初二作辅助线题型

精品文档 1欢迎下载 一 作辅助线 1 按定义添加 如证明二直线垂直可延长使它们 相交后证交角为 90 证线段倍半 关系可倍线段取中点或半线段加倍 2 按基本图形添加 1 平行线 当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的第三 条直线 便有了同位角内错角同旁内角等 可运用平行线的判定和性质 2 线段 相等 结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形 或利用关于平分线段的一些 定理 相加减 结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目 常采用截长法或补 短法 3 三角形 中线 有底边中点连接作中线 有腰中点连接作中位线 则有中位线定理 反过来知道 中位线可判断平行及中点 直角三角形有斜边中点连接作中线 等于斜边一半 常利 用中位线 角平分线 常以角平分线为对称轴 利用角平分线的性质和题中的条件 构造出全等三 角形 从而利用全等三角形的知识解决问题 4 平行四边形 包括矩形 正方形 菱形 平行四边形 包括矩形 正方形 菱形 的两 组对边 对角和对角线都具有某些相同性质 所以在添辅助线方法上也有共同之处 目的 都是造就线段的平行 垂直 构成三角形的全等 相似 把平行四边形问题转化成常见的 三角形 正方形等问题处理 其常用方法有下列几种 举例简解如下 连对角线或平移对角线 过顶点作对边的垂线构造直角三角形 连接对角线交点与一边中点 或过对角线交点作一边的平行线 构造线段平行或中位线 过顶点作对角线的垂线 构成线段平行或三角形全等 5 梯形 梯形是一种特殊的四边形 它是平行四边形 三角形知识的综合 通过添加适 当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决 辅助线的添加成为问 题解决的桥梁 梯形中常用到的辅助线有 在梯形内部平移一腰 梯形内平移两腰 延长两腰 过梯形上底的两端点向下底作高 平移对角线 连接梯形一顶点及一腰的中点 过一腰的中点作另一腰的平行线 作中位线 精品文档 2欢迎下载 练习 1 已知如图 1 1 D E 为 ABC 内两点 求证 AB AC BD DE CE 2 如图 2 ABC 中 AD 是中线 延长 AD 到 E 使 DE AD DF 是 DCE 的中线 已知 AB C 的面积为 2 求 CDF 的面积 3 如图 3 在四边形 ABCD 中 AB CD E F 分别是 BC AD 的中点 BA CD 的延长线分别 交 EF 的延长线 G H 求证 BGE CHE A BC DE NM 11 图 A B C DE F G 21 图 精品文档 3欢迎下载 4 如图 6 已知梯形 ABCD 中 AB DC AC BC AD BD 求证 AC BD 5 如图 1 2 AB CD BE 平分 BCD CE 平分 BCD 点 E 在 AD 上 求证 BC AB CD 6 如图 2 4 AOP BOP 15 PC OA PD OA 如果 PC 4 则 PD A 4 B 3 C 2 D 1 7 如图所示 在直角梯形 ABCD 中 A 90 AB DC AD 15 AB 16 BC 17 求 CD 的长 8 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC B C 90 AD 1 BC 3 E F 分别是 AD BC 的 中点 连接 EF 求 EF 的长 图1 2 A D B C E F 图2 4 B O A P D C A AB B C C D D 精品文档 4欢迎下载 9 已知 梯形 ABCD 中 AD BC AD 1 BC 4 BD 3 AC 4 求梯形 ABCD 的面积 10 如图所示 四边形 ABCD 中 AD 不平行于 BC AC BD AD BC 判断四边形 ABCD 的形 状 并证明你的结论 11 在等腰梯形 ABCD 中 AD BC AB CD ABC 60 AD 3cm BC 5cm 求 1 腰 AB 的 长 2 梯形 ABCD 的面积 12 在梯形 ABCD 中 AD BC BAD 900 E 是 DC 上的中点 连接 AE 和 BE 求 AEB 2 CBE A B D CE H A AB B C CD D A BC D D E D F D 精品文档 5欢迎下载 13 如图 6 在直角梯形 ABCD 中 AD BC AB AD BC CD BE CD 于点 E 求证 AD DE 答案 1 截长补短 证明 法一 将 DE 两边延长分别交 AB AC 于 M N 在 AMN 中 AM AN MD DE NE 1 在 BDM 中 MB MD BD 2 在 CEN 中 CN NE CE 3 由 1 2 3 得 AM AN MB MD CN NE MD DE NE BD CE AB AC BD DE EC 法二 如图 1 2 延长 BD 交 AC 于 