《不等式证明方法》PPT课件.ppt

不等式的证明 天马行空官方博客 例1 已知a 0 b 0 求证 a3 b3 a2b ab2 课本P12例3 即a3 b3 a2b ab2 证明一 比较法 作差 a3 b3 a2b ab2 a3 a2b b3 ab2 a2 a b b2 b a a 0 b 0 a b 2 a b 0 故 a3 b3 a2b ab2 0 a b 0 而 a b 2 0 a b 2 a b a b a2 b2 天马行空官方博客 故a3 b3 a2b ab2 证明二 比较法 作商 a2 b2 2ab 又a 0 b 0 所以ab 0 所以有a3 b3 a2b ab2 证明三 分析法 欲证a3 b3 a2b ab2 只需证明 a b a2 b2 ab ab a b 由于a 0 b 0 所以a b 0 故只要证明a2 b2 ab ab即可 即证明a2 b2 2ab 而a2 b2 2ab显然是成立的 天马行空官方博客 即a3 b3 a2b ab2 证明四 综合法 a2 b2 2ab a2 b2 ab ab 又 a 0 b 0 a b 0 故 a b a2 b2 ab ab a b 天马行空官方博客 例2 已知a 0 b 0 求证 证明一 比较法 作差 天马行空官方博客 证明二 比较法 作商 而a 0 b 0 所以a b 0 证明四 综合法 a1 a2 a3 an b1 b2 b3 bn a1bn a2bn 1 an 1b2 anb1 a1b2 a2b3 an 1bn anb1 则a1b1 a2b2 a3b3 anbn 例3 求证 ac bd 2 a2 b2 c2 d2 证明一 比较法 ac bd 2 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 a2 b2 c2 d2 2abcd a2d2 b2c2 a2c2 b2d2 2abcd a2c2 b2d2 a2d2 b2c2 ad bc 2 0 证明二 分析法 证明三 综合法 一般地 对任意实数ai bi i 1 2 3 n 都有 a12 a22 an2 b12 b22 bn2 a1b1 a2b2 anbn 2 柯西不等式 例4 设 1 a 1 1 b 1 求证 证明一 比较法 作差 1 a 1 1 b 1 a b 2 0 a b 2 1 ab 0 1 ab 0 1 a2 0 1 b2 0 1 ab 0 所以 1 a2 1 b2 1 ab 0 证明二 分析法 证明三 综合法 a2 b2 2ab a2 b2 2ab 从而0 1 a2b2 a2 b2 1 a2b2 2ab 1 ab 2 1 ab 0 证明四 换元法 设a sin b sin 则 思考 2 2ab 2a2b2 2 1 ab a2b2 例5 设a 0 b 0 且a b 1 求证 证明一 分析法 4a 1 4b 1 9 16ab 4a 4b 1 9 证明二 综合法 因为a 0 b 0 且a b 1 所以 从而 例6 已知m 0 求证 m 3 证明一 比较法 m 3 m 3 证明二 综合法 m 证明三 函数思想 设f x x 则f x 1 令f x 0 得 x 2 当02时 f x 0 所以当x 2时 f x 取到最大值3 故当m 0时 有m 3 3 已知二次函数f x