第十二章　轴对称

1 / 32第十二章 轴对称本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲山课件m 第十二章轴对称本章小结小结 1 本章概述本章主要从生活中的图形入手，学习轴对称及其基本性质，欣赏、体验轴对称在现实生活中的广泛应用在此基础上，利用轴对称探索等腰三角形的性质及其判定方法，进一步学习等边三角形的性质和判定轴对称是现实生活中广泛存在的一种现象，是密切数学知识与现实联系的重要内容本章内容是上一章内容的继续又是后面学习四边形、圆的基础，所以学好本节知识至关重要本节中涉及轴对称、等腰三角形、等边三角形、垂直平分线等重要概念，涉及等腰三角形“等边对等角” 、“三线合一”等重要性质，在学习时应特别注意小结 2 本章学习重难点【本章重点】1轴对称的概念和性质和判定2等腰(或等边)三角形的性质和判定【本章难点】1利用轴对称的性质进行图案设计2 / 322书写推理证明过程小结 3 学法指导1注意联系实际，通过观察、动手操作等直观方式掌握轴对称及等腰三角形的性质和判定，利用轴对称的观点解释生活中的有关现象，设计图案选择最佳方案等，体现知识的应用，体现具体抽象具体的过程2注意知识间的联系图形的轴对称变换、图形与坐标、图形的证明在本章都有涉及，注意各部分知识之间的联系，把所学知识纳入已有的知识体系3注意体会转化思想、类比思想、分类讨论思想在本章学习中的应用知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题 1轴对称及轴对称图形【专题解读】此部分内容是近几年中考中常见的题型，也是新题型之一，解题的依据主要是轴对称及轴对称的性质例 1 如图 12112 所示的是小方画的正方形风筝图案，她以图中的对角线所在直线为对称轴，在对角线的下方画一个三角形，使得新的风筝图案成为轴对称图形，若如图3 / 3212113 所示的图形中有一图形为此轴对称图形，则此图为()分析本题主要考查轴对称图形的性质，即对应点连线被对称轴垂直平分，只有 c 为轴对称图形故选 c规律方法判断某图形是否为轴对称图形(或两个图形是否成轴对称)，关键是能否找到一条直线可将这个图形(或两个图形)沿着这条直线对折，使对折后的两部分(或两个图形)重合专题 2利用轴对称变换作轴对称变换后的图形及设计方案【专题解读】利用轴对称变换设计精美图案，当对称轴改变方向时，原图形的对称图形也改变方向，一个图形经过若干次轴对称变换，再结合平移、旋转等就可以得到非常美丽的图案例 2如图 12114所示，给出了一个图案的一半，其中的虚线就是这个图案的对称轴，请画出这个图案的另一半解：如图 12114所示【解题策略】先作出特殊点的对称点，然后连接即可专题 3等腰三角形的性质和判定【专题解读】等腰三角形的性质和判定可以用来证明角4 / 32相等、线段相等以及线段垂直，这是几何证明中最重要的知识之一，它经常与其他几何知识(如四边形、圆等)综合在一起考查例 3如图 12115 所示，ABAc，E，D 分别在 AB，Ac上，BD 和 cE 相交于点 F，且ABDAcE求证 BFcF分析本题综合考查等腰三角形的性质和判定由于ABAc，所以作辅助线 Bc，则可以构造等腰三角形，从而利用等腰三角形的性质解决问题证明：连接 Bc，ABAc，AcBABc(等边对等角)又AcEABD，FcBFBcBFcF(等角对等边)【解题策略】本题解题时灵活运用了等腰三角形的性质和判定，也可以连辅助线 AF，来证明 BFcF，用这个方法证明要用到三角形全等，比较麻烦专题 4 等边三角形的性质和判定【专题解读】等边三角形是一个很特殊的三角形，它的三边都相等，三个角都是 60，正是由于它的特殊性，因此在很多的几何证明题中都会用到例 4如图 12116 所示，AD 是ABc 的中线，ADc60，Bc4，若将ADc 沿直线 AD 折叠，则 c 点落在点 E 的位置上，求 BE 的长5 / 32分析本题综合考查轴对称和等边三角形的判定和性质解：由折叠得ADEADc60，cDDE又BDDc，DEBDADEADc60，BDE180606060BDE 为等边三角形BEBDBc2【解题策略】本题运用了“有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形”这一判定方法专题 5 含 30角的直角三角形的性质与等腰三角形的综合应用【专题解读】直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半，这条性质在实际生活中有着广泛的应用由角的特殊性，揭示了直角三角形中直角边和斜边的关系例 5如图 12117 