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第十一章线性空间与线性映射 线性代数有两个 线性 一是线性空间 二是线性映射 线性代数研究线性空间之间的线性映射的性质 本章包括四节 前两节是关于线性空间的 重点是线性空间 线性空间的基与维数三个概念 后两节是关于线性映射的 其中第三节给出线性映射的概念及其矩阵表示 这使得在第十章中 冒然闯入 的那个 矩形阵列 有了实在的目的 最后一节给出描述线性映射性质的两个重要概念 线性映射的零空间和值域空间 通常 人们认为这章内容比较抽象 其实还是很直观的 因为在二维和三维的情况下 本章的内容都能具体 画出来 建议读者在学习这章的时候 用二维和三维空间中的具体例子 想象概念的几何形象 11 1线性空间 11 2线性空间的基与维数 11 3线性映射的矩阵表示 11 4线性映射的零空间与值域 11 1 11 1线性空间 11 1 1线性空间的概念 在我们的观念中 我们生活于其中的空间 是由点组成的 在空间中取定一点O 见图11 1 1 则空间中的点与位置向量r 建立一一对应关系 这样我们的生活空间可以看作是向量空间 本章中用加粗的字母表示向量 空间中的向量 可以相加 也可以乘一数 见图11 1 2 图11 1 3 11 1 因而在向量空间中 形如 的式子是有意义的 这个式子称为向量a与b的线性组合 人们把加法与数乘叫线性运算 于是人们也把向量空间叫线性空间 ka lb 线性运算具有下述性质 VS1 a b b a a b c a b c a a 0 a 0 a 11 1 数乘满足下列运算律 VS2 a b a b a a a 1 a a 0 a 0 左边为数0 右边为向量0 VS是VectorSpace的缩写 VS1可分别读作 向量空间的第一组性质 类似的可说VS2 在整个数学中 这种具有线性运算并且满足VS1 VS2八条运算规律的集合太多了 例如 闭区间 a b 上的多项式集合 闭区间 a b 上所有连续函数构成的集合 还有后面遇到的R2 R3 Rn 人们把这样的集合叫向量空间 或线性空间 11 1 定义11 1 1 给定集合V 在其上定义了加法和数乘两种运算 满足VS1 VS2八条运算规律 称V为向量空间或线性空间 其中的元素叫向量 注意 术语 向量空间 和 线性空间 表示一个概念 例11 1 1 对二元有序数组的集合R2 按照如下定义的加法和数乘 两向量相加 就是对应分量相加 11 1 数乘向量 就是数乘向量的各个分量 检验R2按照如上定义的加法和数乘 构成一个向量空间 解 记a b c 0 则 VS1 由a b b a 即见a b b a 由a b c a b c 即见a b c a b c 11 1 即见a 0 a 即见 a b a b 由0 a a 由a a 0 VS2 由 a b a b 即见a a 0 由 a a a 即见 a a a 11 1 即见1 a a 即见0 a 0 由1 a a 由0 a 0 可见 二元有序组的集合R2是一向量空间 也许你认为上面的检验过程没有必要 因为这八条运算性质的成立几乎是显然的 我们之所以这样做 是想让你实实在在的体验这一检验的过程 因为检验一个空间是否为线性空间 都要遵循相同的检验过程 11 1 类似地 我们可检验 所有三元有序数组的集合 是一线性空间 一般地 所有n元有序数组的集合 按照 两向量相加 就是对应分量相加 数乘向量 就是数乘向量的各个分量 定义加法与数乘 构成一线性空间 11 1 解 首先 集合C a b 上可定义加法和数乘 即 Rn是我们今后使用的基本空间 有必要再提醒你 回顾一下这里的加法与数乘是怎么规定的 例11 1 2 检验闭区间 a b 上 所有连续函数的集合C