于 的不等式 成立的充分条件是 则实数 的 取值范围是 设向量 且 则 槡槡 某中学高三第二次月考后 对全校的数学成绩进行统计 发现数学成绩的 频率分布直方图形状与正态分布 的密度曲线非常拟合 据此统 计 在全校随机抽取的 名高三同学中 恰有 名同学的数学成绩超过 分的概率是 已知 且 则如图所示的程序框图输出 的 槡槡 理科数学试题 长郡版 第 页 共 页 为提高信息在传输中的抗干扰能力 通常在原信息中按一定规则加入 相关数据组成传输信息 设定原信息为 传输信息为 其中 的运算规则为 例如原信息为 则传输信息为 信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错 则下列接 收信息一定有误的是 在数列 中 若 且任意连续三项的和都是 则 函数 在 内的值域为 槡 则 的 取值范围是 设 则 的大小关系为 函数 其中 为自然对数的底数 的图象大致为 锐角 中 为角 所对的边 点 为 的重心 若 则 的取值范围为 槡 槡 设实数 若对任意的 其中 为自然对数的底数 不等式 恒成立 则 的最大值是 选择题答题卡 题 号 得分 答 案 二 填空题 本大题共 小题 每小题 分 共 分 欧拉公式 为虚数单位 是瑞士数学家欧拉发明的 将 指数的定义域扩大到复数集 建立了三角函数和指数函数的联系 被誉 为 数学中的天桥 根据欧拉公式可知 表示的复数的模为 理科数学试题 长郡版 第 页 共 页 设变量 满足约束条件 若使 取得最大值的 最优解有无穷多个 则实数 的取值集合是 用 组成数字不重复的六位数 满足 不在左 右两端 三个偶数中有且只有两个偶数相邻 则这样的六位数的个数 为 正四棱锥的体积为槡 则该正四棱锥的内切球体积的最大值为 三 解答题 本大题共 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 题为选考题 考 生根据要求作答 一 必考题 共 分 本小题满分 分 在 中 内角 所对的边分别为 已知 槡 求角 若 的周长为 外接圆半径为槡 求 的面积 理科数学试题 长郡版 第 页 共 页 本小题满分 分 设数列 的前 项和为 且满足 又数列 满足 且 求数列 的通项公式 设 数列 的前 项和为 求 理科数学试题 长郡版 第 页 共 页 本小题满分 分 某学校用简单随机抽样方法抽取了 名同学 对其日均课外阅读时间 单位 进行调查 结果如下 男同学人数 女同学人数 若将日均课外阅读时间不低于 分钟的学生称为 读书迷 将频率视为概率 估计该校 名学生中 读书迷 有多少人 从已抽取的 名 读书迷 中随机抽取 名同学参加读书日宣传活动 求抽取的 名同学中既有男同学又有女同学的概率 记抽取的 读书迷 中男生人数为 求 的分布列和数学期望 理科数学试题 长郡版 第 页 共 页 本小题满分 分 如图 在四棱锥 中 底面 为菱形 平面 分别 是 的中点 证明 设 为线段 上的动点 若线段 长的最小值为槡 求二面角 的余弦值 理科数学试题 长郡版 第 页 共 页 本小题满分 分 设函数 讨论 的单调性 当 时 讨论 的零点个数 并证明 理科数学试题 长郡版 第 页 共 页 二 选考题 共 分 请考生在 题中任选一题作答 如果多做 则按所 做的第一题计分 本小题满分 分 选修 坐标系与参数方程 在直角坐标系 中 直线 圆 槡 以坐标原点为极点 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 求直线 和圆 的极坐标方程 若直线 的极坐标方程为 设 与 的公共点分别 为 求 的面积 本小题满分 分 选修 不等式选讲 已知函数 解不等式 若不等式 的解集为 且满足 求实数 的取值范围 书书书 理科数学试题参考答案 长郡版 长郡中学 届高三月考试卷 三 数学 理科 参考答案 一 选择题 题 号 答 案 解 析 集 合 槡 或 