工程力学华中科大课件-4变形体静力学基础.ppt

1 4 6一点的应力和应变 4 7变形体静力学分析 4 1变形固体的力学分析方法 4 2基本假设 4 3内力 截面法 4 4杆件的基本变形 4 5杆的轴向拉伸和压缩 第四章变形体静力学基础 返回主目录 4 8应力集中的概念 2 前一章 将物体视为刚体 讨论其平衡 事实上 总有变形发生 还可能破坏 本章讨论的研究对象是变形体 属于固体力学的范畴 不再接受刚体假设 以变形体为研究对象的固体力学研究基本方法 包括下述三个方面的研究 1 力和平衡条件的研究 2 变形几何协调条件的研究 3 力与变形之关系的研究 先以一个例子说明方法 第四章变形体静力学基础 4 1变形固体的力学分析方法 3 例1长2L的木板由二个弹性常数为k 自由长度为h的拉压弹簧支承 若有一人从板中央向一端缓慢行走 试求板与地面刚刚接触时 人所走过的距离x 解 设人重为W 板重不计讨论板与地面刚接触的临界状态 板受力如图 1 力的平衡条件 由平衡方程有 Fy FB FA W 0 MA F 2aFB x a W 0 二个平衡方程 三个未知量 x FA FB 不可解 需考虑变形 板可作刚体处理 只考虑弹簧的变形 4 弹簧A B的变形为 A hA h 受拉伸长 4 及 B h hB 受压缩短 5 2 变形几何协调条件 刚性板保持为直板 二弹簧变形后应满足的几何条件是 3 力与变形间的物理关系 对于弹簧 力与变形间的关系为 FA k A 6 及FB k B 7 hB hA L a L a x 0 3 5 综合考虑平衡条件 变形几何关系 物理关系后 得到七个方程 可求出FA FB A B hA hB x等全部未知量 将x代入平衡方程 即可求得FA FB 6 各有关参数的影响 弹簧自由长度h越大 弹簧刚度k越大 人的体重W越小 可以走过的距离x越大 x之值与a2成正比 与板长L成反比 结果讨论与分析一 正确性条件 x 0 否则变形几何条件 3 不适用 h W 2k 特例 当L 2hk W 1 a时 x a 即在某特定板长下 人走到B处板即触地 7 b 结果讨论与分析二 x a时 A 0 弹簧A变形如图 是伸长 B 0 弹簧B变形与假设一致 受压 且x B x a时 A 0 弹簧A受压 FA指向与图中相反 特例 x a时 A 0 FA 0 人重由弹簧B承担 研究性思维 问题和结果的物理意义 几何意义 正确性条件 各因素对结果的影响趋势等 8 研究重点是变形体的内力 变形及力与变形之关系 研究变形体力学问题的主线是 力的平衡 返回主目录 9 固体力学的研究对象是可变形固体 变形与材料有关 为研究方便 采用下述假设 4 2基本假设 返回主目录 10 3 小变形假设 相对于其原有尺寸而言 变形后尺寸改变的影响可以忽略不计 在分析力的平衡时用原来的几何尺寸计算而不引入大的误差 上述假设 建立了一个最简单的可变形固体的理想化模型 随着研究的深入 再逐步放松上述假设的限制 如在后续课程中逐步讨论各向异性问题 大变形问题 含缺陷或裂隙等不连续介质的问题等等 返回主目录 11 物体内部某一部分与相邻部分间的相互作用力 必须截开物体 内力才能显示 内力分布在截面上 向截面形心简化 内力一般可表示为六个 由平衡方程确定 处于平衡状态的物体 其任一部分也必然处于平衡状态 1 内力 沿C截面将物体截开 A部分在外力作用下能保持平衡 是因为受到B部分的约束 B限制了A部分物体在空间中相对于B的任何运动 截面有三个反力 三个反力偶 4 3内力 截面法 返回主目录 12 若外力在同一平面内 截面内力只有三个分量 即 轴力FN作用于截面法向 剪力FS作用于截面切向 弯矩M使物体发生弯曲 若外力在轴线上 内力只有轴力 13 2 截面法 无论以截面左端或右端为研究对象 都应得到相同的截面内力 因为 二部分上作用的内力互为作用力与反作用力 适当的符号规定可保证其一致性 用假想截面将物体截开 揭示并由平衡方程确定截面上内力的方法 截面法求解内力的步骤为 求约束反力 注意 所讨论的是变形体 故在截取研究对象之前 力和力偶都不可像讨论刚体时那样随意移动 