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第5章 传染病模型 本课件部分Slides本课件部分Slides 来自百度文库吕红PPT和谢金星老 师PPT师PPT 致命的瘟疫致命的瘟疫 在人类历史上 天花和黑死病 痢疾 霍乱等瘟疫都留下了惊人的死亡数字霍乱等瘟疫都留下了惊人的死亡数字 公元前 1100多年前 印度 或埃及出现急性传染病天花或埃及出现急性传染病天花 公元前3 前2世纪 印度和 中国流行天花公元165中国流行天花 公元165 180年 罗马帝国天花大流行 1 4的人口死 亡6世纪欧1 4的人口死 亡 6世纪 欧 洲天花流行 造成10 的人 口死亡1718世纪天花口死亡 17 18世纪 天花 是欧洲最严重的传染病 死 亡人数高达1 5亿19世纪中亡人数高达1 5亿 19世纪中 叶 中国福建等地天花流行 病死率超过1 21900 病死率超过1 2 1900 1909年 俄国因天花死亡50 万人万人 据史书记载 霍乱于据史书记载 霍乱于 1817年首次在印度流行 1823年传入俄国 1831年 传入英国 19世纪初至20世纪末19世纪初至20世纪末 大规模流行的世界性 霍乱 共发生8次 共发生8次 1817 1823年霍乱第一次大规模流行从 人类霍乱的故1817 1823年 霍乱第次大规模流行 从人类霍乱的故 乡 印度恒河三角洲蔓延到欧洲 仅1818年前后便使英国6万 余人丧生 1961年出现第七次霍乱大流行 始于印度尼西亚 余人丧生年出现第七次霍乱大流行 始于印度尼西亚 波及五大洲140多个国家和地区 报告患者逾350万 1992年10 月 第八次霍 乱大流行 席卷印度和孟加拉国部分地区 短短 个月就报告病例余万死亡人数达千人随后波及许2 3个月就报告病例10余万 死亡人数达几千人 随后波及许 多国家和地区 疟疾每年在全球有五亿宗病例 导致超过 100 万人死亡 大部份在非洲发生 世界卫生组织指出万人死亡 大部份在非洲发生 世界卫生组织指出 疟疾平均每 30 秒杀死一个 5 岁以下的儿童 疟疾 也是导致非洲经济一直陷于困境的主要原因之一 也是导致非洲经济直陷于困境的主要原因之 公元前430 前427年 雅典发生鼠疫近 1 2雅典发生鼠疫 近 1 2 人口死亡 整个雅典几乎 被摧毁 第一次世界性鼠疫大流 行 始于公元6世纪 源自 中东 流行中心为近东地中东 流行中心为近东地 中海沿 岸 持续近60年 高峰期每天死亡万人 死 亡总数近1亿人 第二次世界性鼠疫大流行 史称 黑死病 1348 1351年在欧洲迅速蔓 延 亡总数近 亿人 第二次世界性鼠疫大流行 史称黑死病 13481351年在欧洲迅速蔓 延 患者3 5天内即死 3年内丧生人数达6200万 欧洲人口减少近1 4 其中威尼 斯减70 英国减58 法国减 3 4 此次 黑死病 延续到17世纪才消弭 续 第三次世 界性鼠疫大流行 1894年 香港地区爆发鼠疫 波及亚洲 欧洲 美 洲 非洲和澳洲的60多个国家 死亡逾千万人 其中 印度最严重 20年内死亡 102万多人 流行性感冒简称 流感 是由流感病 毒引起的急性呼吸毒引起的急性呼吸 道传染病 能引起 心肌炎 肺炎 支心肌炎 肺炎 支 气管炎等多种并发 症 极易发生流行症 极易发生流行 甚至达到世界范围 的大流行 1918 1919年爆发了席卷全球的流感疫病 的大流行 1918 1919年 爆发了席卷全球的流感疫病 导致2 000 5 000万人死亡 是历史上最严重的流 感疫症感疫症 自2003年来自2003年来 全世界已有14个国 家357人感染了禽家357人感染了禽 流感病毒 其中 219人因感染了该人因感染了该 病毒而死亡 目前的H5N1型病毒株仅能通过 禽类传染给人体 必须防范它与人类 的流行性感冒病毒株接触进行基因重的流行性感冒病毒株接触进行基因重 组 突变出 人传人 的禽流感病毒 禽流感一旦在人际传播 数亿人生命禽流感旦在人际传播 数亿人生命 将受到威胁 HIV是艾滋病的 病原体主要通过体病原体 主要通过体 液 血液传播 艾滋病联合规划署 和世界卫生组织在 2006艾滋病流行 2006艾滋病流行 最新情况 报告中说 世界上每隔8秒钟就世界上每隔8秒钟就 有一人感染HIV 全 球每天有1 1万人感 染HIV 与此同时 每天有8000名感染 者丧命者丧命 SARS Severe Acute Severe Acute Respiratory Syndrome 严重急性呼吸道综合症 俗称 非典型肺炎 是21 世纪第一个在23个国家 和地区范围内传播的传和地区范围内传播的传 染病 2002年11月16日中国广东佛山发现第一个非典型肺炎的病例 截至 