2013中考复习相似专题讲座解析版_20130503_文档.doc

相似专题总结及应用一、知识性专题 专题1 比例线段 例一、【专题解读】线段的比、黄金分割与比例的性质（2012北京，15，5）已知，求代数式的值【答案】设a=2k,b=3k，原式=【点评】本题考查了见比设份的解题方法，以及分式中的因式分解，约分等。例二、（2011山东省潍坊）已知矩形ABCD中，AB=1,在BC上取一点E ,沿AE将ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（ ）AB C D2解答：根据已知得四边形ABEF为正方形。因为四边形EFDC与矩形ABCD相似所以DF:EF=AB:BC 即 （AD-1）:1=1:AD 整理得：,解得由于AD为正，得到AD=，本题正确答案是B.点评：本题综合考察了一元二次方程和多边形的相似，综合性强。例三、（2012湖北省恩施市，题号20 分值 8）如图8，用纸折出黄金分割点：裁一张正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置B1，因而EB1=EB。类似的，在AB上折出点B11使AB11=AB1。这是B11就是AB的黄金分割点。请你证明这个结论。【解析】设BE=1，可知BC=AB=2，AE=，由EB1=EB得AB11=AB1= -1,根据黄金分割意义AB11：AB=（-1）：2，问题得证。【答案】证明：设BE=1，则BC=AB=2，AE=，EB1=EB，AB11=AB1= -1,AB11：AB=（-1）：2，B11是AB的黄金分割点。【点评本题既考查学生阅读理解能力，又考查考查黄金分割点的意义，难度中等。数学新课程标准非常重视培养学生的动手操作能力，提倡让学生在操作中感受和体验数学知识的形成和发展 把握折叠过程中的等边是解答此类问题的关键，勾股定理是计算折叠问题中线段长度的重要工具。专题2 乘积式或比例式的证明【专题解读】 证明形如，或=1的式子，常将其转化为若干个比例式之积来解决如要证，可设法证，然后将两式相乘即可，这里寻找线段x便是证题的关键。 例一、 如图2797所示，在等腰三角形ABC中，过A作ADBC，过C作CEAB，又作DFCE，FGAD，求证 分析 欲证，可将其分成三个比例式，再将三式相乘即可不难得知x就是CD，而线段y在原图中没有，由相似关系可延长FG交AB于K，则y就是GK，只要证明就可以了 证明：延长FG交AB于K，连接DK， DFEC，BEEC，DFBE， ABAC，ADBC， BDDC，EFCF FGBC，12， RtFDCRtEKF， KFDC，34， 四边形KFCD是平行四边形，25， EKD3+54+290， DKAB， DFAB，BADFDG，RtADBRtDGF， GKBD，AKGABD， 在ABD中，ADB90，DKAB，ADBAKD 又AKDKGD,ADBKGD， 由，得例二、 如图2798所示，在ABC中，已知A：B：C=1：2：4，求证. 分析 原式等价于1，也就是，在CA上取一点D，使CDBC，原式就变成，要证明这个比例式，需要构造相似三角形，为此作ACB的平分线CE，交AB于点E，连接DE，显然有BCEDCE，从而易证ADDECE，于是只需证即可 证明：A：B：C1：2：4， 设Ax，则B2x，C4x 作CE平分BCA，交AB于E， 在AC边上取一点D，使CDCB，连接DE， DCEBCE，CDEB2x，DECBEC=3x， 又CDEA+DEA，DEAx，ADDE， 又DEEC，ADCE 在ABC和ACE中，CABCAE，ACEB2x， ABCACE， 即， ,=1 即.例三、(2012山东日照) 如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点,连结AE，作BFAE，垂足为H,交CD于F,作CGAE,交BF于G. (1)求证CG=BH;(2)FC2=BFGF;(3) =.BACDHEFG解析：(1)可证ABHBCG；(2)证CFGBFC可得；(3)先证BCGBFC得BC2=BFBG,结合AB=BC可得.证明： （1）BFAE，CGAE, CGBF, CGBF. 在正方形ABCD中，ABH+CBG=90o, CBG+BCG=90o, BAH+ABH=90o,BAH=CBG, ABH=BCG, AB=BC,ABHBCG,CG=BH; (2) BFC=CFG, BCF=CGF=90 o,CFGBFC, ,即FC2=BFGF; (3) 由（2）可知，BC2=BGBF,AB=BC,AB2=BGBF, =即= 点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质，解题的关键是找到全等（或相似）三角形，并找到三角形全等（或相似）的条件.