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第2章离散时间信号和离散时间系统 赵越2013 2 2copyright 赵越ise zhaoy1 2 1前言 信号可以定义为一个载有信息的函数 一般表示为一个或多个自变量的函数 例如 语音信号 时间的函数 静止图像 两个空间变量的亮度函数 3copyright 赵越ise zhaoy1 连续时间信号 信号在整个连续时间集合上都是有定义的 离散时间信号 定义在离散时间点上的信号 模拟信号 时间连续 幅度也连续的信号 数字信号 时间离散 幅度也离散的信号 幅度都可以是连续的 也可以是离散的 4copyright 赵越ise zhaoy1 常见信号处理包括 将组合在一起的两个或多个信号分开 增强信号的某一分量或参数 估计信号的一个或几个参数 连续时间系统 输入和输出都是连续时间信号的系统 离散时间系统 输入和输出都是离散时间信号的系统 处理信号的系统分类与信号的分类是相对应的 5copyright 赵越ise zhaoy1 2 2离散时间信号 数字序列 在离散时间系统中 信号要用离散时间的数字序列来表示 如果将一个数字序列的第个数字表示为 为整数 表示离散时间 那么离散时间信号可简单表示为 只有当为整数时 序列才有一定的数值 而对于非整数的 是没有定义的 6copyright 赵越ise zhaoy1 一个离散时间信号还可以用一个矢量来表示 如 这也是MATLAB语言中采用的表示形式 7copyright 赵越ise zhaoy1 常用的几种离散时间信号的基本形式 1 单位取样序列 n 单位取样序列也可以称为单位冲激序列 特点是仅在n 0时取值为1 其它均为零 它类似于模拟信号系统中的单位冲激函数 t 单位取样序列和单位冲激信号如图所示 8copyright 赵越ise zhaoy1 单位取样序列 单位冲激信号 t 在t 0时 脉宽趋于零 幅度趋于无限大 面积为1 9copyright 赵越ise zhaoy1 10copyright 赵越ise zhaoy1 2 单位阶跃序列u n 它类似于模拟信号中的单位阶跃函数u t 11copyright 赵越ise zhaoy1 单位阶跃序列 12copyright 赵越ise zhaoy1 3 矩形序列RN n 矩形序列可用单位阶跃序列表示 如下式 RN n u n u n N 13copyright 赵越ise zhaoy1 矩形序列 RN n u n u n N 14copyright 赵越ise zhaoy1 4 实指数序列x n anu n a为实数 如果 a 1 则称为发散序列 其波形如下图所示 15copyright 赵越ise zhaoy1 实指数序列 16copyright 赵越ise zhaoy1 17copyright 赵越ise zhaoy1 5 复指数序列复指数序列定义为这里为数字域频率 单位为弧度 A是幅度 当时 上式可表示为 上式还可写成 A可以是实数或复数 当其为复数时称为复振幅 表示为则 影响序列幅度衰减的快慢 称为衰减因子 复振幅的幅角是初相 18copyright 赵越ise zhaoy1 补充 模拟频率和数字频率 数字频率 一个很重要却容易引起误解的参数 设有一个正弦波 式中 是幅度 是模拟角频率 单位为弧度 秒 是连续时间 单位为秒 正弦波的周期为 它的倒数是模拟频率 单位是赫兹 角频率和频率之间的关系是 以采样周期对正弦波取样 取样频率为 单位为赫兹 离散取样点 取样后得到的正弦序列为 19copyright 赵越ise zhaoy1 定义数字频率 则得到 与模拟正弦信号对比 正弦序列表达式中的与正弦波表达式中的 位置和作用类似 因此将 20copyright 赵越ise zhaoy1 又被称为归一化频率 将式和 带入式 得到数字频率的另外一种形式 这表明 数字频率是一个与取样频率有关的频率度量 即数字频率是模拟频率用取样频率归一化后的弧度数 因此 对一个正弦波进行取样 使用的取样频率不同 所得到的正弦序列的数字频率也不同 21copyright 赵越ise zhaoy1 上式还可以改写成 表示每秒对正弦波取样的点数 表示正弦波每秒周期性重复的次数 表示正弦波每个周期内取样点的数目 所以 是指每相邻两个取样点之间的相位差的弧度数 表示每秒对正弦波取样的点数 表示正弦波每秒周期性重复的次数 表示正弦波每个周期内取样点的数目 所以 是指每相邻两个取样点之间的相位差的弧度数 22copyright 赵越ise zhaoy1 23copyright 赵越ise zhaoy1 6 正弦型序列正弦型序列定义为式中 为幅度 为数字域频率它表示序列变化的快慢速率 为初相 的单位为弧度 