简单线性规划教案

1 / 29简单线性规划教案本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 教学设计3简单线性规划整体设计教学分析本节内容在教材中有着重要的地位与作用线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法数学建模法通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答是本节的重点也是难点对许多学生来说，解数学应用题的最常见的困难是不会将实际问题转化成数学问题，即不会建模，所以把实际问题转化为线性规划问题作为本节的难点对2 / 29学生而言，解决应用问题的障碍主要有三类：不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；孤立地考虑单个的问题情境，不能多方面联想，形成正迁移针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素，将本节设计为计算机辅助教学，充分利用现代化教学工具，从而将实际问题鲜活直观地展现在学生面前，以利于理解实际教学中注意以下几个问题：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件，并就题目所述找到目标函数可行域就是二元一次不等式组所表示的平面区域，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域如果可行域是一个凸多边形，那么一般在其顶点处使目标函数取得最大值或最小值，最优解一般就是多边形的某个顶点到底哪个顶点为最优解，可有两种确定方法：一是将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是；另一种方法可利用围成可行域的直线的斜率来判断若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解(近似解)，应作适当的调整其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，3 / 29不要在用图解法所得到的近似解附近寻找如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也是很有效的办法在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小如果条件允许，可将本节的思考与讨论融入课堂三维目标 1使学生了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题2通过本节内容的学习，培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力3通过本节学习，理解线性规划求最优解的原理，明确线性规划在现实生活中的意义重点难点 教学重点：求线性目标函数的最值问题，培养学生“用数学”的意识，理解线性规划最优解的原理教学难点：把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答4 / 29课时安排 2 课时教学过程第 1 课时导入新课 思路 1.(问题引入)由身边的线性规划问题导入课题，同时阐明其重要意义如 6 枝玫瑰花与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24 元而 4 枝玫瑰与 5 枝康乃馨的价格之和小于 22元如果想买 2 枝玫瑰与 3 枝康乃馨，那么价格比较结果是怎样的呢？可由学生列出不等关系，并画出平面区域由此导入新课思路 2.(章头问题引入)在生产与营销活动中，我们常常需要考虑：怎样利用现在的资源取得最大的收益，或者怎样以最少的资源投入去完成一项给定的任务我们把这一类问题称为“最优化”问题线性规划知识恰是解决这类问题的得力工具由此展开新课推进新课 新知探究提出问题回忆二元一次不等式 AxByc0在平面直角坐标系中的平面区域的确定方法.怎样从实际问题中抽象出不等式组，5 / 29并画出所确定的平面区域？阅读教材，明确什么是目标函数，线性目标函数，约束条件，线性约束条件，线性规划问题，最优解，可行域.,你能给出解决线性规划问题的一般步骤吗？活动：教师引导学生回顾二元一次不等式表示平面区域常用的方法是：直线定界、原点定域，即先画出对应直线，再将原点坐标代入直线方程中，看其值比零大还是比零小；不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，是它们平面区域的公共部分教师引导学生探究教材本节开头的问题根据上节所学，学生很容易设出计划生产甲种产品 x 工时，生产乙种产品y 工时，且很容易地列出获得利润总额为 f30x40y，及 x，y 满足的条件3x2y1200，x2y800，x0，y0.