a b 是一线性空间 其中 C是continuous的第一个字母 符号C a b 读作 闭区间 a b 上所有连续函数的集合 两个连续函数的和 还是连续函数 连续函数乘一数 还是连续函数 设f g h C a b 即函数f g h是集合C a b 的元素 则 VS1 f g g f f g h f g h 0 f f f f 0 11 1 可见 闭区间 a b 上全体函数的集合 也是一个线性空间 你可能会说 此处只是把那八条性质罗列了一遍 而没有给什么 证明 这是因为这八条性质的成立太显然了 以至于我们不需要再给出什么证明 类似地 你可以检验所有n次多项式的集合是一个线性空间 VS2 f g f g f f f 1 f f 0 f 0 所有m n矩阵的集合 按矩阵的加法与数乘 成为一线性空间 应该指出 R2 R3 一般地Rn 这些空间是线性代数中的常用空间 向量空间是一个 具有两种运算 八条性质的集合 在向量空间中 我们可以作这两种运算 并且只要遵循八条运算规律 运算就不会出错 11 2线性空间的基与维数 11 2 1线性组合 11 2 给定向量组a1 an b 若存在常数k1 kn 使得 b k1a1 knan 称b可由a1 an线性表示 也说b是a1 an的线性组合 或a a1 e1 a2 e2 11 2 在R3中 给出向量组 e1 e2 则向量a 可由e1 e2线性表示 11 2 2线性相关 11 2 给定一组向量a1 an 若其中有一个可由其余线性表示 则称向量组a1 an线性相关 你也许试图寻求这一概念的直观解释 建议你不要再找了 因为没有比这更直白的说法了 你就记住 线性相关 就是有一个向量可由其余线性表示 这个说法易懂 但不便于检验 我们再换个说法 11 2 向量组a1 an线性相关的充要条件是 定理11 2 1 存在不全为0的数k1 kn 使得 k1a1 knan 0 证 设a1 an线性相关 则有一个向量可由其余线性表示 不妨设这个向量就是a1 即存在k2 kn 使得 a1 k2a2 knan 于是 a1 k2a2 knan 0 由于k1 1 0 因而存在不全为0的数k1 kn 使得 k1a1 knan 0 11 2 设存在不全为0的数k1 kn 使得 k1a1 knan 0 不妨设k1 0 k1 kn都一样 于是 a1 a2 a3 an 即 a1可由其余线性表示 由定理11 2 1 线性相关也可如下定义 定义11 2 1 11 2 若存在不全为0的数k1 kn 使得 k1a1 knan 0 称向量组a1 an线性相关 向量组a1 an不线性相关 称向量组线性无关 即 k1a1 knan 0 只有当k1 kn全为0才成立 11 2 解 设k1e1 k2e2 0 右边为向量0 即 所以 即 式k1e1 k2e2 0只有k1 k2全为0时才成立 故向量组e1 e2线性无关 11 2 因为式k1e1 k2e2 k3e3 0 只有在k1 k2 k3全为0时才成立 两个向量a1 a2线性相关 比如a1 ka2 这两个向量共线 三个向量a1 a2 a3线性相关 比如a1 k2a2 k3a3 即a1在a2 a3张成的平面上 即这三个向量共面 11 2 3向量空间的基 11 2 设V是一向量空间 a1 an为V中的一组向量 满足 a1 an线性无关 称a1 an为V中的一组基 ai称为第i个基向量 并称V为n维向量空间 V中任一向量可由a1 an唯一线性表示 有一组基 沿着各个基向量 可画一条坐标轴 于是可建立一个坐标系 见图11 2 1 图11 2 2 11 2 有一个 坐标系 每条轴上的单位向量就构成一组 基 例如 在R2中 见图11 2 3 因此 基与坐标系是等价的 通常人们形象的称坐标系为 标架 而把基向量称为 