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2 2三角分解法 2 2 1杜里特尔分解法求解线性代数议程组的三角分解法 起源于高斯消去法的矩阵形式 高斯消去法消去过程中 将变换后增广矩阵的第k行 c倍加于第i行 相当于左乘初等矩陈 它们都是单位下三角矩阵 即对角元全为1 对角线上方元素全为零的矩阵 因此不选主元的高斯消去法消去过程 实质是增广矩陈被左乘一系列倍加矩阵 变成上三角形矩阵 即 此式称为高斯消去法的矩阵形式 由此显然 这说明 高斯消去法的消去过程 实质上是把系数矩阵分解为单位下三角矩阵与上三角矩阵的乘积 并且求解议程组的过程 回代过程就是求解上三角形方程组 矩阵和也可直接算出 事实上 比较等式两边等行 第列元素可知 注意是单位下三角矩阵 便知 从而 同样 因为上三角阵 知 可见 公式 2 2 和 2 3 就是计算和各元素的计算公式 实际计算时的对角元不必存放 和中肯定为零的元素也不必存放 因此的可共同存放在增广矩阵的位置 此时公式 2 2 2 3 表明 或都是原始矩阵对应元素 减去同行左边的元素与同列上边的元素乘积 只是对的元素 然后需除以的对角元 计算顺序 通常先算的第行 再算的第列 也可先算的第列 再算的第行 如图2 1所示 图2 1计算顺序 例2 1分解 并解方程组 其中 解按计算公式 2 2 和 2 3 详细计算过程如下 下文不再写出 从而 回代 解方程组 得 分解且为单位下三角阵 为上三角阵 称为杜里特尔Dolittlse 分解 利用杜里特尔分解求解方程组或 相当于解两个三角形方程组 解下三角方程组可以在分解时同时完成 如例2 1 也可独立完成 这是因为 把写成分量形式 就是 由此可见 用杜里特尔分解求解方程组 2 1 所需乘除次数与高斯消去法完全一样 其中分解需次 解需次 解需次 共计次 它们都是单位下三角矩阵 即对角全为1 对角线上方元素全为零的矩阵 因此不选主元的高斯消去过程 实质是增广矩阵被左乘一系列倍加矩阵 变成上三角形矩阵 即此式称为高斯消去法的矩阵形式 由此显然注意是将单位矩阵 三角分解法常用于求解系数矩阵都是的若干方程式组 这是因为 一旦完成分解 只需再解个三角形方程组 解这种三角形方程组每组只需次乘除法 远比重复使用高斯消去法节省工作量 为保证三角分解顺序 稳定进行 与高斯消去法一样 也可选 主元 常用列主元法 克洛特分解法 当矩阵可作杜里特尔分解时 令为对角元构 成的对角阵 则 再算第行 或者先算第行 再算第列 如图2 2所示 克洛特分解法的用法及运算量与杜里特尔分解法相同 例2 2用克洛特分解法求解方程组 解 得 解 得解 解毕 为保证克洛特分解法顺利 稳定进行 也可采用列主元法 求解步骤如下 对做 计算结束时的第列就是解注意 例2 2中系数矩阵对称 此时就是各列除以对角元所得矩阵的转置矩阵 一般来说对称且可作克洛特分解 记的对角元构成的对角阵为 各列除以对角元构成的单位下三角矩阵为 则 可见 说明都是各列除以对角元所得矩阵的转置矩阵 说明对称矩阵可分解为或 因此可由直接求出 而不必再按公式 2 4 第二式重复计算 这样分解可以节省次乘法 即节约大约一半的运算量 也可不存储 2 2 3追赶法追赶法适于求解对角方程组 这里 其实质是高斯消去法 三角分解法的应用 事实上 将作克特分解 则易知 回代得 按照这些公式次数求解的方法就称追赶法 其中算称追 回代称赶 共需乘除法次数为 远比一般方程组的高斯消去法或三角分解法节省运算量 实际问题提出的三对角方程组往往严格对角占优 因此不用选主元 就可保证顺利 稳定进行 2 2 4平方根法 平方根法适于求解对称正定的方程组 此时的各阶顺序主子式 保证了主元大于零 保证了可作克特分解而且的对角元 也就是主元 全为正数 所以令 则 再记为 则上式表明 对称正定矩阵可分解为 即下三角矩阵及其转置矩阵的乘积 利用比较法可得元素计算公式 利用这种分解方程组称为平方根法或乔列斯基 cholesky 分解法 跟前种分解法一样 求解下三角方程组可在分解的同时进行 例2 3用平方根法求解例2 2方程组 解 故知 解 解毕 平方根法求解方程组
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