教师引导学生画出上述不等式组表示的区域，如下图结合图形，教师与学生一起探究，原问题就是在 x，y 满足的情况下，求 f 的最大值也就是在图中阴影部分内找一点，把它的坐标代入式子 30x40y 时，使该式值最大若令 30x40y0，则此方程表示通过原点的一条直线，记为 l0，则在区域 oABc 内有 30x40y0.设这个区域内6 / 29任意一点 P(x，y)到 l0 的距离为 d，则d|30x40y|30240230x40y302402，即30x40y302402d.由此可发现，点 P(x，y)到直线 l0 的距离 d 越大，式子30x40y 的值就越大这样问题又转化为：在区域 oABc 内，找与直线 l0 距离最大的点观察图象易发现，平移直线l0，最后经过的点为 B，易知区域 oABc 内的点 B 即为所求解方程组 3x2y1200，x2y800，得 B(200,300)，代入式子，得 fmax302004030018000.即问题中，用 200 工时生产甲种产品，用 300 工时生产乙种产品，能获得最大利润 18000 元进一步探究上述问题，不等式组是一组对变量 x、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于 x、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件z2xy 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析式，我们把它称为目标函数由于 z2xy 又是关于 x、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数 z2xy 在线性约束条件下的最7 / 29大值和最小值的问题，即为线性规划问题满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解，接着让学生说出上述问题中的目标函数，约束条件，可行域，最优解分别是什么根据以上探究，我们可以得出用图解法解决线性规划问题的一般步骤：(1)分析并将已知数据列出表格；(2)确定线性约束条件；(3)确定线性目标函数；(4)画出可行域；(5)利用线性目标函数求出最优解在可行域内平行移动目标函数，从图中能判定问题有唯一最优解，或者是无穷最优解，或是无最优解；(6)实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解讨论结果：(1)(4)略应用示例例 1 已知 x、y 满足不等式x2y2，2xy1，x0，y0，求 z3xy 的最小值活动：可先找出可行域，平行移动直线 l0：3xy0 找8 / 29出可行解，进而求出目标函数的最小值解：不等式 x2y2 表示直线 x2y2 上及其右上方的点的集合；不等式 2xy1 表示直线 2xy1 上及其右上方的点的集合可行域如图所示作直线 l0：3xy0，作一组与直线 l0 平行的直线l：3xyt(tR)x、y 是上面不等式组表示的区域内的点的横纵坐标，由图可知，当直线 l：3xyz 通过点 P(0,1)时，z 取到最小值 1，即 zmin1.点评：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的(1)寻找线性约束条件，线性目标函数；(2)由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；(3)在可行域内求目标函数的最优解.变式训练若变量 x，y 满足2xy40，x2y50，x0，y0，则 z3x2y 的最大值是_9 / 29答案：70解析：由不等式组2xy40，x 2y50，x0 ，y0 画出可行域如下图结合图形，由 2xy40，x2y50x10，y20，于是 zmax31022070.例 2(教材本小节例 2)活动：教材此例的数据以表格的形式给出这样可使量与量之间的关系一目了然，非常有助于我们顺利地找出约束条件和目标函数，特别是对于那些量比较多的问题本例难度不大，可由学生自己完成，教师给予适当点拨点评：完成此例后，可让学生对应用线性规划解决实际问题作一简单归纳对较好的学生，教师可结合思考与讨论进行归纳.变式训练某家具厂有方木料 90m3，五合板 600m2，准备加工成书桌和书橱出售已知生产每张书桌需要方木料、五合板2m2；生产每个书橱需要方木料、五合板 1m2.