2003年7月11日全球共8096名患者死亡人数达775死亡率约为9 56 2003年7月11日 全球共8096名患者 死亡人数达775 死亡率约为9 56 目前已经找到治疗方法 中国和欧盟科学家联手 成功找到了15种能 有效杀灭非典病毒的化合物香港大学的研究表明蝙蝠可能是SARS病有效杀灭非典病毒的化合物 香港大学的研究表明 蝙蝠可能是SARS病 毒野生宿主 几种传染病的基本传染指数几种传染病的基本传染指数 传染指数 传染指数 每例病人平均能传染的人数 天花天花 SARSSARS 小儿麻疹小儿麻疹 天花天花 艾滋病 水痘 艾滋病 水痘传染指数传染指数 百日咳百日咳 麻疹麻疹 0510152005101520 百日咳百日咳 英格兰德比郡的小村亚姆 Eyam 有一个别号 故 y 叫 瘟疫之村 但这个称呼并非耻辱 而 是一种荣耀 1665年9月初 村里的裁缝收到 故 事 了一包从伦敦寄来的布料 4天后他死了 月 底又有5人死亡 村民们醒悟到那包布料已将底又有 人死村民们醒悟到那包布料将 黑死病从伦敦带到了这个小村 在瘟疫袭来 的恐慌中 本地教区长说服村民作出了一个的恐慌中 本地教区长说服村民作出了个 勇气惊人的决定 与外界断绝来往 以免疾 病扩散 此举无异于自杀 一年后首次有外病扩散 此举无异于自杀 年后首次有外 人来到此地 他们本来以为会看到一座鬼村 却惊讶地发现 尽管全村350名居民有260人却惊讶地发现 尽管全村350名居民有260人 被瘟疫夺去生命 毕竟还有一小部分人活了 下来 下来 传染病是人类的大敌 通过疾病传播过程传染病是人类的大敌 通过疾病传播过程 中若重要素之间的联系建立微分方程加以中若重要素之间的联系建立微分方程加以中若中若干干重要重要因因素之间的联系建立微分方程加以素之间的联系建立微分方程加以 讨论 研究传染病流行的规律并找出控制疾病讨论 研究传染病流行的规律并找出控制疾病 流行的方法显然是一件十分有意义的工作 流行的方法显然是一件十分有意义的工作 描述传染病的传播过程描述传染病的传播过程 描述传染病的传播过程描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的按照传播过程的一一般规律般规律用机理分析方用机理分析方 按照传播过程的般规律按照传播过程的般规律 用机理分析方用机理分析方 法建立模型法建立模型 模型模型1区分已感染者区分已感染者 病人病人 和未感染者和未感染者 健康人健康人 模型模型1区分已感染者区分已感染者 病人病人 和未感染者和未感染者 健康人健康人 假设假设 1 总人数总人数N不变不变病人和健康病人和健康 假设假设 1 总人数总人数N不变不变 病人和健康病人和健康 人的 比例分别为人的 比例分别为 tsti SI 模型模型 2 每个病人每天有效接触人数 每个病人每天有效接触人数 为为 且且使接触的健康人致病使接触的健康人致病 日日 接触率接触率 为为 且且使接触的健康人致病使接触的健康人致病 建模建模ttNitstittiN 接触率接触率 si di 建模建模ttNitstittiN 1 ii di si dt 1 tits 0 1 ii ii dt 1 tits 0 0 ii 1 ii di 模型模型1Li ti 模型 0 1 ii ii dt 模型模型1 i Logistic 模型 ti 1 1 0 0 iii 1 t e i 1 1 1 0 1 2 0 tm i0 0 t 1 1 ln 1 t tm0 t 1ln 0 i t m t tm di dt 最大最大 tm 传染病高潮到来时刻传染病高潮到来时刻 日接触率日接触率 1 it 病人可以治愈病人可以治愈 日接触率日接触率 tm 病人可以治愈病人可以治愈 模型模型 传染病无免疫性传染病无免疫性病人治愈成病人治愈成 模型模型2 传染病无免疫性传染病无免疫性 病人治愈成病人治愈成 为健康人 健康人可再次被感染为健康人 健康人可再次被感染 SIS 模型模型 增加假设增加假设 3 病人每天治愈的比例为 病人每天治愈的比例为 日治愈率日治愈率 ttNittitNstittiN 建模建模 1 iii dt di 1 1 ii 0 0 ii dt 日接触率日接触率 1 感染期感染期 一个感染期内每个病人的一个感染期内每个病人的 有效感染人数有效感染人数称为称为接触数接触数1 感染期感染期有效感染人数有效感染人数 称为称为接触数接触数 1 1 ii di 模型模型2 接触数接触数 感染期内每个感染期内每个 1 ii dt 模型模型2 i0 di dt 1 i 1 i 1 病人的有效接触人数病人的有效接触人数 i0 i0 1 1 1 1 1 di dt 1 1 1 i 1 0 t 0 t i t 单调下降单调下降 1 0 