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GAUSS格式的拟渐近性刘文海 福建对外经济贸易职业技术学院 福建 福州 350016 摘要：本文讨论求解常微分方程的一步高阶GAUSS型差分格式的基本性质，并将格式应用于简单的生态学群体增长模型, 讨论其不动点及稳定情况。 关键词：常微分方程，差分格式，稳定性,不动点引言 在生产实际和科学研究中，经常遇到的常微分方程中，在很多情况下都不可能给出解的解析表达式，有时侯，即使能求出封闭形式的解，也往往因计算量太大而不实用。因此，常微分方程的数值解法就成为求解常微分方程的一种很重要的方法。 众所周知，对于求解常微分方程的数值格式,时间步长超过其稳定界限后，1差分格式的解可能会产生周期或混沌及发散现象例如用显式Euler差分格式求解常微分方程（）得到差分方程（）这里为差分格式的时间步长，并记。当时，（）的解收敛时均收敛于常微分方程（）的不动点当.43时（）的解出现双周期现象, 当2.423时, （）的解会出现多周期现象及混沌现象. 当3时,（）的解出现发散现象. 本文利用GAUSS型求积公式，构造了求解常微分方程（）的一步高阶显式差分格式，并将格式应用于简单的生态学群体增长模型, 2讨论其不动点及稳定情况。GAUSS 型差分格式 考虑一阶常微分方程初值问题： (2.1) 的数值解。取时间步长为h, 记 假设方程（）的精确解y(x)在处的值为y( )，其近似值为 。 对（）在区间 上求积分得 3利用三阶精度的GAUSS求积公式近似计算积分 得: 其中:, 于是，得到GAUSS型差分格式: (2.2) 定理.：当函数和y具有二阶连续导数时，差分格式（）是二阶精度格式。 定理.：若函数具有连续的二阶导数，则差分格式（.）为收敛格式. 将GAUSS差分格式(2.2)应用于求解常微分方程(1.1),得到差分方程（2. 3） =因此, 若=0, 则*为(2.3)的不动点. 要(2.3)在不动点*附近是稳定的, 则必需有 |1+h(*,h)|1.根据以上情况,证明以下定理:定理2.3: GAUSS差分格式(2.3)的不动点和相应的稳定区域如下:不动点*= 1， 稳定区域为: 2；不动点* = ,稳定区域为:2其中。另外不动点*= 0，* = 是不稳定的。证明：在（2.3）中令，则： ， 通过求解该一元四次代数方程，3容易得到（2.3）的不动点为：*= 0，*= 1，* = ，* = 。下面讨论各不动点的稳定区域。当*= 0时，由于，所以，不动点*= 0是不稳定的。当* = 时，所以，不动点* = 是不稳定的。当*= 1时，要使|1+h(*,h)|1则，所以。即不动点*= 1，稳定区域为。当* = 时，令则：，求解该不等式，我们可以得到：，即不动点* = 的稳定区域为。不动点* = 1和* = 0为常微分方程(1.1)的不动点, 而不动点* = , 和不动点* = 则非常微分方程(1.1)的不动点, 即不动点* = , 和* = 为拟不动点. 数值实验将求解常微分方程的GAUSS差分格式(2.2)应用于求解简单的生态学群体增长模型, 讨论其不动点及稳定情况。为方便起见假设a=1，对于不同的初始值进行计算。其计算结果如下图所示。 从计算结果可以看出, 在初始值小于1.0的情况下：当时间步长2.4,计算解很快就收敛于微分方程的不动点；6当2.42.6时, 计算解出现双分叉现象.； 当2.62.8时, 计算解出现四分叉及多分叉现象；.当2.83.2时, 计算解出现混沌现象.；当3.2时, 计算解很快发散到无穷。在在初始值大于1.0的情况下：当时间步长2.0时，计算解收敛于微分方程的不动点，当2.0h时，计算解很快发散到无穷。 图1 y0=0.2 图2 y0=0.5 图3 y0=0.8 ON SPURIOUS ASYMPTOTIC NUMERICAL SOLUTIONS OF GAUSS SCHEME Abstract: In this paper we discuss character of Gauss scheme for numerical ordinary differential equation , which is an one-step high-order accurate difference scheme, and the scheme is applied to equation of , and discuss the fix point and stability. Key words: Ordinary differential equation,，difference scheme， stability ，fix point 参考文献： H.C. Yee, P.K. Sweby, Some Aspects of Numerical Uncertainties in Time Marching to Steady-State Computations, AIAA-96- 2052, 27th AIAA Fluid Dynamics Conference, June 18-20, 1996, New Orleans, LA, AIAA J., 36 (1998), 712-724. B. Sjgreen, H.C. Yee, Low Dissipative High Order Numerical Simulations of Supersonic Reactive Flows, RIACS Report 01-017, NASA Ames research center, May 2001, Proceedings of the ECCOMAS Computational Fluid Dynamics Conference 2001, Swansea, Wales, UK, September 4-7, 2001. Trip to jianzhong Deng and zhixing Liucalculation method transportation university publisher in Xian, 2001. Trip to jianzhong Deng and zhixing Liucalculation method transportation university publisher in Xian, 2001. Qinyang Lee , nengchao Wang and dayi Yi Number analysis Chin Hua university publisher, 2001 H. C. Yee