工程绘图第二章课件.ppt

1 第二章随机变量及其分布 在第一章 我们用字母A B C 表示事件 并视之为样本空间S的子集 针对等可能概型 主要研究了用排列组合手段计算事件的概率 本章 将利用随机变量表示事件 以便于采用高等数学的方法描述 进而研究随机现象 2 本节主要学习随机变量的概念 要点是 熟悉 学会用随机变量表示随机事件 2随机变量 3 概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的 为了 更方便有力的研究随机现象 就要用数学分析的方法来研究 就需将任意的随机事件数量化 当把一些非数量表示的随机 事件用数字来表示时 就建立起了随机变量的概念 引例设一箱中有球4个 其中有2个红球 2个白球 从中任意抽取2个 观察抽到球的颜色 样本空间S 红1红2 红1白1 红1白2 红2白1 红2白2 白1白2 非数量 将S数量化 可采用下列方法 用X表示抽得的红球数 则 2 1 1 1 1 0 X建立起了一种S到数集 0 1 2 之间的对应 4 Randomvariable 意义 将试验结果数量化了 试验结果与数建立了对应关系 常用大写字母X Y等表示之 1 数学定义 设E是一个随机试验 其样本空间S e 如果对每一个样本点e S 总存在一个实数X e 与之对应 则得到一个从样本空间S到实数集R的单值实函数X X e 我们称X为E的一个随机变量 简记为R v X 某电话总机在一分钟内收到的呼叫次数X1 某灯泡厂所产的一批灯泡中灯泡的寿命X2 X1的可能取值为0 1 2 3 X2的可能取值为x 0 随机变量在我们的周围比比皆是 例如 注意 这些实验都已非古典概型了 5 几点说明 随机变量不同于普通的函数 1 随机变量的定义域不一定是数集 2 随机变量的取值具备随机性 定义域是S 随机变量的两个特征 研究随机变量两个焦点问题 它可能取哪些值 它取这些值的概率各是多少 1 它是一个变量 2 它的取值具有一定的概率 6 2 用随机变量表示事件 若X是实验E的一个随机变量 那么 X 1 X a a X b X a b 及 X 2k k N 等都表示E中的事件 反之 E中的事件通常都可以以X的取值形式表示出来 如 掷一枚骰子一次 用X表示出现的点数 中 事件的关系与运算举例 类似于 b a a b 出现的点数小4 X 4 等 若a b 则 X a X b X b X a a X b X b X b X b 等等 7 X的可能取值为0 1 2 例1设有一箱球6个 其中有2个红球 4个白球 从中任意抽取2个 用X表示抽得的红球数 试问X的可能取值以及取这些值的概率分别是多少 解 它取这些值的概率分别为何 也即P X 0 P X 1 P X 2 P X 0 P 抽得的两个球全是白球 P X 1 P X 2 8 2离散型随机变量及其分布律 本节主要学习离散型随机变量的相关基本概念 要点是 熟悉离散型随机变量及其分布律的相关基本知识 熟悉二项分布和泊松分布 9 1 定义 如果随机变量X的所有可能的取值是有限多个或可列无限多个 则称X为离散型随机变量 可简记为D R v X DiscreteR v 一 基本概念 又设X的可能取值是x1 x2 xk 若有 P X xk pk k 1 2 称此通式为X的概率分布 也称分布律 说明 D R v X的分布律更直观地表达了X的可能取值以及取各个值的概率分布情况 也简称D R v 的分布 分布律的常见形式 除公式法 如定义中所用 外 还有更为形象的表格法如下 尤为适合X只有有限多个可能取值的情况 2 性质 1 pk 0 k 1 2 2 pk 1 这是最基本的特性 见P31行16 10 3 求分布举例 例1设有一批产品20件 其中有3件次品 从中任意抽取2件 如果用X表示抽得的次品数 求随机变量X的分布律 分布函数及事件 至少抽得一件次品 的概率 解 X的可能取值为0 1 2 P 抽得的两件全为正品 P X 0 P X 1 P X 2 故X的分布律为 能自我检验否 11 二 几种常见的重要分布 则称X服从参数为p的 0 1 分布或二点分布 记为X 0 1 分布 背景 样本空间只有两个样本点的情况 定义 若随机变量X的分布律为 1 0 1分布 二点分布 如 抛硬币一次 X表示正面朝上的次数 检验一件产品是否合格 X表示合格品的件数 12 2 二项分布 定义 若随机变量X的分布律为 其中0 p 1 则称X服从参数为n p的二项分布 也称伯努利 Bernoulli 分布 记为X b n p 特别当n 1时 二项分布即为 0 1 分布 可以证明 P33 1 P X k 0 2 背景 n重伯努利 Bernoulli 试验 结论 证明见P33 若记X为事件A发生的总次数 X的分布律 将试验E重复进行n次 若各次试验的结果互不影响 且试验E只有两个可能结果 A及则称这n次试验是伯努利 Bernoulli 试验 13 解 依题意 有放回地抽取5件 可视为5重贝努利实验 记X为共抽到的次品数 则 所求为P X 2 显然 用上一章学的方法能做此题 可以想象 当n较大时 pk的计算量是很大的 例2从一批由9件正品 3件次品组成的产品中 有放回地抽取5件 每次抽一件 求恰好抽到两件次品的概率 A 一次实验中抽到次品 P A 3 12 p 1 4 14 3 泊松分布 定义 若R v X的分布律为 其中 0 则称X服从参数为 的泊松分布 Poisson 2 如何验证 pk 1 还记得函数ex的泰勒展开式吗 记为X 显然1 pk 0 15 特点 它是二项分布的极限形式 泊松定理 P36 略 实际应用中 当n 20 p 0 05时 即可用近似公式 有Poisson分布表可查用 其中 np 泊松分布表 P302 了解即可 背景 可以证明 实际问题中若干R v X是服从或近似服从Poisson分布的 例如 某服务台在某时间段内接待的服务次数X 某地区在某时间段内出现故障的次数Y 大量试验中稀有事件出现的频数 16 3随机变量的分布函数 本节主要学习分布函数的概念 要点是 理解概念 熟悉离散型随机变量分布函数的求法 17 1 分布函数的定义 P X x F x 为一个定义域为R 值域为 0 1 的函数 注意 任何一个随机变量都有一个分布函数 2 F x 是一个普通的函数哟 称之为随机变量X的分布函数 设X为一随机变量 则对每一个实数x X x 都是一个随机事件 进而 18 例1已知随机变量X的可能取值为1和2 且 试求X的分布函数F x 解 综上 19 2 分布函数的性质 F x 是一个单调不减函数 0 F x 1 且F 0 F 1 F x 0 F x 即F x 是右连续的 3 实际意义 F x 在一定程度上反映了R v X的取值概率的分布规律 函数F x 的值 大小等于X落于区间 x 上的概率值 故 20 解 P X 4 1 P X 4 1 F 4 P 3 X 5 P X 5 P X 3 F 5 0 F 3 如果已知F x 则可以求事件的概率 21 本次课小结 随机变量 一种取值具有一定的概率的变量 建立了实验结果与数对应关系 使实验结果数量