正弦型序列是包络为正 余弦变化的序列 对模拟正 余弦信号采样可以得到正 余弦序列 24copyright 赵越ise zhaoy1 25copyright 赵越ise zhaoy1 对模拟正 余弦信号采样可以得到正 余弦序列 所以 思考 周期信号经等间隔采样后得到序列一定是周期序列 26copyright 赵越ise zhaoy1 则周期序列 周期为N 如果 对模拟周期信号采样后得到序列 未必是周期序列 例如 模拟正弦采样信号一般表示为 式中 是取样频率 是模拟周期信号频率 27copyright 赵越ise zhaoy1 可由以下条件判断是否为周期序列 1 为整数 则是周期序列 周期为 2 为整数 则是周期序列 周期为 3 为无理数 则不是周期序列 28copyright 赵越ise zhaoy1 7 斜变序列 斜变序列是包络为线性变化的序列 表示式为 29copyright 赵越ise zhaoy1 补充 序列的运算 30copyright 赵越ise zhaoy1 3 翻褶 折迭 如果有 则是以n 0为对称轴将x n 加以翻褶的序列 31copyright 赵越ise zhaoy1 32copyright 赵越ise zhaoy1 33copyright 赵越ise zhaoy1 5 累加设某一序列为x n 则x n 的累加序列y n 定义为即表示n以前的所有x n 的和 34copyright 赵越ise zhaoy1 6 差分前向差分 先左移后相减 后向差分 先右移后相减 35copyright 赵越ise zhaoy1 7 尺度变换 例m 2时 36copyright 赵越ise zhaoy1 其中m为正整数 扩展了m倍 序列每点加m 1个零值点形成的 即时间轴 是 例m 2时 37copyright 赵越ise zhaoy1 8 序列的能量x n 的能量定义为 38copyright 赵越ise zhaoy1 2 3离散时间系统 2 3 1线性非移变系统信号处理的目的之一是要把信号变换成人们需要的形式 离散时间系统与连续时间系统有相同的分类 如线性 非线性 时变 非时变等 运算关系满足不同条件 具有不同的性质 对应着不同的系统 各种离散时间系统 就是把输入序列变换成输出序列的系统 39copyright 赵越ise zhaoy1 一个有用的系统应当是一个对信号产生唯一变换的系统 因此 系统可定义为将输入序列映射为输出序列的唯一变换或运算 并用表示 即 对变换施加不同的约束条件 可定义出不同种类的离散时间系统 40copyright 赵越ise zhaoy1 满足叠加原理的系统称为线性系统 设y1 n 和y2 n 分别是系统对输入x1 n 和x2 n 的响应 即y1 n T x1 n y2 n T x2 n 若满足 T ax1 n bx2 n ay1 n by2 n 则此系统是线性系统 a和b均是常数 1 41copyright 赵越ise zhaoy1 例2 1证明所表示的系统不是线性系统 显然所以 此系统不是线性系统 证 42copyright 赵越ise zhaoy1 非移变系统 如果系统对输入信号的运算关系T 在整个运算过程中不随时间变化 或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关 则这种系统称为非移变系统 用公式表示如下 这意味着 当输入信号沿自变量轴移动任意距离时 其输出也跟着移动同样的距离 y n T x n y n k T x n k 2 43copyright 赵越ise zhaoy1 说明 在表示离散时间的情况下 非移变 特性就是 非时变 时不变 特性 44copyright 赵越ise zhaoy1 例2 2证明不是非移变系统 由于和 所以故此系统不是非移变系统 证 45copyright 赵越ise zhaoy1 这类系统的一个重要特性 它的输入与输出序列之间存在着线性卷积关系 一个既能满足叠加原理 又满足非移变条件的系统 被称为线性非移变 时不变 系统 简写为LTI离散系统 46copyright 赵越ise zhaoy1 设系统的输入x n n 系统输出y n 的初始状态为零 定义这种条件下系统输出称为系统的单位冲激 取样 响应 用h n 表示 推导 用公式表示为y n h n T n h n 和模拟系统中的h t 单位冲激响应相类似 都代表系统的时域特征 换句话说 单位冲激响应即是系统对于 n 的零状态响应 47copyright 赵越ise zhaoy1 显然 这是因为只有时 因而所以上式成立 利用单位冲激序列的定义和序列延迟的概念 可以写出任意序列x n 的一般表示式 以上表明 任意序列都可以表示为加权 延迟的单位冲激序列之和 48copyright 赵越ise