标架向量 e1 e2线性无关 任一向量可由e1 e2唯一线性表示 则e1 e2为R2的一组基 且R2为二维向量空间 再例如 在R3中 e1 e2 e3线性无关 任一向量可由e1 e2 e3唯一线性表示 则e1 e2 e3为R3的一组基 且R3为三维向量空间 11 2 显然 向量空间中的基不是唯一的 a1 a2线性无关 任一向量可由a1 a2唯一线性表示 即 a1 a2也是R2的一组基 一般地 在Rn中 使用起来最方便的是基 称e1 e2 en为Rn的标准基 例如 在R2中 取a1 a2 则 e1 e2 en 11 2 4向量的坐标表示 11 2 设V为n维向量空间 b1 bn为V的一组基 于是 x V x可表示为b1 bn的线性组合 即 x x1b1 xnbn 应该注意 向量的坐标表示与向量本身是不同的两个概念 向量是一个几何的概念 与坐标系的选取无关 而向量的坐标表示与坐标系的选取有关 11 2 在n维向量空间V中取定一组基 V中的向量与Rn中的向量便建立了一一对应关系 这种对应还保持向量的线性运算关系 因此 可把Rn看作V的表示 于是 只要在n维向 量空间V中取定一组基 V就可以用Rn来表示 V中的向量就可用Rn中的向量来表示 11 3线性映射的矩阵表示 11 3 1线性映射 11 3 设V W是两个线性空间 映射A V W 满足 L1 A x y Ax Ay L2 A x Ax 称A V W为线性映射 L1 L2称为线性性质 线性映射在数学中太多了 我们在中学学过的函数 y Ax 其中A是直线y Ax的斜率 就是一个R R的线性映射 因为 11 3 由于 还有 定积分运算同样是一个线性映射 可见求导运算 是个线性映射 由于 可见不定积分运算 也是个线性映射 11 3 在线性代数中 有两个 线性 一是线性空间 一是线性映射 线性代数主要研究线性空间之间线性映射的各种性质 下面我们将看到 当在n维线性空间中取定一个基 线性映射就可用一个矩阵来表示 这种表示 使得对线性映射的研究 完全变成了对矩阵的研究 11 3 2用矩阵给出线性映射 给出一个m n矩阵A 按照矩阵乘法 由y Axx Rn给出一个由Rn Rm的映射 不妨就称为映射A A把Rn中的向量x 映为Rm中的向量y 11 3 例如 给出2 3矩阵A 可给出一个R3 R2的映射 y Ax 由矩阵的运算性质可知 由矩阵A给出的映射 具有 由 可知 A把映为 由 可知 A把映为 A x1 x2 Ax1 Ax2 A x Ax 即 由矩阵A给出的映射是一线性映射 11 3 3线性映射用矩阵表示 11 3 设V为n维线性空间 W为m维线性空间 T V W为线性映射 在V中取定一个基 v1 v2 vn 则任一向量v可由v1 v2 vn唯一线性表示 v x1v1 x2v2 xnvn 于是向量v有坐标表示 从而V可由Rn表示 在W中取定一个基 w1 w2 wm 11 3 则任一向量w可由w1 w2 wm唯一线性表示 w y1w1 y2w2 ymwm 下面来看映射T用什么表示 T映v1到Tv1 Tv1为W中的向量 于是可由w1 w2 wm唯一线性表示 Tv1 a11w1 a21w2 am1wm 类似地 有 于是向量w有坐标表示 从而W可由Rm表示 Tv2 a12w1 a22w2 am2wm Tvn a1nw1 a2nw2 amnwm 11 3 于是 以这些坐标为列 可构造矩阵A Tv1有坐标表示 Tv2有坐标表示 Tvn有坐标表示 A 11 3 下面我们将说明线性映射T V W 可由线性映射A Rn Rm来表示 由w Tv 有y1w1 ymwm T x1v1 xnvn x1Tv1 xnTvn 利用T的线性性质 x1 a11w1 a12w2 am1wm x2 a12w1 a22w2 