平面向量的数量积及运算律.ppt

5 4平面向量的数量积及运算律 考点探究 挑战高考 考向瞭望 把脉高考 5 4平面向量的数量积及运算律 双基研习 面对高考 双基研习 面对高考 基础梳理 0 180 a b 当 0 时 a与b同向 当 180 时 a与b反向 2 a与b的数量积已知两个非零向量a和b 它们的夹角为 则把数量 a b cos 叫做a与b的数量积或内积 记作a b 即a b a b cos 3 规定零向量与任一向量的数量积为0 4 a b的几何意义a b等于a的长度与b在a的方向上的投影的乘积 2 向量数量积的性质设a b都是非零向量 e是与b方向相同的单位向量 是a与e的夹角 则 1 e a a e 2 a b 0 a cos a b a b 3 向量数量积的运算律 1 a b b a 2 a b a b 3 a b c a c b c 4 平面向量数量积的坐标表示 1 若a x1 y1 b x2 y2 则a b a b x1x2 y1y2 1 向量的数量积是一个数量 它的符号是怎样确定的 提示 由向量数量积的定义知 a b a b cos 当a b为非零向量时 a b的符号由夹角的余弦来确定 当0 90 时 a b 0 当90 180 时 a b 0 当a与b至少有一个为零向量或 90 时 a b 0 思考感悟 2 向量a b c满足规律 a b c a b c 提示 不满足 因为 a b c与c共线 而a b c 与a共线 一般情况下 a与c不一定共线 所以 a b c与a b c 不一定相等 答案 C 课前热身 答案 C 答案 B 4 已知a b 2 8 a b 8 16 则a b 答案 635 已知a 3 2 b 1 2 a b b 则实数 考点探究 挑战高考 考点突破 求两个向量的数量积 有两种方法 一是根据定义 确定两个向量的长度以及两个向量的夹角 代入定义式即可 二是坐标形式 确定两个向量的坐标 然后代入坐标公式 参考本节教材例2 例4 1 已知向量a与b的夹角为120 且 a b 4 则a b a 2b a b 2 若a 3 4 b 2 1 则 a 2b 2a 3b b在a上的投影为 思路分析 利用平面向量数量积的定义及运算律 a2 b2 及a b 领悟归纳 两个向量的数量积 若两个向量没给出具体的坐标时 就依据运算律计算 若给出向量具体的坐标 可求出具体坐标如 2 的法一 也可依据运算律如 2 的法二 思路分析 首先求出 b 及 a b 思维总结 求向量夹角要注意角度范围 互动探究若本例条件不变 求 a b 与 a b 夹角 1 两个向量平行的充要条件 a b a b a b a b a b 或 a b 2 两个非零向量垂直的充要条件 两非零向量垂直 则它们的数量积等于0 上述两点的实质就是把位置关系的判定转化为代数运算 参考例1 例2 思路点拨 利用公式a b 0 a b 思维总结 在 2 中直接利用a b 0 使化简简单 如果把a与b的坐标代入 a 2b ka b 化简过程麻烦 方法技巧1 向量的加 减 数乘与数量积的混合运算可以看成多项式的运算 按多项式的运算法则进行 例如 1a 2b k1a k2b 1k1a2 1k2 2k1 a b 2k2b2 如例1 2 用坐标计算时 有时先化简再代入坐标简单 整体运用 a 2及a b的结果 如例3 方法感悟 失误防范1 向量的数量积与数的乘法的区别 1 两个向量的数量积是个数量 而不是向量 2 当a 0时 由a b 0不能推出b一定是零向量 这是因为对任一与a垂直的非零向量b 都有a b 0 3 a b b c a c 4 一般地 a b c a b c 这是由于b c和a b都是实数 而a与c不一定共线 5 对于实数a b 有 ab a b 但对于向量a b 有 a b a b 2 当两向量的夹角 为钝角时 1 cos 0 要注意cos 1 这一点特别容易忽略 因为cos 1时 两向量反向 所成角不是钝角 同样当 为锐角时 0 cos 1 cos 1时 为0 两向量同向 考向瞭望 把脉高考 考情分析 向量作为数学工具正越来越被接受和应用 从近几年的高考中 向量的数量积是必考内容 即单独考查 以选择题 填空题的形式出现 又以解答题的形式与解析几何综合 具有一定难度 2010年的高考中 重庆理第2题 江西理第13题等是利用数量积求模 重庆文第3题是利用数量积待定字母取值 江西文第13题考查了数量积的几何意义 其它试题也都对数量积进行了考查 预测2012年高考客观题以求模长 求夹角为重点 主观题中注重与三角函数 解析几何 立体几何等综合 转化为坐标运算为多 命题探源 答案 B 名师点评 本题考查了向量的数量积及模的求法 属基础题 这类题在教材中多处出现 如教材5 6习题中第4题