zhaoy1 通常把上式称为离散卷积或线性卷积 设系统的任意输入用x n 表示 则系统输出表示为 卷积形式 49copyright 赵越ise zhaoy1 这意味着 任何线性时不变系统都可以用其单位冲激响应来表征 而且系统的输入和输出之间满足线性卷积关系 常用符号 表示 即 50copyright 赵越ise zhaoy1 卷积积分的物理意义 51copyright 赵越ise zhaoy1 卷积的性质 1 交换律 卷积的代数定律 52copyright 赵越ise zhaoy1 分配律用于系统分析 相当于并联系统的冲激响应 等于组成并联系统的各子系统冲激响应之和 2 分配律 53copyright 赵越ise zhaoy1 结合律用于系统分析 相当于串联系统的冲激响应 等于组成串联系统的各子系统冲激响应的卷积 3 结合律 54copyright 赵越ise zhaoy1 卷积的步骤 1 折叠 先在坐标轴上画出和 将以纵坐标为对称轴折叠成 2 移位 将移位 得到 当为正数时 右移 当为负数时 左移 3 相乘 将和的对应取样值相乘 4 相加 把所有的乘积累加起来 即得到 55copyright 赵越ise zhaoy1 和的卷积和图解 56copyright 赵越ise zhaoy1 2 3 2系统的稳定性和因果性 只要输入是有界的 输出必定是有界的系统称为稳定系统 所谓有界是指在任何时刻都是有限值 即 例如 对于线性时不变系统而言 稳定的充分必要条件是系统的单位冲激响应绝对可和 用公式表示为 就不是有界的 在任何时刻都小于2 所以是有界的 57copyright 赵越ise zhaoy1 设公式成立 而为一有界输入序列 且 为一常数 则对于线性时不变系统 证明 1 充分性 即系统输出有界 故原条件是充分条件 58copyright 赵越ise zhaoy1 2 必要性利用反证法 假设公式不成立 即则对下式定义的有界输入序列系统在时刻的输出为显然输出是无界的 这不符合稳定的条件 因此假设不成立 所以是系统稳定的必要条件 59copyright 赵越ise zhaoy1 因果系统的输出值取决于现时的和过去的输入 相反 如果系统输出不仅取决于现时的和过去的输入而且还取决于将来的输入 这就在时间上违反了因果律 因而它是非因果系统 因果性是系统的另一个重要特性 所谓因果系统是指输出不能先于输入的系统 4 60copyright 赵越ise zhaoy1 一个线性非移变系统为因果系统的充分必要条件是必须指出 非因果系统在理论上是存在的 物理上可实现的系统不可能在某个输入作用之前就有预感并提前响应 所以非因果系统又称为不可实现系统 61copyright 赵越ise zhaoy1 例2 5已知一个线性非移变系统的单位取样响应为讨论其因果性和稳定性 因为在时 故该系统为非因果系统 解1 因果性 62copyright 赵越ise zhaoy1 由式 所以时该系统稳定 时该系统不稳定 2 稳定性 63copyright 赵越ise zhaoy1 64copyright 赵越ise zhaoy1 引入单位延迟算子 即于是 差分方程是由函数序列的差分来表示的 一个函数序列的一阶向后差分表示为 二阶向后差分表示为 因此有 65copyright 赵越ise zhaoy1 二阶向后差分可用表示 类似的 阶差分表示为 因此按二项式定理将展开后 便可得到阶差分的表示式 66copyright 赵越ise zhaoy1 这就是一个二阶线性常系数差分方程 将代入上式 得到 差分方程的阶数等于未知序列变量最高序号与最低序号之差 差分方程是描述函数序列差分之间关系的方程 例如 对于一个二阶差分方程 展开后得 67copyright 赵越ise zhaoy1 上式说明 系统在某时刻的输出值不仅与该时刻的输入 过去时刻的输入 等有关 还与过去时刻的输出值 等有关 线性常系数差分方程的一般形式为 方程稍加变换得 68copyright 赵越ise zhaoy1 在离散时间系统中 基本运算关系是延时 移位 乘系数和相加 其基本单元是延迟器 乘法器和加法器 其符号如下图所示 69copyright 赵越ise zhaoy1 延迟器 乘法器和加法器示意图 70copyright 赵越ise zhaoy1 解 由图知 则 71copyright 赵越ise zhaoy1 线性常系数差分方程的求解 已知系统的输入序列 通过求解差分方程可以求出输出序列 求解差分方程的基本方法有以下三种 1 经典解法 与微分方程求解很类似 由通解与特解组成差分方程的完全解 2 递推解法 适用于系统阶数不高且激励比较简单的情况 3 变换域方法 利用Z变换 72copyright 赵越ise zhaoy1 例 设系统用差分方程y n