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文档简介
一 利用直角坐标计算二重积分二 利用极坐标计算二重积分 三 小结 第二节二重积分的计算 如果积分区域为 其中函数 在区间上连续 一 利用直角坐标系计算二重积分 X 型 X 型区域的特点 穿过区域且垂直于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 应用计算 平行截面面积为已知的立体求体积 的方法 得 先积一条线 后扫积分域 如果积分区域为 Y 型 Y 型区域的特点 穿过区域且垂直于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 为计算方便 可选择积分序 必要时还可以交换积分序 若积分域较复杂 可将它分成若干 X 型域或Y 型域 则 解 例2 计算 其中D是抛物线 所围成的闭区域 解 为计算简便 先对x后对y积分 及直线 则 例3 计算 其中D是直线 所围成的闭区域 解 由被积函数可知 因此取D为X 型域 先对x积分不行 注 若被积函数为一元函数 缺哪个变量就对该变量先积分 A 解 积分区域如图 解 积分区域如图 解 原式 解 o x y 解 曲面围成的立体如图 例10 求两个底圆半径为R的直交圆柱面所围的立体体积 解 设两个直圆柱方程为 利用对称性 考虑第一卦限部分 其曲顶柱体的顶为 则所求体积为 二重积分化为二次积分计算步骤及注意事项 画出积分域 确定积分序 写出积分限 计算要简便 积分域分块要少 累次积分好算为妙 先积一条线 后扫积分域 充分利用对称性 二 利用极坐标系计算二重积分 二重积分化为二次积分的公式 区域特征如图 二重积分化为二次积分的公式 区域特征如图 极坐标系下区域的面积 二重积分化为二次积分的公式 区域特征如图 0 法二 积分区域关于x轴对称 解 解 注 利用例5可得到一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式 事实上 当D为R2时 利用例5的结果 得 故 式成立 解 解 解 二重积分在直角坐标下的计算公式 在积分中要正确选择积分次序 三 小结 二重积分在极坐标下的计算公式
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