例四、（2011江苏苏州）如图，已知ABC的面积是的等边三角形，ABCADE，AB=2AD，BAD=45，AC与DE相交于点F，则AEF的面积等于_（结果保留根号）.【答案】专题三位似图形：例一、（2012湖北咸宁，6，3分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1，点A的坐标为(1，0)，则E点的坐标为（ ）（第6题）yxAOCBDEFA(，0)B(，)C(，)D(2，2) 【解析】由已知得，E点的坐标就是点A坐标的倍【答案】C例二、（2012年广西玉林市，10，3）如图，正方形ABCD的两边BC、AB分别在平面直角坐标系内的x轴、y轴的正半轴上，正方形ABCD与正方形ABCD是以AC的中点O为中心的位似图形，已知AC=，若点A的坐标为（1，2），则正方形ABCD与正方形ABCD的相似比是（）分析：延长AB交BC于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比解：在正方形ABCD中，AC=BC=AB=3，延长AB交BC于点E，点A的坐标为（1，2），OE=1，EC=AE=3-1=2，正方形ABCD的边长为1，正方形ABCD与正方形ABCD的相似比是 故选B点评：本题考查了位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键是根据已知条件求得两个正方形的边长提优训练一、（2012陕西 ）如图，正三角形的边长为（1）如图，正方形的顶点在边上，顶点在边上在正三角形及其内部，以为位似中心，作正方形的位似正方形，且使正方形的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作出的正方形的边长；（3）如图，在正三角形中放入正方形和正方形，使得在边上，点分别在边上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由【解析】（1）连接AP并延长交AC于点，这是画图关键.（2）利用等边三角形、正方形、30锐角的直角三角形性质列方程求解. （3）用两个正方形的边长的代数式表示出它们的面积和，再求最大值和最小值.【答案】解：（1）如图，正方形即为所求（2）设正方形的边长为为正三角形，即（3）如图，连接，则设正方形、正方形的边长分别为，它们的面积和为，则，延长交于点，则在中，即）当时，即时，最小）当最大时，最大即当最大且最小时，最大，由（2）知，【点评】本题以位似变换为基础，综合考查了正三角形、正方形、勾股定理、直角三角形边角关系等重要知识点.本题三小问之间互相关联，并逐级推进，其中第三小问在表示出面积的函数关系式的时候要朝着有利于解决问题的方向转化，仅此一点难度较大！提优训练二、（2012南京市）“？”的思考下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批语.题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室前内侧保留3米宽的空地，其他三内测各保留1米宽的道路，当温室的长与宽各是多少时，矩形蔬菜种植区的面积为2882? 解：设矩形蔬菜种植区域的宽为，则长为2xm. ？ 根据题意，得2xx=288 解这个方程，得x1=-12(不合题意，舍去)，x2=12 所以温室的长为212+3+1=28（m），宽为12+1+1=14（m）. 答：当温室的长为28米，宽为14米时，矩形蔬菜种植区域的面积是288米2.我的结果也正确！小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中化了一条横线，并打了一个“？”.结果为何正确呢？（1） 请你指出小明解答过程中存在的问题，并补充缺少的过程；变化一下会怎样（2）如图，矩形ABCD在矩形ABCD内部.ABAB，ADAD，且AD:AB=2:1,设AB与AB、BC与BC、CD与CD、DA与DA之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形ABCD矩形ABCD，a、b、c、d满足什么条件？请说明理由.解析：这里有长方形温室、长方形种植区域，弄清楚这两个长方形长宽之间的关系，再利用面积关系、相似比例列出方程.答案：（1）这里的长与宽的比为2：1，是蔬菜大棚的长与宽，而不是蔬菜种植区域. 