ay n 1 x n 描述 输入序列x n n 求输出序列y n 解 该系统差分方程是一阶差分方程 需要一个初始条件 上式表明 已知输入序列和N个初始条件 则可以求出n时刻的输出 如果将该公式中的n用n 1代替 可以求出n 1时刻的输出 因此上式表示的差分方程本身就是一个适合递推法求解的方程 73copyright 赵越ise zhaoy1 y n ay n 1 x n n 0时 y 0 ay 1 0 1 1 设初始条件y 1 0 n 1时 y 1 ay 0 1 a n 2时 y 2 ay 1 2 a2 n n时 y n an 所以 y n anu n 74copyright 赵越ise zhaoy1 2 设初始条件y 1 1 n 0时 y 0 ay 1 0 1 a n 1时 y 1 ay 0 1 1 a a n 2时 y 2 ay 1 2 1 a a2 n n时 y n 1 a an 所以 y n 1 a anu n 75copyright 赵越ise zhaoy1 但对于差分方程 其本身也可以向n 0的方向递推 得到的是非因果解 该例表明 对于同一个差分方程和同一个输入信号 因为初始条件不同 得到的输出信号是不相同的 对于实际系统 用递推解法求解 总是由初始条件向n 0的方向递推 是一个因果解 因此差分方程本身并不能确定该系统是因果还是非因果系统 还需要用初始条件进行限制 76copyright 赵越ise zhaoy1 2 4离散时间信号和系统的频域描述 2 4 1离散时间信号的傅里叶变换 77copyright 赵越ise zhaoy1 在离散系统中 1 信号用序列表示 其自变量仅取整数 非整数时无定义 2 系统则用差分方程描述 3 频域分析是用Z变换或傅里叶变换 在模拟系统中 1 信号一般用连续变量时间t的函数表示 2 系统则用微分方程描述 3 用拉普拉斯变换和傅里叶变换将时间域数转换到频率域 78copyright 赵越ise zhaoy1 傅里叶变换 建立以时间t为自变量的 信号 与以频率f为自变量的 频率函数 频谱 之间的某种变换关系 所以 时间 或 频率 取连续还是离散值 就形成各种不同形式的傅里叶变换对 79copyright 赵越ise zhaoy1 连续时间信号 80copyright 赵越ise zhaoy1 离散时间信号 81copyright 赵越ise zhaoy1 通常将以下一对公式合称为离散时间信号的傅里叶变换对 在物理意义上 表示序列的频谱 为数字域频率 82copyright 赵越ise zhaoy1 上式实际是将序列展开成复指数序列的加权和的形式 则是不同频率的复指数序列的幅度 因此 表示序列的频谱 83copyright 赵越ise zhaoy1 一般情况下 是一个复量 可表示为 或用幅度和相位表示为 其中 幅度谱 相位谱 84copyright 赵越ise zhaoy1 由于和都是的周期函数 所以只需要去一个周期就足够代表序列的频谱 通常取为或 在为实序列的情况下 是的偶函数 是的奇函数 基于这种对称性 在范围内的幅度谱和相位谱就足以描述序列的频谱 可采用对数形式的幅度谱 单位是 的单位是度或弧度 通常采用主值相位表示相位谱 85copyright 赵越ise zhaoy1 例 矩形序列的频谱 N 10 86copyright 赵越ise zhaoy1 可看出幅度谱和相位谱以为周期的特点 87copyright 赵越ise zhaoy1 例2 14求下列信号的傅立叶变换 解 88copyright 赵越ise zhaoy1 89copyright 赵越ise zhaoy1 总结离散时间信号的傅立叶变换具有以下两个特点 1 是以为周期的的连续函数 可得出 这是因为 2 当为实序列时 的幅值在区间内是偶对称函数 相位是奇对称函数 90copyright 赵越ise zhaoy1 DTFT成立的充分条件是序列x n 满足绝对可和的条件 即满足下式 部分序列不是绝对可和 但也存在傅立叶变换 有的序列不是绝对可和 但却是平方可和的序列 它的幂级数均方收敛 既不是绝对可和又不是平方可和的序列 可以借助于冲激函数来定义DTFT 91copyright 赵越ise zhaoy1 例求下列信号的DTFT 解 当时 即上式的幂级数是发散的 由于上式的幂级数是复指数之和 而复指数是由余弦序列和正弦序列作为实部和虚部构成的 它们都是无穷长的震荡序列 所以当时 幂级数的和式也不收敛 这意味着复指数序列的DTFT并不存在 定义复指数序列和正弦序列的DTFT 必须借助于冲激函数的概念 92copyright 赵越ise zhaoy1 2 4 2离散时间信号的傅里叶变换的性质 1 序列的傅里叶变换的线性 式中a b为常数 若 则 93copyright 