14 例2求图中1 2 3截面内力 解 1 求约束反力 由整体有FBx F 2 FAy F FAx F 2 截面2 FN2 FACcos45 F FS2 FACsin45 FM2 FACcos45 x F x 截面3 FN3 0 FS3 FBx FCD F 2 M3 FBx a y FCDy F y a 2 15 例3作图示拉压杆的内力图 2 求各截面内力 轴力 截面法 平衡方程 3 画内力图 解 1 求约束反力 FA 8 2 5 5kN 16 例4截面积为A的等直杆 单位体积重量为 求杆在自重作用下的内力 解 考虑任一距O点为x的横截面上的内力 受力如图 重力为W Ax 由平衡方程得 FN W Ax 绘出轴力图 可见 A截面处内力FN AL 最大 17 2 柱截面内力 1 截面1内力 3 作内力图 问题讨论 返回主目录 18 杆件 某一方向尺寸远大于其它方向尺寸的构件 直杆 杆件的轴线为直线 最一般情况 截面内力有六个分量 轴向拉压 内力为轴力 如拉 撑 活塞杆 钢缆 柱 扭转 内力为扭矩 如各种传动轴等 轴 弯曲 内力为弯矩 如桥梁 房梁 地板等 梁 基本变形 4 4杆件的基本变形 返回主目录 19 得到最简单的物理关系 Hooke定律 E 注意 关系与试件几何 L A 无关 先考查杆承受轴向拉伸时力与变形之关系 A3 A1 A2 L1 L2 L3 4 5杆的轴向拉伸和压缩 返回主目录 20 是材料的一种应力 应变关系模型 称为线性弹性应力 应变 物理 关系模型 轴向拉压杆的应力 应变 和变形 L可表达为 EA是抗拉刚度 反映材料抵抗拉压变形的能力 E 21 EA是抗拉刚度 反映材料抵抗拉压变形的能力 N L E A改变 则须分段计算 轴向拉压杆变形分析汇总 求轴力FN 22 2 求各段应力 AB FNAB A1 40 103N 320 10 6 m2 125 106Pa 125MPa BC FNBC A2 40 103 800 10 6 50MPa CD FNCD A2 48 103 800 10 6 60MPa 解 1 求内力 轴力 例4 7杆AB段为钢制 横截面积A1 320mm2 BD段为铜 A2 800mm2 E钢 210GPa E铜 100GPa l 400mm 求杆各段的应力 应变和总伸长量 AD 画轴力图 23 4 杆的总伸长为 lAD lAB lBC lCD 0 68mm 2 求各段应变 eAB sAB E钢 125 210 103 0 6 10 3 3 求各段伸长 注意 l el sl E FNl AE lAB eABlAB 0 6 10 3 400mm 0 24mm lBC eBClBC 0 2mm lCD eCDlCD 0 24mm eBC sBC E铜 50 100 103 0 5 10 3eCD sCD E铜 0 6 10 3 24 讨论 杆受力如图 BC段截面积为A AB段截面积为2A 材料弹性模量为E 欲使截面D位移为零 F2应为多大 解 画轴力图 有 D lAD lAB lBD FNABl E 2A FNBDl EA 注意 固定端A处位移为零 25 再见 请认真思考 讨论思考题 习题 4 1 a d f 4 2 b 4 5 4 7 返回主目录 26 前节回顾 研究变形体力学问题的主线是 求约束反力 返回主目录 27 EA是抗拉刚度 反映材料抵抗拉压变形的能力 N L E A改变 则须分段计算 28 一 应力内力连续分布在截面上 截面法确定的是内力的合力 T是矢量 法向分量 称正应力 切向分量 称剪应力 29 注意 一般情况下 内力非均匀分布 截面各点应力不同 2 轴向拉压杆横截面上的应力 截面上只有轴力 故应力为正应力 变形沿轴向是均匀的 故 在横截面上均匀分布 因为s const 故有 30 3 一点的应力状态 单向拉压杆横截面上只有正应力 故A点的应力状态可用由横截面 水平面截取的微小单元体上的应力描述 是单向应力状态 一点的应力状态用围绕该点截取的微小单元体上的应力来描述 单元体尺寸微小 各面上的应力可认为是均匀的 由定义有 故可知 