所示，ABc 中，ABAc，BAc120，ADAc 交 Bc 于点 D求证BE3AD分析本题综合考查等腰三角形的性质和判定，以及直角三角形中 30角所对的直角边是斜边的一半的性质证明：ABAc，Bc(等边对等角)又BAc120，Bc306 / 32ADAc，DAc90BADBAcDAc1209030BBADBDAD(等角对等边)在 RtADc 中，c30，cD2ADBcBDcDAD2AD3AD二、规律方法专题专题 6正确作辅助线解决问题【专题解读】本章涉及等腰三角形的性质、角平分线及线段的垂直平分线的性质，做题时可通过添加适当的辅助线由全等等知识获得结论例 6如图 12118 所示，B90，ADABBc，DEAc求证 BFDc证明：连接 AEEDAc，ADE90又B90在 RtABE 和 RtADE 中，RtABERtADE(HL)，BEEDABBc，BAcc又B90，BAcc90c457 / 32EDc90，cDEc45DEDc，BEDc例 7如图 12119 所示，在ABc 中，ABAc，在 AB上取一点 E，在 Ac 的延长线上取一点 F，使 BEcF，EF 交Bc 于 G求证 EGFG证明：过 E 作 EmAc，交 Bc 于点 m，则EmBAcB，mEGF又ABAc，BAcBBEmB，EBEm又BEcF，EmFc在mEG 和cFG 中，mEGcFG(AAS)EGFG三、思想方法专题专题 7分类讨论思想【专题解读】本章涉及等腰三角形的边、角的计算，应通过题意探讨其可能存在的情况，运用相关知识一一讨论不难获得结论例 8已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为 13cm 和 15cm 两部分，试求此等腰三角形的腰长和底边长8 / 32分析这是一类常见的等腰三角形分类讨论的问题，解题时应注意到分为 13cm 和 15cm 两部分时的两种可能情形，进行分类讨论即可解：如图 12120 所示，ABAc，D 为 Ac 的中点，所以 ADcD，由题意知或解得 ABAc，Bc或 ABAc10，Bc8即此等腰三角形的腰长与底边长分别为 cm，cm 或10cm，8cm规律方法本题的分类讨论既可以说是来源于不同的图形也可以说是来源于题设中的“不明确” ，解题过程应从题设中挖掘出类似的信息，以使解答完整专题 8数形结合思想【专题解读】数形结合思想是比较常用的数学思想，在解有关三角形的问题时显得尤为重要例 9(开放题)如图 12121 所示，ABc 中，已知ABAc，要使 ADAE，需添加的条件是分析从确定ADE 是等腰三角形着眼，若ADEAED，可得 ADAE，除此以外还可加ADBAEc 或BADcAE 或 BDcE故填ADEAED 或ADB=AEc 或BADcAE 或 BDcE(答案不唯一)例 10(探究题)如图 12122 所示，线段 oP 的一个端点 o9 / 32在直线 a 上，以 oP 为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线 a 上，这样的等腰三角形能画几个?分析以 oP 为一边画等腰三角形，要考虑 oP 作腰和 oP作底边两种情况解：(1)当 oP 作等腰三角形的腰时，分 o 作顶点和 P 作顶点两种情况当 o 作顶点，oP 作腰时，则以 o 为圆心，oP 为半径画弧，与直线 a 交于 m1，m2 两点，则oPm1 和oPm2 都是等腰三角形；当 P 作顶点，Po 作腰时，则以 P为圆心，Po 为半径画弧，交直线 a 于 m3，则Pom3 为等腰三角形(2)当 oP 作等腰三角形的底边时，作 oP 的垂直平分线交直线 a 于 m4，则oPm4 为等腰三角形所以这样的等腰三角形能画 4 个如图 12123 所示例 11(动手操作题)如图 12124所示，ABc 中，ABAc，A36，仿照图请你再用两种不同的方法，将ABc 分割成 3 个三角形，使每个三角形都是等腰三角形(作图工具不限，不写作法和证明，但要标出所分得的每个等腰三角形的内角的度数)分析在ABc 中，ABAc，A36，所以Bc72所以分割出的等腰三角形的底角或顶角为 36，72，108，18，144，以这些度数为基础设计分割方案，便可得出符合条件的图形10 / 32解：如图 12124所示均符合要求XX 中考真题精选1.（XX 江苏淮安，2，3 分）下列交通标志是轴对称图形的是（）A、B、c、D、考点：轴对称图形。分析：根据轴对称图形的概念求解，只要寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，既是轴对称图形解答：解：A、不是轴对称图形；B、不是轴对称图形；c、不是轴对称图形；D、是轴对称图形故选：D点评：此题主要考查了轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合2.