F 延长 CE 交 BF 于 G 在 ABF 和 GFC 和 GDE 中有 AB AF BD DG GF 三角形两边之和大于第三边 1 GF FC GE CE 同上 2 DG GE DE 同上 3 由 1 2 3 得 AB AF GF FC DG GE BD DG GF GE CE DE AB AC BD DE EC 2 中线分面积为相等的 2 半 解 因为 AD 是 ABC 的中线 所以 精品文档 6欢迎下载 S ACD S ABC 2 1 又因 CD 是 ACE 的中线 故 S CDE S ACD 1 因 DF 是 CDE 的中线 所以 S CDF S CDE 1 CDF 的面积为 3 利用中位线 证明 连结 BD 并取 BD 的中点为 M 连结 ME MF ME 是 BCD 的中位线 MECD MEF CHE MF 是 ABD 的中位线 MFAB MFE BGE AB CD ME MF MEF MFE 从而 BGE CHE 4 直角三角形斜边中线 证明 取 AB 的中点 E 连结 DE CE 则 DE CE 分别为 Rt ABD Rt ABC 斜边 AB 上的中线 故 DE CE AB 因此 CDE DCE AB DC CDE 1 DCE 2 1 2 在 ADE 和 BCE 中 DE CE 1 2 AE BE ADE BCE AD BC 从而梯形 ABCD 是等腰梯形 因此 AC BD 5 角平分线 截取 在此题中可在长线段 BC 上截取 BF AB 再证明 CF CD 从而达到证明 的目的 这里面用到了角平分线来构造全等三角形 另外一个全等自已证明 此题的证明 也可以延长 BE 与 CD 的延长线交于一点来证明 6 角平分线上的点到角两边距离 C 7 平移一腰 解 过点 D 作 DE BC 交 AB 于点 E 又 AB CD 所以四边形 BCDE 是平行四边形 所以 DE BC 17 CD B E 在 Rt DAE 中 由勾股定理 得 AE2 DE2 AD2 即 AE2 172 152 64 所以 AE 8 所以 BE AB AE 16 8 8 即 CD 8 8 平移 2 腰 解 过点 E 分别作 AB CD 的平行线 交 BC 于点 G H 可得 EGH EHG B C 90 则 EGH 是直角三角形 因为 E F 分别是 AD BC 的中点 容易证得 F 是 GH 的中点 所以 2 1 2 1 CHBGBCGHEF 1 13 2 1 2 1 2 1 2 1 ADBC DEAEBCDEAEBC A AB B C C D D E E 精品文档 7欢迎下载 9 平移对角线 解解 如图 作 DE AC 交 BC 的延长线于 E 点 AD BC 四边形 ACED 是平行四边形 BE BC CE BC AD 4 1 5 DE AC 4 在 DBE 中 BD 3 DE 4 BE 5 BDE 90 作 DH BC 于 H 则 5 12 BE EDBD DH 6 2 5 12 5 2 DHBC AD ABCD 梯形 S 10 延长腰 四边形 ABCD 是等腰梯形 证明 延长 AD BC 相交于点 E 如图所示 AC BD AD BC AB BA DAB CBA DAB CBA EA EB 又 AD BC DE CE EDC ECD 而 E EAB EBA E EDC ECD 180 EDC EAB DC AB 又 AD 不平行于 BC 四边形 ABCD 是等腰梯形 11 作高 解 作 AE BC 于 E DF BC 于 F 又 AD BC 四边形 AEFD 是矩形 EF AD 3cm AB DC cmEFBCFCBE1 2 1 在 Rt ABE 中 B 60 BE 1cm AB 2BE 2cm cmBEAE33 2 34 2 cm AEBCAD S ABCD 梯形 12 中点 延长 解 分别延长 AE 与 BC 并交于 F 点 BAD 900且 AD BC FBA 1800 BAD 900 又 AD BC DAE F 两直线平行内错角相等 AED FEC 对顶角相等 DE EC E 点是 CD 的中 点 ADE FCE AAS AE FE 在 ABF 中 FBA 900 且 AE FE BE FE 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 在 FEB 中 EBF FEB AEB EBF FEB 2 CBE 13 解 连结 BD 由 AD BC 得 ADB DBE 由 BC CD 得 DBC BDC 所以 ADB BDE 又 BAD DEB 90 BD BD 所以 Rt BAD Rt BED 得 AD DE 三 最值 定值问题 一 最值 在平面几何问题中 当某几何元素在给定条件变动时 求某几何量 如线段的长 度 图形的面积 角的度数 的最大值或最小值问题 称为最值问题 最值问题的解决方 法通常有两种 在此介绍符合当前所学过知识的一种解法 应用几何性质 三角形的三边关系 两边之和大于第三边 两边之差小于第三边 A AB B C CD D E