设蔬菜大棚的宽为xm，则其长为2x,蔬菜种植区域的长为（2x-3-1）=(2x-4)m、宽为(x-1-1)=(x-2)m. 有题意得， (2x-4) (x-2)=288 解这个方程，得x1=-10(不合题意，舍去)，x2=14所以温室的长为214=28（m） 答：当温室的长为28米，宽为14米时，矩形蔬菜种植区域的面积是288米2. （2）设AB=x，则AD=2x，那么AD=2x-a-c,AB=x-b-d 矩形ABCD矩形ABCDAD:AB=AD:AB=2:1AD=2AB2x-a-c=2(x-b-d)a+c=2b+2d二、规律方法专题专题1：相似三角形的判定 知识复习填空1_三角形一边的_和其他两边_，所构成的三角形与原三角形相似2如果两个三角形的_对应边的_，那么这两个三角形相似3如果两个三角形的_对应边的比相等，并且_相等，那么这两个三角形相 似4如果一个三角形的_角与另一个三角形的_，那么这两个三角形相似1平行于，直线，相交2三组，比相等3两组，相应的夹角4两个，两个角对应相等例一、（2012山东省聊城）如图，ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，下列结论不正确的是（ ）A.BC=2DE B. ADEABC C. D. 解析：根据三角形中位线定义与性质可知，BC=2DE；因DE/BC，所以ADEABC，AD：AB=AE：AC，即AD：AE=AB：AC，.所以选项D错误.例二、M型相似图形-已知：如图，梯形ABCD中，ABDC，B90，AB3，BC11，DC6请问：在BC上若存在点P，使得ABP与PCD相似，求BP的长及它们的面积比例二、M型相似图形-BP2，或或9当BP2时，SABPSPCD19；当时，SABPSDCP14；当BP9时，SABP：SPCD94例三、黄金三角形型相似图形-已知：如图，ABC中，A36，ABAC，BD是角平分线(1)求证：AD2CDAC；(2)若ACa，求AD例三、黄金三角形型相似图形- (1)提示：证ABCBCD；(2)变式训练1、（2011江苏宿迁）如图，在RtABC中，B90，AB1，BC，以点C为圆心，CB为半径的弧交CA于点D；以点A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E（1）求AE的长度；（2）分别以点A、E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F（F与C在AB两侧），连接AF、EF，设EF交弧DE所在的圆于点G，连接AG，试猜想EAG的大小，并说明理由（第28题）【答案】解：（1）在RtABC中，由AB1，BC得 AC BCCD，AEADAEACAD （2）EAG36，理由如下： FAFEAB1，AEFAE是黄金三角形F36，AEF72AEAG，FAFEFAEFEAAGEAEGFEAEAGF36例四、（2012四川省资阳）如图，在ABC中，C90，将ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MNAB，MC6，NC，则四边形MABN的面积是AB CD（第10题图）【解析】由MC6，NC，C90得SCMN=，再由翻折前后CMNDMN得对应高相等；由MNAB得CMNCAB且相似比为1:2，故两者的面积比为1:4，从而得SCMN：S四边形MABN=1:3，故选C.【答案】C例五、（2012湖北随州）如图，点D,E分别在AB、AC上，且ABC=AED。若DE=4，AE=5，BC=8，则AB的长为_。10解析：ABC=AED，BAC=EADAEDABC，DE=10例六、（2012陕西）如图，在中，的平分线分别与、交于点、（1）求证：；（2）当时，求的值【解析】（1）由等角对等边来进行证明；（2）由先求出，再求.【答案】解：（1）如图，在中，是的平分线，（2），【点评】本题综合考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等角对等边、相似三角形的性质等.难度中等.专题2：相似三角形的性质知识复习填空1相似三角形的对应角_，对应边的比等于_2相似三角形对应边上的中线之比等于_，对应边上的高之比等于_，对应角的角平分线之比等于_3相似三角形的周长比等于_4相似三角形的面积比等于_5相似多边形的周长比等于_，相似多边形的面积比等于_6若两个相似多边形的面积比是1625，则它们的周长比等于_7若两个相似多边形的对应边之比为52，则它们的周长比是_，面积比是_1相等，相似比 2相似比、相似比、相似比3相似比 4相似比的平方5相似比相似比的平方 645752，254【专题解读】 相似三角形是初中数学重要的内容之一，其应用广泛，可以证明线段相等、平行、垂直，也可以计算图形的面积及线段的比值等，解题的关键是识别(或构造)相似三角形的基本图形 例1、如图2799所不，在ABC中，看DEBC，DE4 cm，则BC的长为 ( ) A8 cm B12 cm C11 cm D10 cm 分析 由DEBC，可得ADEABC，因为，所以,所以因为DE=4 cm，所以BC=12 cm故选B. 