（XX南通）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A、B、c、D、考点：中心对称图形；轴对称图形。分析：结合轴对称图形与中心对称图形的定义进行分析解答：解：A 项是中心对称图形，不是轴对称图形，故本项错误，B 项为中心对称图形，不是轴对称图形，故本项错11 / 32误，c 项为中心对称图形，也是轴对称图形，故本项正确，D 项为轴对称图形，不是中心对称图形，故本项错误故答案选择 c点评：本题主要考察轴对称图象的定义和中心对称图形的定义，解题的关键是找到图形是否符合轴对称图形和中心对称图形的定义3.（XX 江苏无锡，6，3 分）一名同学想用正方形和圆设计一个图案，要求整个图案关于正方形的某条对角线对称，那么下列图案中不符合要求的是（）ABcD考点：轴对称图形。专题：数形结合。分析：轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合解答：解：A、图象关于对角线所在的直线对称，两条对角线都是其对称轴；故不符合题意；B、图象关于对角线所在的直线对称，两条对角线都是其对称轴；故不符合题意；c、图象关于对角线所在的直线对称，有一条对称轴；故不符合题意；D、图象关于对角线所在的直线不对称；故符合题意；12 / 32故选 D点评：本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合4.（XX 山西，6，2 分）将一个矩形纸片依次按图（1） 、图的方式对折，然后沿图（3）中的虚线裁剪，最后头将图（4）的纸再展开铺平，所得到的图案是（）考点：轴对称专题：操作题图形变换分析：由图案的对称性进行想象，或动手操作一下都可解答：A点评：动手折一折，动脑想一想不难得出答案5.（XX 四川广安，5，3 分）下列几何图形：角平行四边形扇形正方形，其中轴对称图形是（）ABcD考点：轴对称图形专题：对称分析：根据轴对称图形的概念及所给出的图形的特点可知角，扇形，正方形是轴对称图形而平行四边形是中心对称图形解答：c13 / 32点评：把一个图形沿着某一条直线对称，如果图形左右两边的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，解题时要注意记住初中阶段学过的哪些基本图形是轴对称图形6.（XX台湾 4，4 分）下列有一面国旗是轴对称图形，根据选项中的图形，判断此国旗为何（）A、B、c、D、考点：轴对称图形。专题：常规题型。分析：根据轴对称图形的概念求解如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形这条直线叫做对称轴解答：解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；c、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确故选 D点评：本题考查轴对称图形，注意掌握轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合7.（XX台湾 26，4 分）如图 1，将某四边形纸片14 / 32ABcD 的 AB 向 Bc 方向折过去（其中 ABBc） ，使得 A 点落在 Bc 上，展开后出现折线 BD，如图 2将 B 点折向 D，使得 B、D 两点重迭，如图 3，展开后出现折线 cE，如图4根据图 4，判断下列关系何者正确？（）A、ADBcB、ABcDc、ADB=BDcD、ADBBDc考点：翻折变换（折叠问题） 。专题：操作型。分析：由 A 点落在 Bc 上，折线为 BD，根据折叠的性质得到ABD=cBD，又 B 点折向 D，使得 B、D 两点重迭，折线为 cE，再根据折叠的性质得到 cD=cB，然后转化为角相等，这样就有ABD=cDB，根据平行线的判定定理即可得到 B正确解答：解：A 点落在 Bc 上，折线为 BD，ABD=cBD，又B 点折向 D，使得 B、D 两点重迭，折线为 cE，cD=cB，cBD=cDB，ABD=cDB，ABcD，即选项 B 正确故选 B15 / 32点评：本题考查了折叠的性质：折叠后重叠的两部分图形全等也考查了动手能力和空间想象能力8.