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平面三角 天马行空官方博客 三角函数与反三角函数 是五种基本初等函数中的两种 在现代科学的很多领域中有着广泛的应用 同时它也是高考 数学竞赛中的必考内容之一 天马行空官方博客 定义 同角三角函数的基本关系 图象性质 单位圆与三角函数线 诱导公式 C S T y asin bcos 的最值 形如y Asin x B图象 万能公式 和差化积公式 积化和差公式 S 2 C 2 T 2 S2 C2 T2 正弦定理 余弦定理 面积公式 降幂公式 三角解题常规 宏观思路 分析差异 寻找联系 促进转化 指角的 函数的 运算的差异 利用有关公式 建立差异间关系 活用公式 差异转化 矛盾统一 1 以变角为主线 注意配凑和转化 2 见切割 想化弦 个别情况弦化切 3 见和差 想化积 见乘积 化和差 4 见分式 想通分 使分母最简 5 见平方想降幂 见 1 cos 想升幂 6 见sin2 想拆成2sin cos 7 见sin cos 或 想两边平方或和差化积 8 见asin bcos 想化为 9 见cos cos cos 先 若不行 则化和差 微观直觉 10 见cos cos cos 2 想乘 sin sin pcos cos q 一 三角函数的性质及应用三角函数的性质大体包括 定义域 值域 奇偶性 周期性 单调性 最值等 这里以单调性为最难 它们在平面几何 立体几何 解析几何 复数等分支中均有广泛的应用 例1 求函数y 2sin 2x 的单调增区间 例2 若 0 比较sin cos cos sin cos 这三者之间的大小 解 在 0 中 sinx x tanx 而0 cosx 1 sin cos cos 在 0 中 y cosx单调递减 cos cos sin sin cos cos cos sin 例3 已知x y a R 且 求cos x 2y 的值 解 原方程组化为 x 2y 函数f t t3 sint在 上单调递增 且f x f 2y x 2y cos x 2y 1 例4 求证 在区间 0 内存在唯一的两个数c d c d 使得sin cosc c cos sind d 证明 考虑函数f x cos sinx x 在区间 0 内是 单调递减的 并且连续 由于f 0 cos sin0 0 1 0 f cos sin cos1 0 存在唯一的d 0 使f d 0 即cos sind d 对上式两边取正弦 并令c sind 有sin cos sind sind sin cosc c 显然c 0 且由y sinx在 0 上的单调性和d的唯一性 知c也唯一 故存在唯一的c d 使命题成立 例5 0 且cot sin cot cot sin 比较 的大小 解 0 cot 0 0 sin sin cot cot 作出函数y ctgx在 0 上的图象 可看出 例6 n N n 2 求证 cos cos cos 证明 01 k 2 3 n cos cos cos 2 2 cos cos cos 例1 1 已知cos sin 且0 求sin 的值 2 已知sin 求 的值 提示 1 sin 2 sin2 1 2sin2 例2 求coscoscos cos的值 解法1 利用公式cos cos2 cos4 cos2n 得 coscoscoscos coscoscoscos coscos cos 原式 解法2 原式 例3 求cos420 cos440 cos480 的值 例4 若sin cos cos sin 求sin cos 的值 例5 已知f x sin x cos x 是偶函数 0 求 例 方程sinx cosx a 0在 0 2 内有相异两根 求实数a的取值范围 以及 的值 解 sinx cosx a 0 sin x 令t x 则t sint 作出函数y sint t 的图象