例2、 如图27100所示，在ABC中，ABBC12 cm，ABC80，BD是ABC的平分线，DEBC. (1)求EDB的度数； (2)求DE的长 分析 (1)由DEBC，得EDBDBCABC，可求EDB(2)由DEBC，得ADEACB，则，再证出BEDE，可求DE 解：(1)DEBC，EDBDBC. BD平分ABC， DBCABC8040，EDB40 (2)BD平分ABC，ABDDBC， DEBC，EDBDBC， EDBEBD，BEDE DEBC，ADEACB， . ，DE=6 cm 【解题策略】 将比例式中的AE转化为ABDE，逐步由未知转化为已知，建立关于DE的关系式来求解 例3、 如图27101所示，点D，E在BC上，且FDAB，FEAC，求证ABCFDE分析 由已知可证FDEB，FEDC，从而可证ABCFDE证明：FDAB，FEAC，FDEB，FEDC，ABCFDE 例4、 （08无锡）如图27102所示，已知点正是矩形ABCD的边CD上一点，BFAE于点F，求证ABFEAD 分析 由矩形的性质可知BADD90，再由BFAE可证AFBD和DAEFBA，从而证明ABFEAD 证明：在矩形ABCD中，BADD=90，BFAE，AFBD90， ABF+BAE90又DAE+BAEBAD90， ABFEAD，ABFEAD，例5、(2012重庆，12，4分)已知ABCDEF，ABC的周长为3，DEF的周长为1，则ABC与DEF的面积之比为_相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，答案：9：1例6、（2012安徽，22，12分）如图1，在ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、AB=c.（1）求线段BG的长；解：（2）求证：DG平分EDF;（3）连接CG，如图2，若BDG与DFG相似，求证：BGCG.解析：已知三角形三边中点连线，利用三角形中位线性质计算证明.（1）已知ABC的边长，由三角形中位线性质知，根据BDG与四边形ACDG周长相等，可得.（2）由（1）的结论，利用等腰三角形性质和平行线性质可证. （3）利用两个三角形相似，对应角相等，从而等角对等边，BD=DG=CD，即可证明.解（1）D、C、F分别是ABC三边中点DEAB,DFAC，又BDG与四边形ACDG周长相等即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AGBG=AC+AGBG=ABAGBG=（2）证明：BG=，FG=BGBF=FG=DF,FDG=FGD又DEABEDG=FGDFDG=EDGDG平分EDF（3）在DFG中，FDG=FGD, DFG是等腰三角形,BDG与DFG相似,BDG是等腰三角形,B=BGD,BD=DG,则CD= BD=DG,B、CG、三点共圆,BGC=90,BGCG点评：这是一道几何综合题，在计算证明时，根据题中已知条件，结合图形性质来完成.后面的问题可以结合前面问题来做.例7、（2012浙江省衢州）如图，ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD=2DE.若DEF的面积为a，则ABCD中的面积为 .(用a的代数式表示)【解析】根据四边形ABCD是平行四边形，利用已知得出DEFCEB，DEFABF，进而利用相似三角形的性质分别得出CEB、ABF的面积为4a、9a，然后推出四边形BCDF的面积为8a即可.【答案】12a例8、（2011甘肃兰州，27，12分）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（ADAB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE。（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm，ABF的面积为24cm2，求ABF的周长；（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=ACAP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由.ABCDEFO分析：（1）通过证明AOECOF，可得四边形AFCE是平行四边形；由折叠的性质，可得AE=EC，即可证明；（2）由勾股定理得AB2+FB2=100，ABF的面积为24cm2可得，ABBF=48；变换成完全平方式，即可解答；（3）过点E作AD的垂线，交AC于点P，通过证明AOEAEP，即可证明；解答：（1）证明：由题意可知OA=OC，EFAO，ADBC，AEO=CFO，EAO=FCO，AOECOF，AE=CF，又AECF，四边形AECF是平行四边形，ACEF，四边形AECF是菱形；（2）四边形AECF是菱形，AF=AE=10cm，设AB=a，BF=b，ABF的面积为24cm2，a2+b2=100，ab=48，（a+b）2=196，a+b=14或a+b=14（不合题意，舍去），ABF的周长为14+10=24cm；（3）存在，过点E作AD的垂线，交AC于点P，点P就是符合条件的点；证明：AEP=AOE=90，EAO=EAP，AOEAEP，=，AE2=AOAP，四边形AECF是菱形，AO=AC，AE2=ACAP，2AE2=ACAP例9、（2011湖南益阳,21,12分）如图是小红设计的钻石形商标，ABC是边长为2的等边三角形，四边形ACDE是等腰梯形，ACED，EAC=60，AE=1（1）证明：ABECBD；（2）图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比（不添加辅助线，不找全等的相似三角形）；（3）小红发现AM=MN=NC，请证明此结论；（4）求线段BD的长分析：（1）由ABC是等边三角形，得AB=BC，BAC=BCA=60，由四边形ACDE是等腰梯形，得AE=CD，ACD=CAE=60，利用“SAS”判定ABECBD；（2）存在可利用ABCD或AEBC得出相似三角形；（3）由（2）的结论得=2，即CN=AC，同理，得AM=AC，可证AM=MN=NC；（4）作DFBC交BC的延长线于F，在RtCDF中，由CDF=30，CD=AE=1，可求CF，DF，在RtBDF中，由勾股定理求BD解答：（1）证明：ABC是等边三角形，AB=BC，BAC=BCA=60（1分）四边形ACDE是等腰梯形，EAC=60，AE=CD，ACD=CAE=60，BAC+CAE=120=BCA+ACD，即BAE=BCD（2分）在ABE和BCD中，AB=BC，BAE=BCD，AE=CD，ABECBD（3分）（2）存在答案不唯一如ABNCDN证明：BAN=60=DCN，ANB=DNC，ANBCND（5分）其相似比为：=2；（6分）（3）由（2）得=2，CN=AN=AC，（8分）同理AM=AC，AM=MN=NC（9分）（4）作DFBC交BC的延长线于F，BCD=120，DCF=60（1O分）在RtCDF中，CDF=30，CF=CD=，DF=；（11分）在RtBDF中，BF=BC+CF=2+=，DF=，BD=（12分）例10、（湖南株洲市）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8,沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O.（1）、求证：COMCBA；（2）、求线段OM的长度.【解析】要证明COMCBA就是要找出COM=B即可，求线段的长就是利用第（1）问中的相似建立比例式，构造出OM的方程求解.【解】（1）证明： A与C关于直线MN对称ACMNCOM=90在矩形ABCD中，B=90COM=B-1分又ACB=ACB-2分COMCBA -3分（2）在RtCBA中，AB=6，BC=8AC=10-4分 OC=5COMCBA-5分OM=-6分提优训练一. （2011四川绵阳）已知ABC是等腰直角三角形，A=90，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E,如图1.(1)若BD是AC的中线，如图2，求的值；(2)若BD是ABC的角平分线，如图3，求的值；(3)结合（1)、（2)，请你推断的值的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究的值能小于吗？若能，求出满足条件的D点的位置；若不能，请说明理由.