2003年 第1届 创新杯数学邀请赛 初中2年级第2试试题参考答案w.doc

2003年第一届“创新杯”数学邀请赛初中二年级第二试答案一选择题1B 原式=42D 设 x3+ax2+bx+8=(x+1)(x+2)(x+c) 分别取x= 1 及 x= -2，有 , 解得 ，于是a+b=21.3 C 由MA=MB=MC，可得ACB=90。于是AC2+BC2=AB2，即AC2+BC2=100。 又AC+BC+AB=24，即AC+BC=14。SABC=ACBC =（AC+BC）2-（AC2+BC2） = （142-100）=24。 4A 由0nmn，故有(1+m%)(1-n%)(1+)(1-)1+%1-%(1+n%)(1-m%)5. C 显然为等边三角形，ADC+ADB=60。又DAB，DAC都是等腰三角形，于是DAC=（180-ADC），DAB=（180-ADB）。 BAC=（180-ADC）+（180-ADB）= 180-（ADC+ADB）= 1506B由14(a2+b2+c2)=(a+2b+3c)2，可得 (2a-b)2+(3a-c)2+(3b-2c)2=0, 于是2a-b=3a-c=3b-2a, 从而b=2a,c=3a， 所以a:b:c=1:2:3.7. B 原式=， 其中分子= a3(c-b)-a(c3-b3)+bc(c2-b2) = (c-b)a3-a(c2+bc+b2)+bc(b+c) = (c-b)b2(c-a)+bc(c-a)-a(c2-a2) = (c-b)(c-a)(b2+bc-a2-ac)=(c-b)(c-a)c(b-a)+(b-a)(b+a) = (c-b)(c-a)(b-a)(a+b+c) 分母= a2(c-b)-a(c2-b2)+bc(c-b)=(c-b) a2-(c+b)a+bc=(c-b)(a-c)(a-b) 所以，原式=a+b+c8C设原等腰三角形中，AB=AC。（1）如图1，AD=DB=BC， 顶角为36；（2）如图2，AD=BD， BC=CD， 顶角为；（3）如图3，BD=AD=CD， 顶角为90；（4）如图4， BD=AD，CA=CD，顶角为108。 图1 图2 图3 图49 C由，得x-2=-，两边平方后整理得x2-4x+2=0; =( x2-4x+2)( x2+x-2)+5x+3=5x+3=5(2-)-3=7-510 C设=t（t为整数），则x=，故3x+1-t=，所以0y+1z+12,于是x+1=167, y+1=4, z+1=3, 从而x=166,y=3,z=215 31 如图，设等边三角形ABC的边长为a, 过A作AFBE于F. 易知CD=，CE= ，AF=。 因 DC+CE=DE=AF， 故+=， 解得a2=124 于是等边ABC的面积为a2=3116 2401 设n+99=a2, n+200=b2(a,b是正整数，且ba), 两式相减得b2-a2=101,即(b+a)(b-a)=101, 因101是质数，故， 解得，所以n= a2-99=2401.17. 30过A作DAAC 交BC于D，则DAB=CAB-90=B, 于是DA=DB；设DA=DB=DB=x，AC=y, 则BC=y；于是x2+y2=(y-x)2， 所以 x=y。因为CD2=AC2+AD2=y2+(y)2=y2，即CD=y, 所以CD=2AD，故C=30。185如下图构造一个几何图形：AB=4， ACAB且AC=1， BDAB，且BD=2。 P是AB上任意一点，设AP=x, BP=y, 则CP=， DP= 显然当P是AB和CD的交点时，CP+DP即最小，最小值为CD。作CEBD于D，不难求得 CD=5。19 1，16，0设分别买由20，35，59朵花组成的花束x,y,z束，先算出平均每朵花的价格：20朵花组成的花束每朵价=0.2元，36朵花组成的花束每朵价0.16元, 50朵花组成的花束每朵价=0.18元.所以为了买到最多的花朵，20朵花组成的花束买得越少越好，但是当x=0时，6y+9z=100的左边是3的倍数，而右边不是，它没有整数解。故取x=1，方程整理后得 2y+3z=32, y是越大越好，故取y=16,z=0. 20. 362+372+382+392+402=412+422+432+442 设最小的一个正整数为x-4, 则(x-4)2+(x-3)2+(x-2)2+(x-1)2+x2 = (x+1)2+(x+2)2+(x+3)2+(x+4)2解得 x=0（舍去）或x=40。三解答题21证明： 将已知等式变形，得，(1-abc)2=0, 所以 abc=122证明: 过G作GQBP于Q，因为四边形BCFG是正方形，故BC=BG, GBC=90, 从而1+3=90。因为BAC=90, 从而2+3=90， 故1=2。所以GQB