一点的应力与过该点之截面的取向有关 31 设s已知 A点在法向与轴线夹角 之截面上应力为 斜截面上的应力 Fx dx sin 1 cos 注意式中各项是力的投影分量 由单位厚度微元力的平衡条件可得 dx sin 1 sin dx tg 1 0 Fy dx sin 1 sin dx sin 1 cos 0 cosa 32 0时 0 横截面上正应力最大 求得A点在与轴线夹角为 之截面上的应力为 1 cos2 2 sin2 2 如 铸铁试样受压时 45 斜截面上的应力 和 为 2 2铸铁抗压能力远大于抗剪或抗拉能力 故实验时先发生与轴线大约成45 剪切破坏 可见 拉压杆斜截面上有正应力和剪应力 45 时 2 2 45 斜截面上剪应力最大 且 max 2 33 对于单向拉 压杆 任一点A的应力状态为 只要确定了一种单元体取向时各微面上的应力 即可求得该点在其他任意取向之截面上的应力 结论 1 应力是矢量 2 一点的应力与过该点的截面取向有关 3 可以用微小单元体各面上的应力描述一点的应力状态 34 变形 物体受力后几何形状或尺寸的改变 用应变表示 如拉压杆 应变 l l0 与几何尺寸无关 一点的应变可由考查该点附近小单元体的变形而定义 变形包括单元体尺寸和形状二种改变 线应变 剪应变 分别与s t的作用相对应 二 应变 返回主目录 35 再论利用力的平衡 变形几何协调及力与变形间的关系 分析变形体静力学问题的基本方法 例4 9图中BD杆直径d 25mm CD杆为30 80mm矩形截面 弹性模量E 200GPa 求D点的位移 4 7变形体静力学分析 返回主目录 36 由力与变形间的物理关系知各杆变形为 lBD FNBDlBD E d2 4 1 344 10 3m lCD FNCDlCD EACD 0 1375 10 3m 故变形后D点的位移为 水平位移 u DD2 lCD 0 137mm 垂直位移 v D2H HD DD1 cosa DD2 lBD lCD 2 038mm 3 变形几何协调条件 求位移 变形后D点应移至以B C为圆心 以杆变形后的长度为半径的二圆弧交点D 处 变形量与原尺寸相比很小 用切线代替圆弧 几何关系如放大图 37 静定问题 二个物体 6个平衡方程三处铰链 6个约束力问题是静定的 变形体力学静定问题的求解方法为 38 求出内力后 应力 变形和位移显然不难求得 39 静不定结构可减小构件内力 增加刚度 减小变形 若去掉杆1 成为静定结构 则 F2 3F 2 FAy F 2 3个物体 9个平衡方程 5处铰链 10个约束反力问题是一次静不定的 静不定问题 反力 内力 应力均与材料有关 40 解 温度升高时 杆BC要伸长 二端约束限制伸长 引起约束反力 约束反力作用的结果是使杆在轴向受压缩短 故二端约束力如图 无外力作用时 温度变化在静不定构件内引起的应力 轴力FN F 故杆的缩短为 LR FL EA 温度应力 41 约束使杆长不变 必有 LT LR 3 变形几何协调条件 即 T L FL EA 故得到二端约束反力为 F T EA杆内的应力 压应力 为 F A T E 42 由于尺寸误差而强迫装配时 在结构内引入的应力 解 强迫安装时 杆2受拉伸长 杆1 3受压缩短 装配应力 43 3 力与变形的关系 1 F1L EA 2 F2L EA即有 F1L EA F2L EA 注意F2 2F1解得 F1 EA 3L 压力 F2 2 EA 3L 拉力 各杆应力为 1 F1 A E 3L 0 5 10 3 200 109 3 1 33 3 106Pa 33 3MPa 压应力 2 N2 A 2 E 3L 66 7MPa 拉应力 44 静定和静不定问题解题方法的同异 基本方程都是平衡方程 物理方程和几何方程 返回主目录 45 沿aa上各点测得的应变如图 非均匀分布 孔边 max 由虎克定律 应力分布也非均匀 孔边最大应力为 max kt ave max1 称为弹性应力集中系数 4 8应力集中的概念 返回主目录 46 应力集中 max kt ave构件几何形状改变的局部出现应力增大的现象 应力集中发生在截面几何发生突然改变