赵越ise zhaoy1 2 序列的移位与调制 若 则 移位 调制 94copyright 赵越ise zhaoy1 3 序列的折叠 若 则 95copyright 赵越ise zhaoy1 4 序列乘以n 频域微分 设 则 证 96copyright 赵越ise zhaoy1 5 序列的复共轭 设 则 97copyright 赵越ise zhaoy1 则 证明 6 序列的卷积 时域卷积定理 98copyright 赵越ise zhaoy1 则 用与时域卷积相似的方法可证 7 序列相乘 频域卷积定理 99copyright 赵越ise zhaoy1 8 序列的傅里叶变换的对称性 序列的傅里叶变换的对称性是傅里叶变换性质中的一大类 利用序列的傅里叶变换的对称性可以简化序列傅里叶变换的运算 是非常有用的 100copyright 赵越ise zhaoy1 任意一个复序列总可以分解成共轭对称与共轭反对称序列之和 101copyright 赵越ise zhaoy1 解以上方程组可得 102copyright 赵越ise zhaoy1 证明 不难得到 所以 是实部为偶对称 虚部为奇对称的序列 103copyright 赵越ise zhaoy1 同理可得 可得 所以 是实部为奇对称 虚部为偶对称的序列 104copyright 赵越ise zhaoy1 例 分析的对称性 解 因为 满足共轭对称序列的条件 所以是共轭对称序列 将这个共轭对称序列分解成实部与虚部 可得 这表明 共轭对称序列的实部的确是偶序列 而虚部确实是奇序列 105copyright 赵越ise zhaoy1 同理可定义序列的傅里叶变换可以被分解为共轭对称与共轭反对称两部分之和 共轭反对称函数 共轭对称函数 106copyright 赵越ise zhaoy1 式中 的实部为偶函数 虚部为奇函数 的实部为奇函数 虚部为偶函数 107copyright 赵越ise zhaoy1 满足对称性 108copyright 赵越ise zhaoy1 2 证 109copyright 赵越ise zhaoy1 3 证 110copyright 赵越ise zhaoy1 证 4 111copyright 赵越ise zhaoy1 5 证 112copyright 赵越ise zhaoy1 6 证 113copyright 赵越ise zhaoy1 7 证 114copyright 赵越ise zhaoy1 8 证 115copyright 赵越ise zhaoy1 2 4 3离散时间系统的频率响应 在信号处理中 正弦信号和复指数信号是对信号进行频谱分析和计算系统的频率响应的重要工具 在连续时间信号处理中采用复指数信号 可以把微分和积分运算转换为乘法和除法运算 假设 有 特别是复指数信号更为方便 不仅因为它比三角函数的运算更加简洁 而且还应为它在计算上有以下特点 116copyright 赵越ise zhaoy1 另外 线性非移变系统对正弦序列的稳态响应仍然是正弦序列 频率与输入信号的频率相同 而幅度和相位取决于系统的特性 在离散时间信号处理中采用复指数序列 可以乘法运算来实现序列的时移 假设 有 因此 信号处理的大多数工具 如拉普拉斯变换 傅里叶变换 Z变换和离散傅里叶变换等 都采用复指数信号 序列 作为基型信号 117copyright 赵越ise zhaoy1 为研究线性非移变系统的频域特性 设输入序列是一个数字域频率为的复指数序列 即 由线性卷积公式 可得到系统对的响应为 其中 118copyright 赵越ise zhaoy1 是一个与系统的特性有关的量 称为单位取样响应为的系统的频率响应 或用极坐标表示为 一般为复数 表示为 119copyright 赵越ise zhaoy1 分别称为系统的幅度响应和相位响应 幅度响应 幅度特性 系统的增益随频率的变化 相位响应 相位特性 系统的输出信号相对于输入信号的相位滞后随频率的变化 120copyright 赵越ise zhaoy1 上式表示的系统频率响应是一种傅里叶级数表示 可被看作傅里叶级数的系数 因此 频率响应与冲激响应构成一对傅里叶变换对 则有 121copyright 赵越ise zhaoy1 系统的频率响应含有系统的所有信息 知道系统的频率响应 就可以计算系统对任何输入信号的响应 方法是首先将变换成 然后将乘以得到 最后计算的IDTFT即得到 122copyright 赵越ise zhaoy1 2 5信号的取样 2 5 1连续时间信号的取样 离散时间信号常常是由连续时间信号经周期取样得到的 完成取样功能的器件称为取样器 如下图所示 123copyright 赵越ise zhaoy1 取样器示意图 对模拟信号进行采样可以看作一个模拟信号通过一个电子开关S 