（XX 湖北荆州，2，3 分）下列四个图案中，轴对称图形的个数是（）A、1B、2c、3D、4 考点：轴对称图形分析：根据轴对称图形的定义 1 得出，图形沿一条直线对着，分成的两部分完全重合及是轴对称图形，分别判断得出即可解答：解：根据图象，以及轴对称图形的定义可得，第 1，2，4 个图形是轴对称图形，第 3 个是中心对称图形，故选：c点评：此题主要考查了轴对称图形的定义，根据定义判断出图形形状是解决问题的关键9.（XX柳州）在三角形、四边形、五边形、和正六边形中，是轴对称图形的是（）A、三角形 B、四边形c、五边形 D、正六边形考点：轴对称图形。专题：几何图形问题。分析：关于某条直线对称的图形叫轴对称图形16 / 32解答：解：只有正六边形沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形故选 D点评：本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形10.（XX郴州）观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A、B、c、D、考点：中心对称图形；轴对称图形。专题：几何图形问题。分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解解答：解：A、不是轴对称图形，不符合题意，故本选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误；c、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，故本选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误故选 c17 / 32点评：本题考查轴对称图形及中心对称图形的知识，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图形重合11.（XX 山东青岛，4，3 分）下列汽车标志中既是轴对称又是中心对称图形的是（）ABcD考点：轴对称图形；中心对称图形。分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解解答：解：A是轴对称图形，不是中心对称图形；B是轴对称图形，不是中心对称图形；c不是轴对称图形，也不是中心对称图形；D是中心对称图形，也是轴对称图形故选 D点评：此题将汽车标志与对称相结合，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转 180后与原图重合12.（XX 泰安，19，3 分）如图，点 o 是矩形 ABcD 的中心，E 是 AB 上的点，沿 cE 折叠后，点 B 恰好与点 o 重合，若 Bc3，则折痕 cE 的长为（）18 / 32ABcD6考点：翻折变换（折叠问题） ；勾股定理。专题：探究型。分析：先根据图形翻折变换的性质求出 Ac 的长，再由勾股定理及等腰三角形的判定定理即可得出结论解答：解：cED 是cEB 翻折而成，BccD，BEDE，o 是矩形 ABcD 的中心，oE 是 Ac 的垂直平分线，Ac2Bc236，AEcE，在 RtABc 中，Ac2AB2Bc2，即 62AB232，解得AB3，在 RtAoE 中，设 oEx，则 AE3x，AE2Ao2oE2，即（3x）2（3）232，解得 x，AEEc32故选 A点评：本题考查的是翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键13.（XX 山东省潍坊，4，3 分）如图，阴影部分是由 5个小正方形涂黑组成的一个直角图形，再将方格内空白的两个小正方形涂黑得到新的图形(阴影部分)，其中不是19 / 32轴对称图形的是()【考点】轴对称图形【分析】本题需先根据轴对称图形的有关概念沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合对每一个图形进行分析即可得出正确答案【解答】解：A沿某直线折叠，分成的两部分能互相重合它是轴对称图形B、沿某直线折叠，分成的两部分能互相重合它是轴对称图形c、绕某一点旋转 180以后，能够与原图形重合它是轴对称图形D、根据轴对称定义它不是轴对称图形故选 D【点评】本题主要考查了轴对称图形的有关概念，在解20 / 32题时要注意轴对称图形的概念与实际相结合是本题的关键XX 四川达州，2，3 分）图中所示的几个图形是国际通用的交通标志其中不是轴对称图形的是（）A、B、c、D、考点：轴对称图形。