等比数列教学案

1 / 17等比数列教学案本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 第 2 课时等比数列的性质知能目标解读1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质和由来.2.理解等比数列的性质及应用.3.掌握等比数列的性质并能综合运用.重点难点点拨重点：等比数列性质的运用.难点：等比数列与等差数列的综合应用.学习方法指导1.在等比数列中，我们随意取出连续三项及以上的数，把它们重新依次看成一个新的数列，则此数列仍为等比数列，这是因为随意取出连续三项及以上的数，则以取得的第一个数为首项，且仍满足从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都是同一个常数，且这个常数量仍为原数列的公比，所以，新形成的数列仍为等比数列.2.在等比数列中，我们任取下角标成等差的三项及以上的数，按原数列的先后顺序排列所构成的数列仍是等比数列，简言之：下角标成等差，项成等比.我们不妨设从等比数列an中依次取出的数为 ak,ak+m,ak+2m,ak+3m,则=qm(q 为原等比数列的公比)，所以此数列成等比数列.2 / 173.如果数列an是等比数列，公比为 q,c 是不等于零的常数，那么数列can仍是等比数列，且公比仍为q;|an| 也是等比，且公比为|q|.我们可以设数列an的公比为 q,且满足=q,则=q,所以数列can仍是等比数列，公比为 q.同理，可证|an|也是等比数列，公比为|q|.4.在等比数列an中，若 m+n=t+s 且 m,n,t,sN+则aman=atas.理由如下：因为 aman=a1qm-1a1qn-1=a21qm+n-2,atas=a1qt-1a1qs-1=a21qt+s-2,又因为 m+n=t+s,所以 m+n-2=t+s-2,所以 aman=atas.从此性质还可得到，项数确定的等比数列，距离首末两端相等的两项之积等于首末两项之积.5.若an，bn均为等比数列，公比分别为 q1,q2,则（1）anbn仍为等比数列，且公比为 q1q2.(2)仍为等比数列，且公比为.理由如下：（1）=q1q2,所以anbn仍为等比数列，且公比为 q1q2;(2)=,所以仍为等比数列，且公比为.知能自主梳理1.等比数列的项与序号的关系（1）两项关系通项公式的推广：an=am(m、nN+).3 / 17(2)多项关系项的运算性质若 m+n=p+q(m、n、p、qN+)，则 aman=.特别地，若 m+n=2p(m、n、pN+） ，则 aman.2.等比数列的项的对称性有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积（若有中间项则等于中间项的平方） ，即a1=a2(n 为正奇数).答案apaqa2pan-k+1思路方法技巧命题方向运用等比数列性质 an=amqn-m(m、nN+)解题例 1在等比数列an中，若 a2=2,a6=162,求 a10.分析解答本题可充分利用等比数列的性质及通项公式，求得 q,再求 a10.解析解法一：设公比为 q,由题意得a1q=2a1=a1=-，解得，或.a1q5=162q=3q=-34 / 17a10=a1q9=39=13122 或 a10=a1q9=-（-3）9=13122.解法二：a6=a2q4,q4=81,a10=a6q4=16281=13122.解法三：在等比数列中，由 a26=a2a10 得a10=13122.说明比较上述三种解法，可看出解法二、解法三利用等比数列的性质求解，使问题变得简单、明了，因此要熟练掌握等比数列的性质，在解有关等比数列的问题时，要注意等比数列性质的应用.变式应用 1已知数列an是各项为正的等比数列，且q1,试比较 a1+a8 与 a4+a5 的大小.解析解法一：由已知条件 a10，且q1,这时(a1+a8)-(a4+a5)=a1(1+q7-q3-q4)=a1(1-q3)（1-q4）=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q+q2+q3)0,显然，a1+a8a4+a5.解法二：利用等比数列的性质求解.由于(a1+a8)-(a4+a5)=(a1-a4)-(a5-a8)=a1(1-q3)-a5(1-q3)=(1-q3)(a1-a5).