概率论第三章第五节.ppt

3 5多个随机变量的函数的分布 问题 已知二维随机变量 X Y 的分布 如何求出Z g X Y 的分布 有一大群人 令X和Y分别表示一个人的年龄和体重 Z表示该人的血压 并且已知Z与X Y的函数关系Z f X Y 如何通过X Y的分布确定Z的分布 1 设 X1 X2 是二维离散型随机变量 则Z g X1 X2 是一维离散型随机变量 3 5 1两个离散型随机变量函数的分布 2 二维离散型随机变量函数的分布是容易求的 i 对 X1 X2 的各种可能取值对 写出Z相应的取值 ii 对Z的相同的取值 合并其对应的概率 求随机变量Z X Y的分布律 结论 若二维随机变量 X Y 的联合分布律为 则随机变量Z X Y 的分布律为 例2设X与Y独立 且X Y等可能地取值0和1 求Z max X Y 的分布律 解 X01P1 21 2 Y01P1 21 2 Z max X Y 的取值为 0 1 P Z 0 P X 0 Y 0 X 0 P Y 0 1 4 P Z 1 P X 0 Y 1 P X 1 Y 0 P X 1 Y 1 3 4 1 Z X Y的分布 3 3 2两个连续型随机变量的函数的分布 由此可得概率密度函数为 由于X与Y对称 当X Y独立时 例3 若 X Y 求Z X Y的概率密度 解 fZ z 由f x y 的表达知 当x 0 z x 0时 被积函数不为0 如图3 6 例4X与Y是独立同分布的标准正态变量 求Z X Y的分布 解 所以Z X Y N 0 2 说明 有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布 例如 设X Y独立 都具有正态分布 则3X 4Y 1也具有正态分布 一般地 设X Y相互独立 且仍然服从正态分布 则Z X Y也服从正态分布 且有 设X1 X2 Xn 独立同分布 其分布函数和概率密度分别为FX x 和fX x 若记 M max X1 X2 Xn N min X1 X2 Xn 则 M的分布函数 Fmax z FX y n M的概率密度 fmax z n FX y n 1fX y N的分布函数 Fmin z 1 1 FX z n N的概率密度 fmin z n 1 FX z n 1fX z 二 最大值 最小值的分布 例5设系统L由两个相互独立的子系统L1和L2联接而成 其联接方式分别为 1 串联 2 并联 如图3 7所示 设L1和L2的寿命分别为X和Y 已知它们的密度函数分别为 其中 0 0 试分别就以上两种联接方式 求出系统L的寿命Z的概率密度 解 1 串联情况 因为当L1和L2中有一个损坏 系统L就停止工作 所以 此时L的寿命为Z min X Y 由已知可知X和Y的分布函数分别为 所以Z的分布函数为 FZ z 1 1 FX z 1 FY z 于是得Z的概率密度 2 并联情况 此时系统L的寿命为Z max X Y 所以Z的分布函数为 FZ z FX z FY z 于是得Z的概率密度 fZ z 分布的可加性 若同一类分布的独立随机变量和的分布仍是此类分布 则称此类分布具有可加性 二项分布的可加性 若X b n1 p Y b n2 p 注若Xi b 1 p 且独立 则Z X1 X2 Xn b n p 则Z X Y b n1 n2 p 泊松分布的可加性 若 注X Y不服从泊松分布 且独立 则Z X Y 1 2 正态分布的可加性 若X N Y N 注X Y不服从N 则Z X Y N 独立正态变量的线性组合仍为正态变量 Xi N i i2 i 1 2 n 且Xi间相互独立 实数a1 a2 an不全为零 则 1 Z X Y的概率密度 小结 当X与Y独立 Z X Y的概率密度为 设X1 X2 Xn 独立同分布 其分布函数和概率密度分别为FX x 和fX x M max X1 X2 Xn N min X1 X2 Xn 则 M的分布函数 Fmax z FX y n M的概率密度 fmax z n FX y n 1fX y N的分布函数 Fmin z 1 1 FX z n N的概率密度 fmin z n 1 FX z n 1fX z 2 最大值 最小值的分布 若X N Y N 且独立 则Z X Y N 独立正态变量的线性组合仍为正态变量 3 正态分布的可加性 Xi N i i2 i 1 2