E 精品文档 8欢迎下载 两点间线段最短 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中 垂线段最短 特殊位置与极端位置法 特殊位置与极端位置是指 1 中点处 垂直位置关系等 2 端点处 临界位置等 数形结合法 一次函数 反比例函数 二 定值 几何中的定值问题 是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变 或几 何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题 解几何定值问题的基本方法是 分清问题的定量及变量 运用特殊位置 极端位置 直接 计算等方法 先探求出定值 再给出证明 1 如图 已知 AB 10 P 是线段 AB 上任意一点 在 AB 的同侧分别以 AP 和 PB 为边作等边 APC 和等边 BPD 则 CD 长度的最小值为 2 如图 正方形 ABCD 的边长为 1 点 P 为边 BC 上任意一点 可与 B 点或 C 点重合 分 别过 B C D 作射线 AP 的垂线 垂足分别是 B C D 则 BB CC DD 的最大值 为 最小值为 3 如图 圆柱的轴截面 ABCD 是边长为 4 的正方形 动点 P 从 A 点出发 沿看圆柱的侧面移 动到 BC 的中点 S 的最短距离是 A B C D 2 12 2 412 2 14 2 42 4 如图 已知矩形 ABCD R P 户分别是 DC BC 上的点 E F 分别是 AP RP 的中点 当 P 在 BC 上从 B 向 C 移动而 R 不动时 那么下列结论成立的是 A 线段 EF 的长逐渐增大 B 线段 EF 的长逐渐减小 C 线段 EF 的长不改变 D 线段 EF 的长不能确定 9 数形结合 一次函数 某工程队要招聘甲 乙两种工种的工人 150 人 甲 乙两种工种 的工人的月工资分别是 600 元和 1000 元 现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的 2 倍 问甲 乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少 10 一名工人一天能生产某种玩具 至 个 若每天须生产这种玩具 个 那么须招 聘工人多少名 最少多少 最多多少 精品文档 9欢迎下载 三 最短路线问题 在求最短路线时 一般我们先用 对称 的方法化成两点之间的最短距离问题 而两点之 间直线段最短 从而找到所需的最短路线 像这样将一个问题转变为一个和它等价的问题 再设法解决 是数学中一种常用的重要思想方法 e g A B 两点在直线 l 的同侧 在直线 L 上取一点 P 使 PA PB 最小 5 如下图 侦察员骑马从 A 地出发 去 B 地取情报 在去 B 地之前需要先饮一次马 如果 途中没有重要障碍物 那么侦察员选择怎样的路线最节省时间 请你在图中标出来 6 长方体 ABCD A B C D 中 AB 4 A A 2 AD 1 有一只小虫从顶点 D 出发 沿长方体表面爬到 B 点 问这只小虫怎样爬距离最短 7 已知定点 A 1 2 B 3 4 在 x 轴的点 P 使点 P 到 A B 两点距离之和最短 求 P 点坐标 8 三角形 ABC 的边长为 2 M 是 AB 边上的中点 P 是边 BC 上任意一点 PA PM 的最大值和 最小值分别记为 S 和 t 则 22 tS 答案 1 思路点拨 如图 作 CC AB 于 C DD AB 于 D DQ CC CD2 DQ2 CQ2 DQ AB 一常数 当 CQ 越小 CD 越小 本例也可设 AP 则 PB 从代数角度探求 2 1 xx 10 CD 的最小值 精品文档 10欢迎下载 2 3 A 把圆柱侧面展开 4 C EF 平行且等于 1 2 AR 5 解 要选择最节省时间的路线就是要选择最短路线 作点 A 关于河岸的对称点 A 即作 AA 垂直于河岸 与河岸交于点 C 且使 AC A C 连接 A B 交河岸于一点 P 这时 P 点就是饮马的最好位置 连接 PA 此时 PA PB 就是 侦察员应选择的最短路线 证明 设河岸上还有异于 P 点的另一点 P 连接 P A P B P A P A P B P A P B A B PA PB PA PB 而这里不等式 P A P B A B 成立的理由是连接两点的折线段大于直线段 所以 PA PB 是最短路线 此例利用对称性把折线 APB 化成了易求的另一条最短路线即直线段 A B 所以这种方法也 叫做化直法 6 解 因为小虫是在长方体的表面上爬行的 所以必需把含 D B 两点的两个相邻的面 展开 在同一平面上 在这个 展开 后的平面上 D B 间的最短路线就是连结这两点 的直线段 这样 从 D 点出发 到 B 点共有六条路线供选择 从 D 点出发 经过上底面然后进入前侧面到达 B 点 将这两个面摊开在一个平面上 这时在这个平面上 D B 间的最短路线距离就是连接 D B 