近世代数课件-4.2.唯一分解环.ppt

2 唯一分解环 2 1定义与例子2 2等价条件2 3典型分解2 4最大公因子与互素 2 1定义与例子 由于上一节的例我们知道 在一个整环里唯一分解定理未必成立 但是我们也知道 在有些整环里 比方说整数环里 这个定理是成立的 例1 举正反例子 例2 在唯一分解环 每一个非零元a的因子 在相伴的意义下只有有限多个 证明 1 如果a是单位 那么 a的因子只有单位 所有单位都相伴的 因此 a的因子 在相伴的意义下只有一个 2 如果a不是单位 a可以分解 a的因子只有下面的形式 不相伴因子总数不超过个 说明 不同类因子不相伴 同类因子可能相伴 一个唯一分解环有下面重要性质 注 在一个非唯一分解环 一个非零元a的因子 可以有无穷多个不相伴的 吴品三 p181 证明 能够整除 1 当之中有一个是零或是单位的时候 定理也是对的 若 那么 若是单位 那么 2 和都不是零元 也都不是单位 这时c显然不等于零 我们说c又不是一个单位 不然的话 而由 1定理2 是素元 这就是说 素元可以写成两个非单位的乘积 因而有真因子 这是矛盾 c既不是零又不是单位 由唯一分解环的定义 由唯一分解的定义 一定是某一个或某一个的相伴元 若是某一个的相伴元 那么 同样若是某一个的相伴元 那么 2 2等价条件 性质 的重要性由以下定理可以看出 证明 我们看的一个不等于零也不是单位的元 由性质 有一个分解 我们须要证明 有唯一分解 就是说 假定我们也有 那么 并且我们可以把这些的次序掉换一下 使得是的相伴元 我们对素因子的个数r 应用第二型归纳法 2 假如 定理对能写成个素元的乘积的元都成立 即都有唯一分解 在这个假定之下 我们看一个元的两种分解 由性质 能够整除某一个 把的次序换一换 我们可以假定 但是素元 不是单位 所以 这样 这里b是个素元的乘积 所以依照归纳法假定 而且我们可以把的次序掉换一下 使得 注由定理1 2 我们也可以用条件 来作唯一分解的定义 2 3典型分解 2 4最大公因子与互素 定义2 公因子 元叫做元的公因子 假如c同时能够整除 定义3 最大公因子 元叫做的最大公因子 假如 1 元是元的公因子 2 的每一个公因子也是的因子 例2 整环中 两个元的最大公因子不一定存在 唯一分解环的另一重要性质是最大公因子的存在 定理3一个唯一分解环的两个元和b在里一定有最大公因子 和b的两个最大公因子d和只能差一个单位因子 证明 若之中有一个是零 比方说 那么b显然是一个最大公因子 若是之中一个单位 比方说是单位 那么显然是最大公因子 首先在Z中介绍一个例子 现在看和b都不是零也不是单位是的情形 适当改变典型分解的形式 可以得到 用来表示与中较小的一个 的时候就叫 而作元 那么显然 进一步 可以证明d是最大公因子 假定也是和b的最大公因子 那么 当且仅当 证完 从这个定理用归纳法立刻可以得到 推论一个唯一分解环的n个元在里一定有最大公因子 的两个最大公因子只能差一个单位因子 这样 若是几个元的某一个最大公因子是一个单位 这几个元的任何一个最大公因子也是一个单位 利用这一件事实 我们可以在一个唯一分解环里规定互素这一个概念 定义4我们说 一个唯一分解环的院互素 假如它们的最大公因子是单位