感染期内有效接触使健康者感感染期内有效接触使健康者感 染的人数不超过原有的病人数染的人数不超过原有的病人数 1 i01 i01 i t 先升后降至先升后降至 0 1 阈值阈值 传染病不蔓延传染病不蔓延 0 P2 s0 1 i t 单调降至单调降至0 阈值阈值 模型模型3 SIR模型模型 预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 模型模型3 SIR模型模型 传染病不蔓延的条件传染病不蔓延的条件 s0 1 提高阈值提高阈值 1 降低降低 日接触率日接触率 卫生水平 卫生水平 日治愈率日治愈率 医疗水平医疗水平 降低降低 s0提高提高 r0群体免疫群体免疫 的估计的估计 降低降低 s0提高提高 r0 1 000 ris 群体免疫群体免疫 ss0lnln 的估计的估计 0ln 1 00 s sis忽略忽略i0 ss0 0 00 s 忽略忽略 0 模型模型3 预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 模型模型3 降低日接触率降低日接触率 提高日治愈率提高日治愈率 提高移出比例提高移出比例r0 以最终未感染比例以最终未感染比例s 和病人比例最大值和病人比例最大值im为度量指标为度量指标 1 s0i0s i 10 30 30 980 020 03980 3449 0 60 30 50 980 020 19650 1635 0 50 51 00 980 020 81220 0200 0 40 51 250 980 020 91720 0200 10 30 30 700 020 08400 1685 0 60 30 50 700 020 30560 0518 0 50 51 00 700 020 65280 02000 50 51 00 700 020 65280 0200 0 40 51 250 700 020 67550 0200 s0 r0 s im s im 模型模型3 SIR模型模型 被传染人数的估计被传染人数的估计 模型模型3 SIR模型模型 记被传染人数比例记被传染人数比例 ssx 0 0ln 1 0 00 s s sis 0 1ln 1 0 s x x i0 0 s0 10 0 2 1 1 2 x x i i0 0 s0 1 2 2 00 ss 1 2 x s0 1 2 00 ssx 0 s 1 P1 0 s s 2 x 小小 s 提高阈值提高阈值1 s0 1 降低降低被传染人数比例被传染人数比例 小小 s0 1 降低降低被传染人数比例被传染人数比例 x 传染病模型传染病模型传染病模型传染病模型 模型模型2 SIS 模型模型1 SI 模型模型2 SIS 模型模型3 SIR 考虑治愈考虑治愈 模型模型3 SIR 考虑治愈考虑治愈 模型模型2 3 描述传播过程描述传播过程 分析变化规律分析变化规律 预报高潮时刻预报高潮时刻 预防蔓延手段预防蔓延手段 模型模型3 数值计算与理论分析相结合数值计算与理论分析相结合 推广 定常出生的SIR模型推广 定常出生的SIR模型 假设易感者以定常速率增长 假设易感者以定常速率增长 进一步推广进步推广 SnEnInR nnn V QW V Q Sl lEl lIl lD S E I The subscript refers to normally active n or less active l Sl lEl lIl lD The subscript refers to normally active n or less active l Susceptibles S Exposed E Infectious I Vaccinated V Quarantined Q Isolated W Recovered R Dead D Quarantined Q Isolated W Recovered R Dead D SARS病例的职业类别发病率 1 100万 发病率 病例的职业类别发病率 1 100万 57 57 70 发病率 1 100万 57 57 50 60 30 40 0 89 1 692 1 5 93 8 05 10 20 0 260 89 1 692 1 0 农民学生商业人员家务待业干部职员离退人员医务人员 职业职 ModelModel Topology undirected finite graph G V E connected Xv 1 if node v V infected X 0 if node v healthy susceptibleXv 0 if node v healthy susceptible SIS epidemic contact process SIS