出售一张书桌可获利润 80 元，出售一个书橱可获利润 120 元，如果只安10 / 29排生产书桌，可获利润多少？如果只安排生产书橱，可获利润多少？怎样安排生产可使所得利润最大？解：(1)设只生产书桌 x 张，可获得利润 z 元，则90，2x600x900，x300x300.z80x，当 x300 时，zmax8030024000(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产 300 张书桌，获得利润 24000 元(2)设只生产书橱 y 张，可获利润 z 元，则90，y600y450，y600y450.z120y，当 y450 时，zmax12045054000(元)，即如果只安排生产书橱，最多可生产 450 个，获得利润54000 元(3)设生产书桌 x 张，书橱 y 个，利润总额为 z 元则90，2xy600，x0，y0x2y900，2xy600，x0，y0，z80x120y，可行域如图由图可知：当直线 y23xz120 经过可行域上的点 m时，截距 z120 最大，即 z 最大，解方程组x2y900，2x y600，得 m 的坐标为(100,400)11 / 29zmax80x120y8010012040056000(元)因此，生产书桌 100 张、书橱 400 个，可使所得利润最大，最大利润为 56000 元.例 3 某工厂生产甲、乙两种产品已知生产甲种产品 1t 需耗 A 种矿石 10t、B 种矿石 5t、煤 4t；生产乙种产品需耗 A 种矿石 4t、B 种矿石 4t、煤 9t每 1t 甲种产品的利润是 600 元，每 1t 乙种产品的利润是 1000 元工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗 A 种矿石不超过300t、B 种矿石不超过 200t、煤不超过 360t，甲、乙两种产品应各生产多少(精确到)，能使利润总额达到最大？活动：将已知数据列成下表，然后按线性规划解决实际问题的步骤完成，本例可由学生自己完成解：设生产甲、乙两种产品分别为 xt、yt，利润总额为z 元，那么10x4y300，5x4y200，4x9y360，x0，y0；目标函数为 z600x1000y.作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域如图12 / 29作直线 l：600x1000y0，即直线 l：3x0.把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时，直线经过可行域上的点 m，且与原点距离最大，此时 z600x1000y 取最大值解方程组 5x4y200，4x9y360，得x36029，y100029m 的坐标为(,)答：应生产甲产品约，乙产品，能使利润总额达到最大知能训练1设变量 x，y 满足约束条件：yx，x2y2，x2，则 zx3y 的最小值为()A2B4c6D82医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐甲种原料每 10g 含 5 单位蛋白质和 10 单位铁质，售价 3 元；乙种原料每 10g 含 7 单位蛋白质和 4 单位铁质，售价 2元若病人每餐至少需要 35 单位蛋白质和 40 单位铁质试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？答案：1D解析：在坐标平面内画出不等式组yx，x2y2，x2 所表示的平面区域，作出直线13 / 29x3y0，平移该直线，并结合图形(图略)知点(2,2)为最优解所以目标函数的最小值为zmin2328，故选 D.2活动：将已知数据列成下表：原料/10g 蛋白质/单位铁质/单位甲 510乙 74费用 32设甲、乙两种原料分别用 10xg 和 10yg，则需要的费用为 z3x2y；病人每餐至少需要 35 单位蛋白质，可表示为 5x7y35；同理，对铁质的要求可以表示为10x4y40，这样，问题成为在约束条件5x7y35，10x4y40，x0，y0 下，求目标函数z3x2y 的最小值解：设甲、乙两种原料分别用 10xg 和 10yg，总费用为z，那么 5x7y35，10x4y40，x0，y0；目标函数为 z3x2y，作出可行域如图把 z3x2y 变形为 y32xz2，得到斜率为32，在 y 轴上的截距为 z2，随 z 变化的一组平行直线14 / 29由图可知，当直线 y32xz2 经过可行域上的点 A 时，截距 z2 最小，即 z 最小由 10x4y40，5x7y35，得 A(145，3)，zmin314523甲种原料使用 1451028(g)，乙种原料使用 31030(g)时，费用最省课堂小结1让学生自己归纳整合本节所学的知识方法及用线性规划解决实际问题的方法步骤，自己在本节中的最大收获有哪些？