【答案】(1)设AD=x,则AB=2x,根据勾股定理，可得BD=x,ABDCDE, ,可得CE=x,所以=（2）设AD=x,根据角平分线定理，可知DC=x，AB=x+x,由勾股定理可知BD= ABDCDE，,EC=,=2,(3)由前面两步的结论可以看出，,所以这样的点是存在的，D在AC边的五等分点和点A之间提优训练二、 （2011湖北武汉市，24，10分）（本题满分10分）（1）如图1，在ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DEBC，AQ交DE于点P求证： （2）如图，在ABC中，BAC=90，正方形DEFG的四个顶点在ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；如图3，求证MN2=DMEN【答案】（1）证明：在ABQ中，由于DPBQ，ADPABQ，DP/BQAP/AQ同理在ACQ中，EP/CQAP/AQDP/BQEP/CQ（2）（3）证明：BC=90，CEFC=90B=CEF，又BGD=EFC，BGDEFCDG/CFBG/EF，DGEFCFBG又DGGFEF，GF2CFBG由（1）得DM/BGMN/GFEN/CF（MN/GF）2(DM/BG)(EN/CF)MN2DMEN专题3：射影定理的灵活运用双垂直结论:射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 ACDCDBAD:CD=CD:BDCD2=ADBDACDABCAC:AB=AD:ACAC2=ADABCDBABCBC:AC=BD:BCBC2=BDAB结论：得AC2:BC2=AD:BD结论：面积法得ABCD=ACBC比例式例一、已知：如图，在RtABC中，ACB90，CDAB于D，想一想，(1)图中有哪两个三角形相似?(2)求证：AC2ADAB；BC2BDBA；(3)若AD2，DB8，求AC，BC，CD；(4)若AC6，DB9，求AD，CD，BC；(5)求证：ACBCABCD例一、答案(1)ADCCDB，ADCACB，ACBCDB；(2)略；(3)(4)(5)提示：ACBC2SABCABCD 三、思想方法专题 专题1、 分类讨论思想【专题解读】 分类讨论思想是一种重要的数学思想，我们在研究问题的解法时，应把可能出现的各种情况都加以考虑，这样才能全面、严谨地思考问题例1、 在ABC中，ABBCAC，D是AC的中点，过点D作直线l，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线l有 条分析 如图27103所示，过点D作AB的平行线，或过点D作DFBC，或作CDHB，或作ADGB，故填4例2、（2012湖北武汉）已知ABC中，AB2，AC4，BC6（1）如图1点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使AMN与ABC相似，求线段MN的长；（2）如图2,是由100个边长为1的小正方形组成的1010正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形，请你在所给的网格中画出格点A1B1C1，使得A1B1C1与ABC全等（画出一个即可，不需证明）试直接写出在所给的网格中与ABC相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中的一个（不需证明）解析：1、当AMNABC时，易证MN为中位线，MN=3，当AMNACB时,有,根据AM,AC,BC的值，可求出MN。2 从整数边BC出发,选定BC,然后分别过B、C作边2、4长即可，关键在于怎样在格点中找到面积最大的相似三角形，可考虑在格点中先画出最长的三角形最长边（AC的对应边）正方形对角线，从而找到最大三角形。解：1、如图，当AMNACB时,有M为AB中点，AB=2 AM=BC=6，AC=4 MN=当AMNABC时，有ANM=C,=MN=3MN的长为或32、（1）如图3（答案不唯一）（2）8个，如图4（答案不唯一）点评：本题既考察了相似三角形的性质，也考察了图形的变换作图，在于学生需分两种情况讨论，学生容易忽略；（2）问难度在于怎样找到相似三角形中面积最大的以及找出所有这样的三角形的个数，解题时关键在于找到网格中的最长线段，让它与三角形最长边对应。题目难度较大。例3. 在ABC中，B25，AD是BC边上的高，并且，则BCA的度数为_。解：（1）当高AD在ABC内时，如图4。图4又ADBCDA，ADBCDABADACDCADACD90CADBAD90B25，BCA65（2）当高AD在ABC外时，如图5。图5同理可证ADBCDAABDCAD25ACD65BCA180ACD115评析：本题一方面考查相似三角形的判定和性质，另一方面考查分类讨论的思想方法。