设电子开关每隔周期T合上一次 在电子开关输出端得到其采样信号 124copyright 赵越ise zhaoy1 电子开关可以用一个乘法器等效 图中的是周期性开关函数 当为零时 乘法器输出为零 等效为开关断开 信号通不过去 不为零时 信号通过 采样信号可以表示为 125copyright 赵越ise zhaoy1 连续时间信号的取样 在实际取样器中 设开关闭合时间为 秒 T a 实际取样 b 理想取样 理想取样模型可使数学推导得到简化 主要讨论 126copyright 赵越ise zhaoy1 信号经过取样之后 是否会丢掉一些信息 思考 信号的频谱会发生怎样的变化 若不丢失信息应满足什么条件 127copyright 赵越ise zhaoy1 1 理想取样 由于只在时为非零值 所以上式又可表示为 理想取样输出为 128copyright 赵越ise zhaoy1 2 频谱延拓 现在研究取样信号与模拟信号的频谱之间的关系 将展成傅里叶级数 得 129copyright 赵越ise zhaoy1 式中 为基数的基波频率 系数为 130copyright 赵越ise zhaoy1 于是可表示为 则的傅里叶变换为 131copyright 赵越ise zhaoy1 根据傅里叶变换的卷积定理 可得出理想取样信号的频谱为 取样信号的频谱包括原信号的频谱和无限个经过平移的原信号频谱 这些频谱都要乘以系数 132copyright 赵越ise zhaoy1 133copyright 赵越ise zhaoy1 设原信号是最高频率为的带限信号 从图中可以看出 当时 平移后的频谱必互相重叠 重叠部分的频率成分的幅值与原信号不同 这种现象称为 混叠 现象 如果原信号不是带限信号 则 混叠 现象必存在 为了使平移后的频谱不产生 混叠 失真 应要求取样频率足够高 134copyright 赵越ise zhaoy1 取样频率的一半 即称为折叠频率 等于信号最高频率两倍的取样频率称为奈奎斯特频率 在信号的频带受限的情况下 取样频率应等于或大于信号最高频率的两倍 即 135copyright 赵越ise zhaoy1 3 频率归一化 假设离散时间信号是模拟信号通过周期性取样得到的 即 这里主要讨论离散时间信号的频谱与取样信号的频谱之间的关系 分别求上式两边的频谱 136copyright 赵越ise zhaoy1 取样信号的频谱可以表示为 137copyright 赵越ise zhaoy1 另一方面的频谱 等式两边的频谱相等 则 将公式代入 138copyright 赵越ise zhaoy1 上式表明 在的条件下 离散时间信号的频谱与取样信号的频谱相等 由于 为取样频率 是对归一化的结果 故可以认为离散时间信号的频谱是取样信号的频谱归一化后的结果 139copyright 赵越ise zhaoy1 4 信号重建 从图中可看出 如果取样信号不存在混叠 那么或 140copyright 赵越ise zhaoy1 将两式分别改写为或 141copyright 赵越ise zhaoy1 这样 让取样信号通过一个截止频率为的理想低通滤波器 就可将取样信号频谱中的基带频谱取出来 恢复原来的模拟信号 142copyright 赵越ise zhaoy1 这个理想低通滤波器的频率特性为 根据连续时间信号傅里叶反变换公式可以求得原信号 即 143copyright 赵越ise zhaoy1 公式 2 72 交换式中求和与积分运算的次序得 144copyright 赵越ise zhaoy1 上式就是从取样信号恢复原信号的取样内插公式 内插函数是 145copyright 赵越ise zhaoy1 内插函数在的取样点上的值为1 在其余取样点上的值都为零 在取样点之间的值不为零 146copyright 赵越ise zhaoy1 这样 被恢复的信号在取样点的值恰好等于原来连续信号在取样时刻的值 而取样点之间的部分由各内插函数的波形叠加而成 147copyright 赵越ise zhaoy1 2 5 2离散时间信号的取样 取样后得到的序列称为离散时间取样序列 它在取样周期的整数倍点上的取样值等于原来的序列值 而在这些点之间的取样值都为零 离散时间信号的取样过程如图所示 148copyright 赵越ise zhaoy1 为方便起见 将序列的傅立叶变换用表示 这样上式的频域形式为 式中 和分别是和的傅里叶变换 即 这可看作是一个信号调制的过程 即 149copyright 赵越ise zhaoy1 不失真条件 150copyright 赵越ise zhaoy1 在没有失真情况下 用一个增益为N 截止频率大于而小于的低通滤波器 对进行滤波可恢复出原信号 151copyright 赵越ise zhaoy1 2 5 3离散时间信号的抽取和内插 