2教师强调，通过本节学习，需掌握如何用线性规划解决实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解作业习题 35A 组 3、4、5；习题 35B 组 3.设计感想1本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实际问题的能力本节内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思15 / 29想方法教学的典型教材，也是培养学生观察、作图能力的典型教材2通过实例给出解题步骤，让其更深入了解并掌握新知这里强调的还有作图的规范问题，这是学生容易忽视的，但这又是本节课很重要的一部分3关于难度把握问题，依据课程标准及教材分析，二元一次不等式表示平面区域以及线性规划的有关概念比较抽象，按高二学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，再加上学生对代数问题等价转化为几何问题，以及数学建模方法解决实际问题有一个学习消化的过程，故本节知识内容定为了解层次但这个了解不同于其他的了解，应注意让学生切实学会从实际问题抽象出约束条件及目标函数，并注意规范书写解答步骤(设计者：郑吉星)第 2 课时导入新课 思路 1.(直接导入)上一节课我们探究了用线性规划解决实际问题的一种类型，这节课我们进一步探究有关线性规划的一些问题，看看用线性规划还能解决哪些实际问题教师出示多媒体课件，提出问题，由此引入新课思路 2.(问题导入)关于线性规划的整点问题是个难点，我们是用平移直线的办法来解决的，需要画图精确，令学16 / 29生很头痛下面我们探究调整最优值法来确定最优整数解的方法教师用多媒体出示以下问题：某人有楼房一座，室内面积共有 180 平方米，拟分隔成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为 18 平方米，可住游客 5 名，每名游客每天住宿费 40 元，小房间每间面积15 平方米，可住游客 3 名，每名游客每天住宿费 50 元；装修大房间每间需 1000 元，装修小房间每间需 600 元如果他只能筹款 8000 元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？学生很容易设隔出大房间 x 间，小房间 y 间时收益为 z元，则 x，y 满足18x1180，1000x600y8000，x0，xN，y0，yN.作出可行域(出示多媒体课件)，作直线l：200x150y0，即 l：4x3y0，把直线 l 向右上方平移，直线经过可行域上的点 B 时，与原点距离最大，此时 z200x150y 取得最大值，解方程组6x60，5x3y40，得点 B 的坐标为(207，607)，由于 B 的坐标不是整数，而最优解(x，y)中，x、y 必须都是整数，所以可行域内的点 B 不是最优解以下教师与学生共同探究调整最优值法来确定最优整点17 / 29的方法：将 B 点坐标代入 4x3yz，得 z3717，所以令4x3y37.所以 y374x3，x373y4，代入约束条件得y9，x 无解；再令 4x3y36，所以 y364x3，x363y4，代入约束条件得 7y12,0x4.又因为 4x3y36，所以得最优解为(0,12)和(3,8)，此时 z 的最大值是 36，最大利润是 1800 元用图解法解决时，容易丢一组解，而选择调整最优值法，即可避免丢解问题，只是需要一定的不等式及不定方程的知识鼓励学生课外进一步探究其他方法推进新课 新知探究提出问题回忆上节课我们利用线性规划解决实际问题的方法、步骤、格式，解题时应注意哪些问题？前面我们解决了可行域中整点问题，明确了求可行域中最优解问题，请思考最优解的个数有可能为无数个吗？活动：教师与学生一起回忆上节课利用线性规划解决实18 / 29际问题时应注意：在寻求约束条件时，要注意挖掘隐含条件；在确定最优解时，首先要赋予因变量的几何意义，然后利用图形的直观来确定最优解；在确定最优解时，用直线的斜率来定位关于可行域中的整点求法，是以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也是很有效的办法下面我们进一步探究最优解问题以及用线性规划解决的另一类实际问题讨论结果：(1)略(2)求最优解，若没有特殊要求，一般为边界交点但取得最值的最优解可能有无穷多个若通过图形观察不易分辨时，可把边界交点代入验证应用示例例 1 某公司计划 XX 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告，广告总费用不超过 9 万元甲、乙电视台的收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为万元和万元问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大？