当 01 时，此正数等比数列单调递减，1-q3 与5 / 17a1-a5 同为正数，当 q1 时，此正数等比数列单调递增，1-q3 与 a1-a5同为负数，(a1+a8)-(a4+a5)恒正.a1+a8a4+a5.命题方向运用等比数列性质aman=apaq(m,n,p,qN+,且 m+n=p+q)解题例 2在等比数列an中，已知 a7a12=5，则 a8a11=（）分析已知等比数列中两项的积的问题，常常离不开等比数列的性质，用等比数列的性质会大大简化运算过程.答案B解析解法一：a7a10=5，a8a9a11=52=25.解法二：由已知得 a1q6a1q11=a21q17=5，a8a1q8a1q9q34=(a21q17)2=25.说明在等比数列的有关运算中，常常涉及次数较6 / 17高的指数运算，若按照常规解法，往往是建立 a1,q 的方程组，这样解起来很麻烦，为此我们经常结合等比数列的性质，进行整体变换，会起到化繁为简的效果.变式应用 2在等比数列an中，各项均为正数，且a6a10+a3a5=41,a4a8=5,求 a4+a8.解析a6a10=a28,a3a5=a24,a28+a24=41.又a4a8=5,an0,a4+a8=.探索延拓创新命题方向等比数列性质的综合应用例 3试判断能否构成一个等比数列an，使其满足下列三个条件：a1+a6=11;a3至少存在一个自然数 m,使 am-1,am,am+1+依次成等差数列，若能，请写出这个数列的通项公式；若不能，请说明理由.分析由条件确定等比数列an的通项公式，再验证是否符合条件.解析假设能够构造出符合条件的等比数列an,不妨设数列an的公比为 q,由条件及a1a4,得a1+a6=11 a1=a1=，解得，或7 / 17a1a6=a6=a6=.a1=a1=从而，或.q=2q=故所求数列的通项为 an=26-n.对于 an=2n-1,若存在题设要求的 m,则2am=am-1+（am+1+）,得2（2m+,得2m+8=0,即 2m=-8,故符合条件的 m 不存在.对于 an=26-n,若存在题设要求的 m，同理有26-m-8=0,即 26-m=8,m=3.综上所述，能够构造出满足条件的等比数列，通项为 an=26-n.说明求解数列问题时应注意方程思想在解题中的应用.变式应用 3在等差数列an中，公差 d0,a2 是 a1 与a4 的等比中项，已知数列 a1,a3,ak1,ak2,akn,成等比数列，求数列kn的通项 kn.解析由题意得 a22=a1a4，即(a1+d)2=a1(a1+3d)，又 d0,a1=d.an=nd.8 / 17又 a1,a3,ak1,ak2,akn,成等比数列，该数列的公比为 q=3.akn=a13n+1.又 akn=knd,kn=3n+1.所以数列kn的通项为 kn=3n+1.名师辨误做答例 4四个实数成等比数列，且前三项之积为 1，后三项之和为 1，求这个等比数列的公比.误解设这四个数为 aq-3,aq-1,aq,aq3,由题意得a3q-3=1,aq-1+aq+aq3=1.由得 a=q,把 a=q 代入并整理，得 4q4+4q2-3=0,解得q2=或 q2=-(舍去)，故所求的公比为.辨析上述解法中，四个数成等比数列，设其公比为 q2,则公比为正数，但题设并无此条件，因此导致结果有误.正解设四个数依次为 a,aq,aq2,aq3,由题意得（aq）3=1,aq+aq2+aq3=1.由得 a=q-1,把 a=q-1 代入并整理，得 4q2+4q-3=0,解得 q=或 q=-,故所求公比为或-.课堂巩固训练9 / 17一、选择题1.在等比数列an中，若 a6=6,a9=9,则 a3 等于（）B. c. 答案A解析解法一：a6=a3q3,a3q3=6.a9=a6q3，q3=.a3=64.解法二：由等比数列的性质，得a26=a3a9，36=9a3，a3=4.2.在等比数列an中,a4+a5=10,a6+a7=20,则 a8+a9 等于（）答案D解析q2=2,a8+a9=（a6+a7）q2=20q2=40.3.如果数列an是等比数列，那么（）A.数列a2n是等比数列 B.数列2an是等比数列10 / 17c.数列lgan是等比数列 D.数列nan是等比数列答案A解析数列a2n是等比数列，公比为 q2,故选 A.二、填空题4.若 a,b,c 既成等差数列，又成等比数列，则它们的公比为.答案12b=a+c,解析由题意知b2=ac,解得 a=b=c,q=1.5.在等比数列an中，公比 q=2,a5=6,则 a8=.答案48解析a8=a5q8-5=623=48.三、解答题6.