前一方法中 在零取样值的传输或存储是很不经济的 因此常常将的非零取样值抽取出来组成一个新的序列 这种抽取N的整数倍点上的样本的过程称为抽取 Decimation 152copyright 赵越ise zhaoy1 从图中可以看出 取样序列和抽取序列的频谱只是频率尺度不同 153copyright 赵越ise zhaoy1 抽取也称为减取样 DownSampling 如果原始序列是连续时间信号经取样得到的 那么抽取过程可被看成是把取样率减少N倍后对连续时间信号进行取样的过程 抽取仍然要保证满足奈奎斯特定理 154copyright 赵越ise zhaoy1 这一过程可分两步 首先 在每相邻两个序列值之间插入N 1个零值 然后 用一个低通滤波器得到内插后的序列 内插 Interpolating 或增取样 UpSampling 过程是抽取或减取样的逆过程 155copyright 赵越ise zhaoy1 156copyright 赵越ise zhaoy1 注意在定义中 对n求和是在 之间求和 可以称为双边Z变换 还有一种称为单边Z变换的定义 如下式 2 6Z变换 2 6 1Z变换的定义 序列x n 的Z变换定义为式中z是一个复变量 它所在的复平面称为z平面 把描述离散系统的差分方程 变换成代数方程 使其求解过程得到简化 157copyright 赵越ise zhaoy1 把z写成极坐标形式 代入上式得 当时 有 表示一个单位圆 因此 序列在单位圆上的Z变换等于序列的傅里叶变换 显然 系统的单位取样响应在单位圆上的Z变换就是系统的频率响应 158copyright 赵越ise zhaoy1 159copyright 赵越ise zhaoy1 Z变换存在的充分条件是等号右边级数收敛 要求级数绝对可和 即 使该式成立 Z变量取值的域称为收敛域 一般收敛域用环状域表示式中 可小到0 可以大到 Z变换实际是复变量z的幂级数 只有当该幂级数收敛时 Z变换才有意义 160copyright 赵越ise zhaoy1 Z变换的收敛域 161copyright 赵越ise zhaoy1 有的序列本身不是绝对可和的 因而它的DTFT不存在 但是乘以指数序列后却有可能变成绝对可和的 因而它的Z变换却可能存在的 162copyright 赵越ise zhaoy1 常用的Z变换是一个有理函数 用两个多项式之比表示分子多项式P z 的根是X z 的零点 分母多项式Q z 的根是X z 的极点 在极点处Z变换不存在 因此收敛域中没有极点 收敛域总是用极点限定其边界 163copyright 赵越ise zhaoy1 当时 即时 上列级数收敛 且有 例2 11求序列的Z变换 解 164copyright 赵越ise zhaoy1 可以看出 在处有一个零点 在处有一个极点 如图所示 图中用 表示零点 用 表示极点 阴影区域表示收敛域 165copyright 赵越ise zhaoy1 2 6 2几种序列的Z变换及其收敛域 1 有限长序列 即序列x n 从n1到n2序列值不全为零 此范围之外序列值为零 这样的序列称为有限长序列 如序列x n 满足下式 166copyright 赵越ise zhaoy1 在内 是有限项级数和 只要级数的每一项都有界 有限项的和也就有界 因此 只要 那么上式在Z平面上除去0和两个特殊点外的整个区域上都是收敛的 其Z变换为 167copyright 赵越ise zhaoy1 即有限长序列的Z变换的收敛域为如果对有限长序列的起点和终点加以一定的限制 则它的Z变换收敛域可以包括0或 具体的说 当时 级数没有正幂项 时 级数是收敛的 时 级数发散 当时 级数有正幂项 时 级数是发散的 时 级数收敛 因此时收敛域为时收敛域为 168copyright 赵越ise zhaoy1 2 右边序列 右边序列是指在时有非零值 而在时均为零值的序列 它的Z变换为 该级数的收敛域是以为半径的圆的外部区域 即 169copyright 赵越ise zhaoy1 170copyright 赵越ise zhaoy1 左边序列是在n n2时 序列值不全为零 而在n n1 序列值全为零的序列 左边序列的Z变换表示为 3 左边序列 其收敛域是在某一圆 半径为 的圆内 收敛域为0 z Rx 171copyright 赵越ise zhaoy1 0 z Rx 172copyright 赵越ise zhaoy1 173copyright 赵越ise zhaoy1 4 双边序列 双边序列是指n从到都有非零值的序列 它可以看作一个左边序列和一个右边序列之和 其Z变换表示为 174copyright 赵越ise zhaoy1 X z 的收敛域是X1 z 和X2 z 收敛域的公共收敛区域 如果Rx Rx 