最大收益是多少万元？活动：这是高考中继江苏卷线性规划大题后第二个线性19 / 29规划大题，教师引导学生按前面的方法列出表格，则各量之间的关系即一目了然本题难度不大，可由学生自己解决列表如下：甲乙合计时间 x 分钟 y 分钟 300收费 500 元/分钟 200 元/分钟 9 万元解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟，总收益为 z 元由题意得 xy300，500x200y90000，x0，y0.目标函数为 z3000x2000y.二元一次不等式组等价于xy300，5x2y900，x0，y0.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图作直线 l：3000x2000y0，即 3x2y0.平移直线 l，从图中可知，当直线 l 过 m 点时，目标函数取得最大值联立 xy300，5x2y900，解得x100，y200.点 m 的坐标为(100,200)zmax3000x2000y700000(元)20 / 29答：该公司在甲电视台做 100 分钟广告，在乙电视台做200 分钟广告，公司的收益最大，最大收益是 70 万元例 2(教材本小节例 3)活动：本例是整数线性规划问题整数线性规划问题的可行域是由满足不等式的整点组成的集合，所求的最优解必须是整数解我们知道，最优解一般都为边界的交点，若这个交点不是整数，则需要平移直线找到附近的最优解本例可由教师与学生共同完成点评：找整数最优解是个难点，要求画图精确，要使学生明白如何找整数最优解的原理.变式训练某公司招收男职员 x 名，女职员 y 名，x 和 y 必须满足约束条件 5x11y22，2x3y9，2x11，则z10x10y 的最大值是()A80 B85 c90 D95答案：c解析：画出约束条件表示的平面区域，如图所示由 x112，5x11y22，解得 A(112，92)而由题意知 x 和 y 必须是正整数，直线 yxz10 平移经过的整点为(5,4)时，z10x10y 取得最大值 90.21 / 29例 3 某人承揽一项业务，需做文字标牌 2 个，绘画标牌 3 个，现有两种规格的原料，甲种规格每张 3m2，可做文字标牌 1 个，绘画标牌 2 个，乙种规格每张 2m2，可做文字标牌 2 个，绘画标牌 1 个，求两种规格的原料各用多少张，才能使总的用料面积最小？解：设用甲种规格原料 x 张，乙种规格原料 y 张，则可做文字标牌 x2y 个，绘画标牌 2xy 个，由题意可得 x2y2，2xy3，x0，y0.所用原料的总面积为 z3x2y，作出可行域，如图阴影所示作直线 l0：3x2y0，作一组与直线 l0 平行的直线 l：3x2yt(tR)，当直线 l 通过 2xy3 与直线x2y2 的交点 A(43，13)时，t 取得最小值为 133.因为 43，13 都不是整数，而最优解(x，y)中，x、y 必须都是整数，所以可行域内点(43，13)不是最优解经过可行域内整点，点 B(1,1)满足 3x2y5，使 t 最小所以最优解为 B(1,1)，即用甲种规格原料 1 张，乙种规格原料 1 张，可使所用原料总面积最小为 5m2.知能训练1设变量 x，y 满足约束条件xy0，xy1，x2y1，则目标函数 z5xy 的最22 / 29大值为()A2B3c4D52设 x、y 满足约束条件x4y3，3x25，x1，分别求下列各式的最大值、最小值：(1)z6x10y；(2)z2xy；(3)z2xy(x，y 均为整数)答案：1D解析：如图，由可行域知目标函数 z5xy 过点A(1,0)时 z 取得最大值，zmax5.2解：(1)先作出可行域，如下图所示的ABc 的区域，且求得 A(5,2)、B(1,1)、c(1，225)作出直线 l0：6x10y0，再将直线 l0 平移，当 l0 的平行线 l1 过 B 点时，可使 z6x10y 达到最小值；当 l0 的平行线 l2 过 A 点时，可使 z6x10y 达到最大值zmin6110116；zmax6510250.