提优训练一、（2012年吉林）如图，在ABC中，A=90，AB=2cm,AC=4cm,动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动当点P到达点B时，P, Q两点同时停止运动以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QFBC,交AC于点F.设点P的运动时间为t s,正方形APDE和梯形BCFQ重合部分的面积为Scm（1）当t=_s时，点P与点Q重合；（2）当t=_s时，点D在QF上；（3）当点P在Q, B两点之间（不包括Q, B两点）时，求S与t之间的函数关系式【解析】(1)由于P, Q的运动速度相同都是1cm/s，所以P, Q重合的点是AB的中点(2) 由QFBC可证AQFABC,得出比例式，问题得证（1） 要分两种情况：当时，重合部分的图形是直角梯形确定上下底和高需证FEGFAQ和AQFABC.当时，重合部分的图形是六边形它的面积【答案】（1）P, Q的运动速度都是1cm/s,P, Q在AB的中点重合当t=1s时，P, Q重合（2） QFAC即AF=4-2t又DPAF即（3）当1t时，如图1、图2.FQBC即AF=4-2t，EF=4-3t又DEABFEGFAQ得，EG=GD=t-()=QP=AP-AQ=t-(2-t)=2t-2S=当时，由AFQABC得，,AF=4-2x.同理由CEHCBA可得EH=，HD=；BPGBAC,得PG=4-2t，DG=t-(4-2t)=3t-4S= =【点评】此题主要考查了相似三角形的性质以及正方形的性质，利用分类讨论思想进行分析即可得出答案是解题关键提优训练二、 （08浙江温州）如图，在中，分别是边的中点，点从点出发沿方向运动，过点作于，过点作交于，当点与点重合时，点停止运动设，（1）求点到的距离的长；（2）求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由ABCDERPHQ6. 解：（1），点为中点，ABCDERPHQM21，（2），即关于的函数关系式为：（3）存在，分三种情况：ABCDERPHQ当时，过点作于，则，ABCDERPHQ，当时，当时，则为中垂线上的点，于是点为的中点，综上所述，当为或6或时，为等腰三角形 专题2、 建模思想 【专题解读】本章建模思想多用于将实际问题转化为几何图形，然后根据相似的性质解决问题 例1、 如图27104所示，小明想用皮尺测量池塘A，B间的距离，但现有皮尺无法直接测量池塘A，B间的距离，学习有关的数学知识后，他想出了一个主意，先在地面上取一个可以直接到达A，B两点的点O，连接OA，OB，分别在OA，OB上取中点C，D，连接CD，并测得CDa，由此他知道A，B间的距离是( ) Aa B2a Ca D3a 分析 D，C分别为OB，OA的中点，CD是ABO的中位线，CDAB，AB2CD2a故选D 【解题策略】 此题将所求问题转化为三角形中位线的问题来解决 例2、 如图27105所示，九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD3 m，标杆与旗杆的水平距离BD15 m，人的眼睛与地面的高度EF16 m，人与标杆CD的水平距离DF2 m，求旗杆AB的高度 分析 利用相似三角形得比例式，构建线段关系求线段长 解：因为CDFB，ABFB，所以CDAB， 所以CGEAHE，所以，即，所以，解得AH119，所以ABAH+HBAH+EF11.9+1.613.5(m)故旗杆AB的高度为135 m例3、一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.8m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图所示，他先测得留在墙上的影高为1.2m，又测得地面部分的影长为5m，请算一下这棵树的高是多少?例4、(针孔成像问题)根据图中尺寸(如图，ABAB)，可以知道物像AB的长与物AB的长之间有什么关系?你能说出其中的道理吗?