两个收敛域没有公共区域 X z 没有收敛域 因此X z 不存在 如果Rx Rx 其收敛域为Rx z Rx 这是一个环状域 175copyright 赵越ise zhaoy1 2 6 3Z变换的逆变换 Z变换的逆变换是由求序列的变换 176copyright 赵越ise zhaoy1 C为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合单围线 177copyright 赵越ise zhaoy1 幂级数法 长除法 部分分式展开法留数定理法 围线积分法 求逆Z变换的方法通常有三种 178copyright 赵越ise zhaoy1 幂级数法如果一个Z变换能表示成幂级数的形式 那么可直接看出序列是幂级数中的系数 因此 若能用现有的幂级数公式将展开 便可很容易地求得 适用单边的左或右序列 双边序列不适用 179copyright 赵越ise zhaoy1 有理式 数字和字符经有限次加 减 乘 除运算所得的式子 部分分式展开法将一般的有理多项式展开为简单的有理式 有理分式 含字符的式子做分母的有理式 或两个多项式的商 分子的次数低于分母时称为真分式 180copyright 赵越ise zhaoy1 部分分式 把x的一个实系数的真分式分解成几个分式的和 使各分式具有或的形式 其中x2 Ax B是实数范围内的不可约多项式 而且k是正整数 这时称各分式为原分式的 部分分式 将X z 展成一些简单的常用的部分分式之和通过查表 参考表2 2 求得各部分的逆变换再相加即得到原序列x n 181copyright 赵越ise zhaoy1 表2 2常见序列Z变换 182copyright 赵越ise zhaoy1 183copyright 赵越ise zhaoy1 2 6 4Z变换的性质和定理 1 线性 设Z x n X z Rx z Rx Z y n Y z Ry z Ry 则Z ax n by n aX z bY z R z R R min Rx Ry R max Rx Ry 这里新的收敛域 R R 是X z 和Y z 的公共收敛域 如果没有公共收敛域 则该Z变换不存在 184copyright 赵越ise zhaoy1 设Z x n X z Rx z Rx 则Z x n m z mX z Rx z Rx 2 序列的移位 185copyright 赵越ise zhaoy1 设Z x n X z Rx z Rx a为常数则Z anx n X a 1z a Rx z a Rx 证明 因为Rx a 1z Rx 得到 a Rx z a Rx 3 乘以指数an 186copyright 赵越ise zhaoy1 4 序列的折叠 设Z x n X z Rx z Rx 则Z x n 187copyright 赵越ise zhaoy1 5 序列的复共轭 设 则 188copyright 赵越ise zhaoy1 6 的微分 设 则 189copyright 赵越ise zhaoy1 7 初值定理 设x n 是因果序列 X z Z x n 190copyright 赵越ise zhaoy1 9 序列的卷积 设 则 191copyright 赵越ise zhaoy1 10 复卷积定理 设Z x n X z Rx z Rx Z y n Y z Ry z Ry w n x n y n 则 这个公式称为复卷积公式 c是v平面的收敛域中任一条环绕原点的反时针方向的闭合围线 192copyright 赵越ise zhaoy1 11 Parseval公式 则 v平面上 c所在的收敛域为 这就是傅里叶变换的Parseval公式 物理意义 在时域中计算得到的序列能量与在频域中计算得到频谱能量相等 193copyright 赵越ise zhaoy1 2 6 5Z变换与拉普拉斯变换的关系 分析连续时间信号和取样信号拉氏变换之间的关系 之前曾把取样信号表示为 取样信号的拉氏变换可表示为 194copyright 赵越ise zhaoy1 将代入上式 并改变积分和求和次序 得 上式表明 连续时间信号经理想取样得到取样信号的拉氏变换 是连续时间信号的拉氏变换在S平面上沿虚轴的周期延拓 195copyright 赵越ise zhaoy1 取样信号的拉氏变换与离散时间信号的Z变换之间的关系 对取样信号求拉氏变换 对离散时间信号求Z变换 注意到 196copyright 赵越ise zhaoy1 可以得到 这说明 在的条件下 离散时间信号的Z变换等于取样信号的拉氏变换 这两种变换之间的关系 就是由复变量平面到复变量平面的映射 其映射关系为 197copyright 赵越ise zhaoy1 若令和 则得到 因此 的模只与的实部相对应 的辐角只与的虚部相对应 198copyright 赵