已知an为等比数列，且 a1a9=64,a3+a7=20，求a11.解析an为等比数列,a1a7=64,又 a3+a7=20,a3,a7 是方程 t2-20t+64=0 的两个根.a3=4,a7=16 或 a3=16,a7=4,11 / 17当 a3=4 时，a3+a7=a3+a3q4=20,1+q4=5，q4=4.当 a3=16 时，a3+a7=a3（1+q4）=20,1+q4=，q4=.a11=a1q10=a3q8=64 或 1.课后强化作业一、选择题1.在等比数列an中，a4=6,a8=18,则 a12=（）答案c解析a8=a4q4,q4=3,a12=a8q4=54.2.在等比数列an中，a3=2-a2,a5=16-a4,则 a6+a7 的值为（）答案B解析a2+a3=2,a4+a5=16,又 a4+a5=(a2+a3)q2,q2=8.a6+a7=(a4+a5)q2=168128.3.已知an为等比数列，且an0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么 a3+a5 等于（）12 / 17答案A解析a32=a2a4,a52=a4a6,a32+2a3a5+a52=25,(a3+a5)2=25,又an0,a3+a5=5.4.在正项等比数列an中，a1 和 a19 为方程 x2-10x+16=0 的两根，则 a8a12 等于（）答案c解析由已知，得 a1a19=16,又a1a12=a102,a80,a10=4,a8a12=a103=64.5.已知等比数列an的公比为正数，且a3a9=2a25,a2=1,则 a1=（）A. B. c. 答案B解析a3a9=a26,又a3a9=2a25,a26=2a25,（）2=2,13 / 17q2=2,q0,q=.又 a2=1,a1=.6.在等比数列an中，anan+1，且a7a11=6,a4+a14=5,则等于（）A. B. c. 答案Aa7a14=6解析a4+a14=5a4=3a4=2解得或.a14=2a14=3又anan+1,a4=3,a14=2.=.7.已知等比数列an中，有 a3a11=4a7,数列bn是等差数列，且 b7=a7,则 b5+b9 等于（）答案c解析a3a11=a72=4a7,a70,a7=4,b7=4,bn为等差数列，b5+b9=2b7=8.8.已知 0c,且 a,b,c 成等比数列的整数，14 / 17n 为大于 1 的整数，则 logan,logbn,logcn 成（）A.等差数列 B.等比数列c.各项倒数成等差数列 D.以上都不对答案c解析a,b,c 成等比数列，b2=ac.又+=logna+lognc=lognac=2lognb=,+=.二、填空题9.等比数列an中，an0，且 a2=1+a1,a4=9+a3,则 a5-a4 等于.答案27解析由题意，得 a2-a1=1,a4-a3=(a2-a1)q2=9,q2=9,又 an0,q=3.故 a5-a4=(a4-a3)q=9327.10.已知等比数列an的公比 q=-,则等于.答案-3解析=-3.11.(XX0,且a5a6=9,则 log3a2+log3a9=.15 / 17答案2解析an0,log3a2+log3a9=log3a2a9=log3a5a6=log39=log332=2.12.（XX广东文，11）已知an是递增等比数列,a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比 q=.答案2解析本题主要考查等比数列的基本公式，利用等比数列的通项公式可解得.解析：a4-a3=a2q2-a2q=4，因为 a2=2，所以 q2-q-2=0，解得 q=1，或 q=2.因为 an 为递增数列，所以 q=2.三、解答题13.在等比数列an中，已知 a4a7=-512,a3+a8=124,且公比为整数，求 a10.解析a4a8=-512，a3+a8=124a3=-4a3=128，解得或.a3a8=-512a8=128a8=-4又公比为整数，a3=-4,a8=128,q=-2.a10=a3q7=(-4)（-2）7512.14.设an是各项均为正数的等比数列，bn=log2an，16 / 17若 b1+b2+b3=3,b1b3=-3,求此等比数列的通项公式 an.解析由 b1+b2+b3=3,得 log2(a1a3)3，a1a3238，a22=a1a3，a2=2,又b1b3=-3,设等比数列an的公比为 q，得log2（）log2(2q)=-3.解得 q4 或，所求等比