自动控制原理课件4.1(梅晓榕).ppt

1 4 1根轨迹的基本概念 4 2根轨迹数学依据及其性质 4 4根轨迹的改造 4 3根轨迹的绘制法则 4 5小结 第四章根轨迹法 2 4 1根轨迹的基本概念 暂态响应的基本特性 闭环极点的位置紧密相关 W R 伊文思 Evans 发明了根轨迹法 根轨迹是指当系统特征方程中某个参数 如K T 连续地由零变化到无穷大时 特征方程根连续发展变化而在s平面上所形成的若干条曲线 系统具有可变的环路增益 闭环极点的位置取决于所选择的环路增益值 3 根轨迹法 先用图解的方法在复数s平面上画出系统某一参数由0 时对应数值下的闭环特征方程所有的根 即根轨迹 然后再用图解的方法确定该参数为某一特定数值时的一组闭环特征根 分析出系统所具有的性能 或反之 在根轨迹上先确定出符合系统性能要求的闭环特征根 再用图解的方法求出对应的参数值 根轨迹是利用系统开环传递函数的零极点分布来研究闭环系统的极点分布 根轨迹法的基础是系统的传递函数 仅适用于线性系统 4 4 2根轨迹数学依据及其性质 4 2 1开环传递函数的两种标准形式 零极点表达式 kg表示开环零极点形式的传递系数或增益 即根轨迹增益 时间常数表达式 k表示开环放大系数 传递系数或增益 4 1 4 2 n m 根轨迹法多采用式 4 2 所示的形式 5 闭环特征方程 其解为特征根 4 2 2绘制根轨迹的数学依据 4 3 满足开环函数等于 1的s值 肯定满足系统闭环特征方程 必为根轨迹上的点 式 4 3 两边幅值和相位应分别相等 则 4 4 4 5 式 4 5 所示的相角条件是根轨迹的充要条件 根平面上凡是满足相角条件的点的全体就是根轨迹 相角条件与Kg无关 6 幅值条件用于确定根轨迹特定点上对应的增益值Kg 根轨迹上凡是满足幅值条件的点就是相应Kg所对应的闭环极点 7 幅值条件 相角条件 零极点表达式 负反馈 4 7 180 根轨迹 4 6 正反馈相角条件 4 8 0 根轨迹 8 开环极点为 无开环零点 试探法 例4 1 用相角条件画出根轨迹 再利用幅值条件求出该根轨迹上某一点对应的Kg值 试探法绘制步骤如下 解1 在s平面上画出开环零极点 9 S1对应的 同理 实轴上之间的点都是根轨迹上的点 2 确定实轴上的根轨迹 在正实轴上取S1 不满足相角条件 在负实轴 p1与 p2之间选一点S1 0 1 在负实轴 与 p2之间选一点 不满足相角条件 10 S1对应的 结论 实轴极点之间线段的垂直平分线上的所有点都是根轨迹上的点 3 确定s平面上除实轴以外其它根轨迹 任取一点S1 若s1位于根轨迹上应满足相角条件 只有位于 p1与 p2之间线段的垂直平分线上的点 才满足相角条件 取S1 0 25 j0 25 11 4 3根轨迹的绘制法则 规则 以相角条件为基础 4 3 1绘制根轨迹规则的阐述 1 根轨迹是连续的 当Kg由0连续变化到 时 其闭环特征根也一定是连续变化的 所以s平面上的根轨迹也必然是连续的 2 根轨迹对称于根平面的实轴 12 3 根轨迹的起点 终点和条数 根轨迹的条数为特征方程中S的最高次方 一般为开环极点数n 根轨迹的起点 对应于Kg O 为开环极点 终点 Kg 为开环零点 n m时 有 n m 条分支趋于无穷 认为系统存在 n m 个无限开环零点 当Kg 0时 s pj n m 当Kg 时 s zi n m 13 与实轴交点与实轴夹角 4 根轨迹的渐近线 凡是趋向无穷远零点的根轨迹 都存在渐近线 直线 渐近线从实轴上某点等交角地呈星形 对称于实轴发散出 n m 条斜线 4 9 4 10 14 左边零点 极点所引起的矢量相角为零 右边存在奇数个零点 极点 则相当的幅角总和为奇数个180 符合根轨迹相角条件 复平面上的开环零极点共轭成对矢量角之和为零 5 实轴上的根轨迹 条件是 在实轴上根轨迹区段右边开环实零点和开环实极点的数目之和为奇数 与复平面上开环零点 开环极点无关 15 例4 2 设反馈系统开环传递函数如下 试确定系统根轨迹数 起点和终点 渐近线及根轨迹在实轴上的分布 1 解 开环极点为 由法则3至5 系统的根轨迹有一条分支起始于系统有限的开环极点至开环零点 m 0存在无限开环零点 Kg 时根轨迹沿着渐近线趋向无穷远处 本例渐近线在实轴上交于一点 16 2 解 开环极点为 解 开环极点 3 17 解 开环极点 4 18 6 根轨迹的分离点 分离点在两极点之间 会合点在两零点之间 分离点 会合点 是闭环特征方程的重根 解出S值 取Kg 0时的重根点 特征方程为 分离点和会合点由方程根确定 4 11 亦即 消去Kg 4 12 必要条件 19 5 解 特征方程为 根轨迹的分离点 舍去 20 7 出射角和入射角 出射角对复极点入射角对复零点 出射角 入射角 在共轭开环极 零 点上 根轨迹的切线方向与实轴正方向的夹角 出射角和入射角可由相角方程求出 设出射角为 系统存在一对共轭开环复数极点px和px 1 4 3根轨迹的绘制法则 4 13 K为整数 i j由开环零 极点指向轨迹点的向量的方位角 则在px和px 1上根轨迹的出射角为 根轨迹自复数极点的出射角 等于180 减去从所有其它开环零 极点到该复数极点的复数向量的相角 冠以适当符号 之和 21 设入射角为 系统存在一对共轭开环复数零点zx和zx 1 则在zx和zx 1上根轨迹的入射角为 4 14 K为整数