分析：根据轴对称图形的概念求解如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形解答：解：A、B、D 都是轴对称图形，而 c 不是轴对称图形故选 c点评：本题主要考查了轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合14.（XX 四川广安，5，3 分）下列几何图形：角平行四边形扇形正方形，其中轴对称图形是（）ABcD考点：轴对称图形专题：对称分析：根据轴对称图形的概念及所给出的图形的特点可知角，扇形，正方形是轴对称图形而平行四边形21 / 32是中心对称图形解答：c点评：把一个图形沿着某一条直线对称，如果图形左右两边的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，解题时要注意记住初中阶段学过的哪些基本图形是轴对称图形四川泸州，11，2 分）如图，在 RtABc 中，ABc=90，c=60，Ac=10，将 Bc 向 BA 方向翻折过去，使点 c 落在BA 上的点 c，折痕为 BE，则 Ec 的长度是（）+考点：翻折变换（折叠问题） 分析：作 EDBc 于 D，可得含 30的 RtcED 及含 45的直角三角形 BED，设所求的 Ec 为 x，则 cD=，BD=BE=x，根据 Bc=5 列式求值即可解答：解：作 EDBc 于 D，设所求的 Ec 为 x，则cD=x，BD=BE=x，ABc=90，c=60，Ac=10，Bc=Accosc=5，cD+BD=5，cE=5，故选 B点评：考查翻折变换问题；构造出含 30及含 45的直角三角形是解决本题的突破点16.在下列几何图形中，一定是轴对称图形的有（）22 / 32A、1 个 B、2 个 c、3 个 D、4 个【答案】c【考点】轴对称图形【专题】几何图形问题【分析】根据轴对称图形的概念，分析各图形的特征求解如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形这条直线叫做对称轴【解答】解：扇形是轴对称图形，符合题意；等腰梯形是轴对称图形，符合题意；菱形是轴对称图形，符合题意；直角三角形不一定是轴对称图形，故不符合题意共 3 个轴对称图形故选 c【点评】考查了轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合、如图在直角坐标系中，矩形 ABc0 的边 oA 在 x 轴上，边 0c 在 y 轴上，点 B 的坐标为（1，3） ，将矩形沿对角线Ac 翻折，B 点落在 D 点的位置，且 AD 交 y 轴于点 E那么点 D 的坐标为（）A、B、c、D、【答案】A【考点】翻折变换（折叠问题） ；坐标与图形性质23 / 32【专题】计算题；综合题【分析】如图，过 D 作 DFAF 于 F，根据折叠可以证明cDEAoE，然后利用全等三角形的性质得到oE=DE，oA=cD=1，设 oE=x，那么 cE=3-x，DE=x，利用勾股定理即可求出 oE 的长度，而利用已知条件可以证明AEoADF，而 AD=AB=3，接着利用相似三角形的性质即可求出 DF、AF 的长度，也就求出了 D 的坐标【解答】解：如图，过 D 作 DFAF 于 F，点 B 的坐标为（1，3） ，Ao=1，AB=3，根据折叠可知：cD=oA，而D=AoE=90，DEc=AEo，cDEAoE，oE=DE，oA=cD=1，设 oE=x，那么 cE=3-x，DE=x，在 RtDcE 中，cE2=DE2+cD2，（3-x）2=x2+12，x=，又 DFAF，DFEo，AEoADF，而 AD=AB=3，AE=cE=3-，即，DF=，AF=，oF=-1=，24 / 32D 的坐标为（-， ） 故选 A【点评】此题主要考查了图形的折叠问题，也考查了坐标与图形的性质，解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题综合验收评估测试题一、选择题(每小题 3 分，共 30 分)1如图 12125 所示的四个中文艺术字中，不是轴对称图形的是()一日千里ABcD图 12-1252如图 12126 所示，把等腰直角三角形 ABc 沿 BD折叠，使点 A 落在边 Bc 上的点 E 处下面结论错误的是()AABBEBADDccADcEDADEc3如图 12127 所示，直线 cD 是线段 AB 的垂直平分线，P 为直线 cD 上的一点，已知线段 PA5，则线段 PB的长度为()A6B5c4D34点 P(3，5)关于 x 轴对称的点的坐标为()A(3，5)B(5，3)c(3，5)D(3，5)25 / 325如图 12128 所示，ABc 与ABc关于直线，对称，且A78，c48，则B 的度数为()A48B54c74D786如图 12129 