(2)同上，作出直线 l0：2xy0，再将直线 l0 平移，23 / 29当 l0 的平行线 l1 过 c 点时，可使 z2xy 达到最小值；当 l0 的平行线 l2 过 A 点时，可使 z2xy 达到最大值zmax8，zmin125.(3)同上，作出直线 l0：2xy0，再将直线 l0 平移，当 l0 的平行线 l2 过 A 点时，可使 z2xy 达到最大值，zmax8.当 l0 的平行线 l1 过 c 点时，可使 z2xy 达到最小值，但由于 225 不是整数，而最优解(x，y)中，x、y 必须都是整数，可行域内的点 c(1，225)不是最优解当 l0 的平行线经过可行域内的整点(1,4)时，可使z2xy 达到最小值zmin2142.课堂小结1我们用线性规划解决了哪些实际问题？2教师点拨学生：你能用精练的几个字来说明利用线性规划解决实际问题的方法与步骤吗？(1)找：找出实际问题中的约束条件及目标函数；(2)画：画出线性约束条件所表示的可行域；(3)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域24 / 29有公共点且纵截距最大或最小的直线；(4)求：通过解方程组求出最优解；(5)答：作出答案即可用 5 个字来概括：找、画、移、求、答作业一、习题 35A 组 6；习题 35B 组 4、5.二、阅读本章小结设计感想1本课时设计注重学生的操作练习通过学生积极参与，动手操作，培养创造性思维、增强创新意识，使认知在练习中加深，兴趣在练习中勃发，情感在练习中陶冶，质量在练习中提高，目标在练习中实现2本课时注重了学生的能力训练通过本节的学习，向学生渗透数形结合的思想，深化对知识的理解和掌握，体验发现的快乐，增强创新意识，培养学生应用数学的意识3本课时设计强化使用现代化教学手段充分发挥多媒体教学的优势，利用计算机作为辅助工具，更清楚地展示区域问题，有利于发现区域问题的异同点，将信息技术和数学课件有机地结合起来，有利于突出重点，突破难点，有利于教学目标的实现备课资料一、备选例题25 / 29【例 1】某糖果厂生产 A、B 两种糖果，A 种糖果每箱获利润 40 元，B 种糖果每箱获利润 50 元，其生产过程分为混合、烹调、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间：(单位：分钟)混合烹调包装A153B241每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用 12 小时，烹调的设备至多能用 30 小时，包装的设备至多能用 15小时，试求每种糖果各生产多少箱可获得最大利润？活动：找约束条件，建立目标函数解：设生产 A 种糖果 x 箱，B 种糖果 y 箱，可获得利润 z元，则此问题的约束条件x2y720，5x4y1800，3xy900，x0，y0 下，求目标函数 z40x50y 的最大值，作出可行域如图，其边界oA：y0，AB：3xy9000，Bc：5x4y18000，cD：x2y7200，Do：x0.由 z40x50y，得 y45xz50，它表示斜率为45，截距为 z50 的平行直线系，z50 越大，z 越大，从而26 / 29可知过 c 点时截距最大，z 取得了最大值解方程组 x2y7205x4y1800c(120,300)zmax401205030019800，即生产 A 种糖果120 箱，生产 B 种糖果 300 箱，可得最大利润 19800 元点评：由于生产 A 种糖果 120 箱，生产 B 种糖果 300 箱，就使得两种糖果共计使用的混合时间为1202300720(分)，烹调时间512043001800(分)，包装时间3120300660(分)，这说明该计划已完全利用了混合设备与烹调设备的可用时间，但对包装设备却有 240 分钟的包装时间未加利用，这种“过剩”问题构成了该问题的“松弛”部分，有待于改进研究【例 2】要将甲、乙两种大小不同的钢板截成 A、B 两种规格，每张钢板可同时截得 A、B 两种规格的小钢板的块数如下表所示：已知库房中现有甲、乙两种钢板的数量分别为 5 张和 10 张，市场急需 A、B 两种规格的成品数分别为 15 块和27 块(1)问各截这两种钢板多少张可得到所需的成品数，且使所用的钢板张数最少？(2)若某人对线性规划知识了解不多，而在可行域的整点中随意取出一解，求其恰好取到最优解的概率27 / 29解：设需截甲、乙两种钢板的张数分别为 x、y，则2xy15，x3y27，0x5，0y10，作出可行域如图(1)因为目标函数为 zxy(x、y 为整数)，所以在一组平行直线 xyt(t 为参数)中，经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是 xy12，其经过的整点是(3,9)和(4,8)，它们都是最优