则 或 故选 解析 因为不等式 成立的充分条件是 则有 所以 故 正确 解析 又 即 故 选 解析 由题意 数学成绩超过 分的概率是 在全校随机抽取的 名高三同学中 恰有 名同学的 数学成绩超过 分的概率是 故选 解析 设 则有 即 解得 所以 又 即 槡 槡 根据程序框图可知 槡 故选 解析 对于选项 传输信息是 对应的原信息是 由题目中运算规则知 而 故传输信息应是 解析 由题意可得 将 换 为 可得 可得数列 是周期为 的数列 故 由 取 可得 故 故选 解析 且 在 内的值域为 槡 可得 故选 解析 因为 槡 槡 槡 所以 又 槡 槡 故 所以 故选 解析 由题意得函数的定义域为 理科数学试题参考答案 长郡版 函数 为偶函数 可排除选项 又 当 时 单调递减 可排除 故选 解析 如图 连接 延长交 于 由于 为重心 故 为 的中点 由重心的性质得 即 由余弦定理得 则 又因为 为锐角三角形 则应该满足 将 代入可得 槡 槡 则 由对勾函数性质可得 的取值范围为 槡 故选 解析 不等式 设 则 于是 在 上是增函数 因为 所以 即 对任意的 恒成立 因此只需 设 所以 在 上为增函数 所以 所以 即 的最大值是 故选 二 填空题 解析 由题意 表示的复数的模为 槡 故填 解析 作出不等式组所表示的平面区域 如图所示 易知直线 与 或 平行时取得最大值的最优解有无穷多个 即 或 或 解析 若 相邻 把 捆绑在一起 与另外四个数排列 相当于 个元素排列 不在左 右两侧 则六位数的个数为 同理 与 相邻的有 个 所以只有 相邻的 有 个 全部符合条件的六位数有 个 理科数学试题参考答案 长郡版 槡 解析 如图在正四棱锥 中 设 分别是线段 和 的中点 连接 交于点 连接 则该正四棱锥内切球的大圆是 的内切圆 设 的内切圆圆心为 故 槡 槡 槡 槡 槡 槡 当 槡 时取等 号 故该正四棱锥的内切球体积的最大值为槡 故答案为 槡 三 解答题 解析 由 槡 得 槡 即 槡 所以 槡 即 槡 因为 所以 槡 由正弦定理得 槡 因为 所以 槡 所以 槡 得 分 因为 的外接圆半径为槡 所以 槡 槡 所以 由余弦定理得 所以 得 所以 的面积 槡 槡 分 解析 时 即 两式相减 即 故有 由 知 得 将这 个等式相加 理科数学试题参考答案 长郡版 又 分 而 得 分 解析 设该校 名学生中 读书迷 有 人 则 解得 所以该校 名学生中 读书迷 约有 人 分 抽取的 名同学既有男同学 又有女同学的概率 分 可取 的分布列为 分 解析 证明 四边形 为菱形 为正三角形 又 为 的中点 又 因此 平面 平面 而 平面 平面 且 平面 又 平面 分 如图 为 上任意一点 连接 当线段 长最小时 由 知 平面 平面 故 在 中 槡 槡 槡 由 中 分 由 知 两两垂直 以 为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系 又 分别是 的中点 可得 槡 槡 槡 槡 所以 槡 槡 设平面 的一个法向量为 理科数学试题参考答案 长郡版 则 因此 槡 槡 取 则 因为 所以 平面 故 为平面 的一个法向量 又 槡 所以 槡槡 槡 易得二面角 为锐角 故所求二面角的余弦值为槡 分 解析 当 时 当 时 当 时 当 时 在 递增 当 时 令 得 此时 易知 在 递增 递减 递增 当 时 易知 在 递增 递减 递增 分 有 个零点 分 当 时 由 知 在 上递增 上递减 上递增 且 将 代入 得 分 下面证明当 时存在 使 首先 由不等式 考虑到 再令 可解出一个根为 槡 槡 取 槡 则有 由零点 存在定理及函数 在 上的单调性 可知 在 上有唯一的一个零点 分 由 及 的单调性 可知 在 上有唯一零点 分 理科数学试题参考答案 长郡版 下面证明在 上 存在 使 取 则 由不等式 则 即 根据零点存在定理及函数单调性知 在 上有一个零点