例5、在一次数学活动课上，李老师带领学生去测教学楼的高度，在阳光下，测得身高为1.65m的黄丽同学BC的影长BA为1.1m，与此同时，测得教学楼DE的影长DF为12.1m，如图所示，请你根据已测得的数据，测出教学楼DE的高度(精确到0.1m)例6、(1)已知：如图所示，矩形ABCD中，AC，BD相交于O点，OEBC于E点，连结ED交OC于F点，作FGBC于G点，求证点G是线段BC的一个三等分点(2)请你仿照上面的画法，在原图上画出BC的一个四等分点(要求：写出作法，保留画图痕迹，不要求证明)例3、树高7.45m例4、例5、EFAC，CABEFD又CBAEDF90，ABCFDE故教学楼的高度约为18.2m例6、(1)提示：先证EFED13(2)略专题3、 转化思想 【专题解读】 本章中的转化思想主要用于解决一些比例线段的问题 例1、 如图27106所示，已知E为ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE交AC于O，交AD于F求证BO2OFOE 分析 要证BO2OFOE，只需证，而OB，OE，OF在一条直线上，因此不能通过三角形相似证得，于是想到要用中间比，而由已知可证AOFCOB和AOBCOE，即有，从而得证 证明：在ABCD中，ABCE，ADBC， AOFCOB，AOBCOE， ， OB2OFOE 例2、 在ABC和DEF中，AB2DE，AC2DF，AD，如果ABC的周长是16，面积是12，那么DEF的周长、面积依次为 ( ) A8，3 B8，6 C4，3 D4，6 分析 由AB2DE，AC2DF，AD，得ABCDEF，且相似比为2，则，所以SDEF3，DEF的周长为8故选A 例3、 已知ABC与DEF相似且面积比为4：25，则ABC与DEF的相似比为 分析 利用相似三角形的性质求解故填2：5 例4 、 已知ABCABC，且SABC：SABC1：2，则AB：AB 分析 根据相似三角形面积比等于相似比的平方，且SABC：SABC1：2，得AB：AB1：.故填1：. 例5 、（2012山东泰安）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2，BC=3，则FC与DG的面积之比为（ ）A.9：4 B.3：2 C.4：3 D.16：9【解析】设CF=x，则BF=3-x，由折叠得F=BF=3-x,在RtFC中，由由勾股定理得CF2+C2=F2，x2+12=(3-x)2,解得x=,由已知可证RtFCRtDG，AR所以SFC与SDG的面积为（：1）2=.【答案】D.专题4、 数形结合思想 例1 、（2012山东泰安）如图，E是矩形ABCE的边BC上一点，EFAE，EF分别交AC、CD于点M、F，BGAC，垂足为G，BG交AE于点H。（1）求证：ABEECF；（2）找出与ABH相似的三角形，并证明；（3）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长。【解析】（1）由四边形ABCD是矩形，可得ABE=ECF=90，又由EFAE，利用同角的余角相等，可得BAE=CEF，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似，即可证得：ABEECF；（2）由BGAC，易证得ABH=ECM，又由（1）中BAH=CEM，即可证得ABHECM；（3）首先作MRBC，垂足为R，由AB：BC=MR：RC=2，AEB=45，即可求得MR的长，又由EM=，即可求得答案【答案】（1）证明：四边形ABCD是矩形，ABE=ECF=90AEEF，AEB+FEC=90AEB+BEA=90，BAE=CEF，ABEECF.（2）ABHECM证明：BGAC，ABG+BAG=90，ABH=ECM，由（1）知，BAH=CEM，ABHECM.（3）解：作MRBC，垂足为R，AB=BE=EC=2，AB：BC=MR：RC=2，AEB=45，MER=45，CR=2MR，MR=ER=RC=，EM=【点评】考查了矩形的性质，直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及三角函数等知识解题时注意数形结合思想的应用，注意掌握“有两组角对应相等的两个三角形相似”定理的应用提优训练一、（2012四川宜宾，24，12分）如图，在ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且ABCDEF，将DEF与ABC重合在一起，ABC不动，DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A,EF与AC交于M点。（1） 求证：ABEECM;（2） 探究：在DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；（3） 当线段AM最短时，求重叠部分的面积。【解析】（1）由AB=AC，根据等边对等角，可得B=C，又由ABCDEF与三角形外角的性质，易证得CEM=BAE，则可证得：ABEECM；（2）首先由AEF