随机变量的数字特征第一讲.ppt

随机变量的数字特征 第四章 随机变量的概率特性 怎样粗线条地描述r v的某一概率特性 简单明了 特征鲜明 直观实用 要求 分布函数密度函数分布律 r v 的平均取值 数学期望 r v 取值平均偏离均值的情况 方差 描述两r v 间的某种关系的数 协方差与相关系数 本章内容 分布列或概率密度 全面地描述了随机变量的统计规律 但在许多实际问题中 这样的全面描述并不使人感到方便 有时只需知道它的某些特征就可以了 1 一只母鸡的年产蛋量是一个随机变量 如果要比较两个品种的母鸡的年产蛋量 通常只要比较这两个品种的母鸡的年产蛋量的平均值就可以了 2 考察一射手的水平 既要看他的平均环数是否高 还要看他弹着点的范围是否小 即数据的波动是否小 3 判断棉花质量时 既看纤维的平均长度 又要看纤维长度与平均长度的偏离程度 平均长度越长 偏离程度越小 质量就越好 第一讲 数学期望 导读内容 1 自学 什么是数学期望 为什么说期望是随机变量取值的概率意义下的加权平均值 2 离散型 连续性随机变量的期望及随机变量函数的期望如何计算 期望有哪些性质 3 期望在实际问题 如效益 利润 保险 求职 证券等 中有哪些应用 请查找资料举例说明 甲 乙两射手进行打靶训练 每人各打了100发子弹 成绩如下 怎样评估两人的成绩 甲 每枪平均环数为 可见甲的射击水平比乙略好 引例 分析 两人的总环数分别为 环 乙 环 甲 乙 环 环 实际背景 某班级某课程考试的平均成绩 电子产品的平均无故障时间 某地区的日平均气温和日平均降水量 某地区水稻的平均亩产量 某地区的家庭平均年收入 怎样定义r v的平均值概念 平均值的概念广泛存在 例如 某国家国民的平均寿命 甲 乙两射手进行打靶训练 每人各打了100发子弹 成绩如下 怎样评估两人的成绩 即平均环数为 例 进一步分析 记甲每枪击中的环数为因为射击次数 较多 故可认为的分布律为 则甲射手每枪平均环数为 则抽查到的100只手表的平均日走时误差为 即 例 某手表厂在出厂产品中 抽查了N 100只手表的日走时误差 其数据如表 如果另外再抽验100只手表 每做一次这样的检验 就得到一组不同的频率 也就有不同的日走时误差的平均值 由频率和概率关系的讨论知 理论上应该用概率去代替上述和式的频率 这时得到的平均值才是理论上 也是真正 的平均值 这样我们就引出了随机变量的数学期望的概念 期望 均值 定义 设的分布律为 为的数学期望 数学期望的本质 加权平均它是一个数不再是r v 例1 10123p0 10 20 10 30 3 设随机变量 有分布列 试求的数学期望 解 1 0 1 0 0 2 1 0 1 2 0 3 3 0 3 1 5 解 分布律为 平均废品数为 例2某工人工作水平为 全天不出废品的日子占30 出一个废品的日子占40 出二个废品占20 出三个废品占10 设X为一天中的废品数 1 求X的分布律 2 这个工人平均每天出几个废品 例3某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式 付款额根据使用寿命来确定 试求该商店出售一台电器的平均收费额 假设 设出售一台电器的收费额为元 分布律为 即 参数为1 10的指数分布密度函数为 即商店出售一台电器平均收费额为元 解 常见离散的随机变量的数学期望 1 两点分布 设 服从二点分布 其分布列为 则 1 p 0 q p q 1 p 2 二项分布 设X B n p 则 在n重贝努利试验中 每次成功的概率是p 则n次试验成功的平均次数是np 3 泊松分布 设服从参数为 的泊松分布 其分布列为 常见离散的随机变量的数学期望 二项分布 np 设连续型函数的随机变量X的密度函数为f x 绝对收敛 则称 为随机变量X的数学期望 均值 期望 如果 否则称X的数学期望不存在 注意不是所有的连续型随机变量都有数学期望 例4设随机变量X的概率密度函数为 试求X的数学期望 解 常用的连续型随机变量的数学期望 1 均匀分布 2指数分布 3正态分布 均匀分布 指数分布 正态分布 定理 例5 设随机变量X的分布列为 解 例6 解 1 E c c c为常数 2 E kX b kE X b k b常数 3 E X Y E X E Y 4 设X Y相互独立 则E XY E X E Y 注 1 性质 3 和 4 可以推广到有限个随机变量X1 X2 Xn的情况 2 对于 和 不要求X1 X2 Xn相互独立 对于 积 要求X1 X2 Xn相互独立 例7 一个仪器由两个主要部件组成 其总长度为此二部件的和 这两个部件的长度 求 此仪器总长度的数学期望 及两部分的乘积的数学期望 解 故 注意 一般来说 例8按季节出售的某种应时商品 每售出一公斤获利润3元 如到季末尚有剩余商品 则每公斤净亏损1元 设某商店在季节内这种商品的销售量X 公斤 在区间 2000 4000 上服从均匀分布 为使商店所获得利润的数学期望最大 问商店应进多少货 解 以s 公斤 表示进货数 进货s所得利润记为Ys X 则 X的概率密度 得 于是 为使商店所获得利润的期望最大 问商店应进3500公斤货 故s 3500时 E Y 最大 E Y 8250万元 解 引入r v 位乘客在第i站都不下车 例9一民航送客车载有20位旅客自机场开出 旅客有10个车站可以下车 如到达一个车站没有旅客下车就不停车 以X表示停车的次数 求E X 假定每位旅客在任一车站下车是等可能的 且各旅客是否下车相互独立 易知X X1 X2 X10 例10旅游团的个游客出酒店时都将