所示的是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在()AABc 的三条中线的交点 BABc 的三边的中垂线的交点cABc 三条角平分线的交点 DABc 三条高所在直线的交点7如图 12130 所示的是把一张长方形的纸沿长边中点的连线对折两次后得到的图形，再沿虚线裁剪，外面部分展开后的图形是图 12131 中的()8如图 12132 所示，在ABc 中，ABAc，A36，BD，cE 分别是ABc，BcD 的角平分线，则图中的等腰三角形有()A5 个 B4 个 c3 个 D2 个9如图 12133 所示，坐标平面内一点 A(2，1)，o 为原点，P 是 x 轴上的一个动点，如果以点 P，o，A 为顶26 / 32点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点 P 的个数为()A2B3c4D510如图 12134 所示，A15，ABBccDDEEF，则DEF 等于()A90B75c70D60二、填空题(每小题 3 分，共 30 分)11等腰三角形 ABc 的两边长为 2 和 5则第三边长为12如图 12135 所示，镜子中的号码实际是13如图 12136 所示ABc 中，DE 垂直平分Ac，交 AB 于 E，A30，AcB80，则BcE14从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的底角等于15如图 12137 所示，将矩形纸片 ABcD 折叠，使点 D 与点 B 重合，点 c 落在点 c处，折痕为 EF，若ABE20，那么EFc的度数为度16若等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为27 / 3235则这个三角形的顶角为17等边三角形是轴对称图形，它有条对称轴18(1)若等腰三角形的一个内角等于 130，则其余两个角分别为 (2)若等腰三角形的一个内角等于 70，则其余两个角分别为19如图 12138 所示，在ABc 中，c90，AD 平分BAc，交 Bc 于点 D，cD3，则点 D 到 AB 的距离为20如图 12139 所示，在ABc 中，ABAc，A60，BEAc 于 E，延长 Bc 到 D，使cDcE，连接 DE，若ABc 的周长是 24，BEa，则BDE的周长是三、解答题(每小题 10 分共 60 分)21如图 12140 所示，有分别过 A，B 两个加油站的公路 l1，l2 相交于点 o，现准备在AoB 内建一个油库，要求油库的位置点 P 满足到 A，B 两个加油站的距离相等，而且 P 到两条公路 l1，l2 的距离也相等请用尺规作图作出点 P(不写作法，保留作图痕迹)28 / 3222如图 12141 所示，BAcABD(1)要使 ocoD，可以添加的条件为或；(写出 2 个符合题意的条件即可)(2)请选择(1)中你所添加的一个条件证明 ocoD23如图 12142 所示，ABc 中，ABAc，E 在 cA 的延长线上，AEAF，AD 是 Bc 边上的高，试判断 EF 与 Bc 的位置关系，并说明理由24如图 12143 所示，ABc 中，点 E 在 Ac 上，点 N 在 Bc 上，在 AB 上找一点 F，使ENF 的周长最小，并说明理由25如图 12144 所示，某船上午 11 时 30 分在 A 处观测海岛 B 在北偏东 60方向，该船以每小时 10 海里的速度向正东方向航行，航行到 c 处时，再观测海岛 B 在北偏东30方向，又以同样的速度继续航行到 D 处，再观测海岛B 在北偏西 30方向，当轮船到达 c 处时恰好与海岛 B 相距 20 海里，请你确定轮船到达 c 处和 D 处的时间26如图 12145 所示，在ABc 中，ABc2c，AD为 Bc 边上的高，延长 AB 到 E 点，使 BEBD，过点 D，E 引直线交 Ac 于点 F，则有 AFFc为什么?29 / 32参考答案1c2B提示：由折叠知BEDA90，BD 是ABc 的平分线，所以 ADDE3B提示：由 cD 是 AB 的垂直平分线可知 PBPA54D提示：两点关于 x 轴对称，则两点坐标的关系是：横坐标相同，纵坐标相反5B提示：由ABc 和ABc关于 l 对称，可知cc48，所以B180Ac1807848546c提示：到角的两边距离相等的点在角的平分线上7D提示：按要求动手操作即可8A提示：有BcE，DEc，ABD，BcD 和ABc9c提示：以 o 为圆心，oA 为半径画圆与 x 轴有两个交点，以 A 为圆心，oA 为半径画圆与 x 轴又交于一个与 o 不重合的一个点，