am2wm xn a1nw1 a2nw2 amnwm 将Tvi代入 a11x1 a12x2 a1nxn w1 按wi合并项 a21x1 a22x2 a2nxn w2 am1x1 am2x2 amnxn wm 11 3 比较两边 有 y1 a11x1 a12x2 a1nxn y2 a21x1 a22x2 a2nxn ym am1x1 am2x2 amnxn 用矩阵乘法表示 11 3 于是 线性映射T V W 可由Rn Rm的线性映射 Tv的坐标表示可由矩阵A与v的坐标表示相乘得到 y Ax 表示 也说T由A表示 这样对线性映射T的研究 也就化成了对矩阵A的研究 11 3 4矩阵运算的映射意义 11 3 设T V W 由y Ax表示 F V W 由y Bx表示 则T F V W 由y A B x表示 即 矩阵的加法 表示线性映射的和 设T U V 由y Bx表示 F V W 由z Ay表示 则复合映射 FoT U W 由z Ay ABx表示 可见 矩阵的乘法表示线性映射的复合 11 4线性映射的零空间与值域 11 4 1子空间 11 4 设V是向量空间 若V的非空子集F V 对于V中的加法和数乘是封闭的 即 x y F 有 x y F x y还在F中 例如 R3中 所有第三分量是0的向量 x F x还在F中 称F为V的线性子空间 即 F按照V中的加法与数乘也是一个线性空间 是R3的一个子空间 即XOY坐标平面 11 4 2线性映射的零空间与值域 11 4 线性映射A Rn Rm 确定两个重要的子空间 A的零空间 Rn中所有被A映到0的那些向量的集合 x x Rn Ax 0 称为A的零空间 nullspace 记为N A 即 N A x x Rn Ax 0 线性映射A的零空间也称为A的核 kernel 我们来验证N A 是Rn的子空间 设x1 x2 N A 即Ax1 0 Ax2 0 则 A x1 x2 Ax1 Ax2 0 A kx1 kAx1 0 即见 若x1 x2在零空间中 则x1 x2和kx1也在零空间中 A的零空间对加法和数乘是封闭的 因而是是Rn的子空间 11 4 线性映射A Rn Rm 确定两个重要的子空间 y y Rm 存在x Rn 使得Ax y 称为A的值域空间 range A的值域常记为A Rn 即 A Rn y y Rm 存在x Rn 使得Ax y 我们来验证A Rn 是Rm的子空间 设y1 y2 A Rn 即 x1 x2 使得 Ax1 y1 Ax2 y2 于是y1 y2 Ax1 Ax2 A x1 x2 即见y1 y2是x1 x2在A下的象 因而y1 y2 A Rn ky1 k Ax1 Akx1 即见ky1是kx1在A下的象 因而ky1 A Rn 因而A Rn 对加法和数乘是封闭的 11 4 x x1e1 xnen 于是 线性映射的零空间的维数叫线性映射的零化度 nullity 值域空间的维数叫线性映射的秩 对 y A Rn x Rn 使得y Ax 注意x可由基向量e1 e2 en唯一线性表示 y A x1e1 xnen x1Ae1 xnAen 这说明 值域空间的任一向量 都是向量组Ae1 Aen的线性组合 但要注意 Ae1 Aen一般不是一个基 11 4 例11 4 1 线性映射A R3 R3 由下式给出 求线性映射A的零空间 值域 零化度与秩 解 见图11 4 1 由于对任一向量x 有Ax 11 4 可以看出 A的秩与零化度满足关系 称此为秩加零化度定理 对任一形为x 的向量 有Ax 可见 A的零空间 是基向量e3所在的直线 也就是过去所说的Z轴 值域空间是基向量e1 e2张成的平面 也就是过去所说的XOY平面 e3所在的直线上的向量被映成了0向量 也说e3轴被零化了 直观上 e3方向被 坍缩 坍塌萎缩 了