两点的直线段 它是直角三 角形 ABD 的斜边 根据勾股定理 D B2 D A2 AB2 1 2 2 42 25 D B 5 容易知道 从 D 出发经过后侧面再进入下底面到达 B 点的最短距离也是 5 由此例可以推广到一般性的结论 想求相邻两个平面上的两 点之间的最短路线时 可以把不同平面转成同一平面 此时 把处在同一平面上的两点连 起来 所得到的线段还原到原始的两相邻平面上 这条线段所构成的折线 就是所求的最 短路线 这种方法叫做旋转法 翻折法 7 解 如图 2 作 A 1 2 关于 x 轴的对称点 1 2 则过点 1 2 A A B 3 4 两点的直线解析为 该直线与 x 轴交点坐标为即为所求 P 点53 xy 0 3 5 坐标 8 分析 本题比上例更有一定的难度 S 还好求 因为 PA AC PM CM 所以 精品文档 11欢迎下载 当点 P 为顶点 C 时 等号成立 所以 32 CMCAPMPA32 S 关键在于 T 以 BC 为边作正三角形 如图 5 作 M 关于 BC 所在的直线对称点 BC A M 连结 因为 所以在上 且 PM MP MA ACBABC M A B 1 BMMB PA PM PA 连结 则 所以MP MP MA MC 0 90 MAC 所以 所以734 22 MCACMA7 t 34 7 32 2222 tS 9 解 设招聘甲种工种的工人为 x 人 则乙种工种的工人为人 由题意得 所以 设所招聘的工人共需付月工资 y 元 则有 因为 y 随 x 的增大而减小 所以当时 元 10 分析 这是一道反比例函数模型的应用题 这里 是常量 设每人每天生产x个 玩具 需要工人名 则有 且x为整数 y x y 400 5 x 当时 随的增大而减小 即0 xyx 3 400 5 400 y 3 1 13380 y 为正整数 取 至 即须招聘工人为 80 至 134 人 yy 四 动态问题 分类 题型 点动型 线动型 面动型 运动形式 平移 旋转 翻折 滚动 精品文档 12欢迎下载 1 单动点型 解决此类动点几何问题常常用的是 类比发现法 也就是通过对两个或几个 相类似的数学研究对象的异同 进行观察和比较 从一个容易探索的研究对象所具有的性 质入手 去猜想另一个或几个类似图形所具有的类似性质 从而获得相关结论 类比发现 法大致可遵循如下步骤 1 根据已知条件 先从动态的角度去分析观察可 能出现的情况 2 结合某一相应图形 以静制动 运用所学知识 常见的有三角形全等 三角形 相似等 得出相关结论 3 类比猜想出其他情况中的图形所具有的性质 e g 1 如图 在 ABC 中 点O是AC边上的一个动点 过点O作直线MN BC 设MN交 BCA的角平分线于点E 交 BCA的外角平分线于点F 1 求证 EO FO 2 当点O运动到何处时 四边形AECF是矩形 并证明你的结论 2 双动点型 e g 2 如图 在梯形中 梯形的高ABCDADBC 3AD 5DC 10BC 为 动点从点出发沿线段以每秒 2 个单位长度的速度向终点运动 动点同4MBBCCN 时从点出发沿线段以每秒 1 个单位长度的速度向终点运动 设运动的时间为CCDD 秒 t D N CMB A 1 当时 求 的值 2 试探究 为何值时 为等腰三角形 MNAB ttMNC 精品文档 13欢迎下载 3 线平移型 e g 3 如图 20 在平面直角坐标系中 四边形 OABC 是矩形 点 B 的坐标为 4 3 平 行于对角线 AC 的直线 m 从原点 O 出发 沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动 设直线 m 与矩形 OABC 的两边分别交于点 M N 直线 m 运动的时间为 t 秒 1 点 A 的坐标是 点 C 的坐标是 2 当 t 秒或 秒时 MN AC 2 1 3 设 OMN 的面积为 S 求 S 与 t 的函数关系式 以下 3 种通常利用全等三角形 判断运动方式及变化 确定改变的量和不变的量 根据题意 证明 图 20 精品文档 14欢迎下载 4 线旋转型 e g 对角线AC BD交于0点 将直线AC绕点0顺时针旋转 分别交BC AD于点E F 1 证明 当旋转角为90 时 四边形ABEF是平行四边形 2 试说明在旋转过程中 线段AF与EC总保持相等 5 面旋转型 见练习题第一页 24 e g 5 已知正方形中 为对角线上一点 过点作交于 连ABCDEBDEEFBD BCF 接 为中点 连接 DFGDFEG CG 1 直接写出线段与的数量关系 EGCG 2 将图 1 中绕点逆时针旋转 如图 2 所示 取中点 连接 BEF B45 DFGEG CG 你在 1 中得到的结论是否发生变化 写出你的猜想并加以证明 已知 如图 ABCDA 中 AB AC AB 1 BC 5 精品文档 15欢迎下载 6 面翻折型 解决此类问题的关键是找出隐藏的条件 翻折前后的线段相等 角相等 e g 6 7 如图 在直角梯形纸片中 将纸片沿过点ABCDABDC 90A CDAD 的直线折叠 使点落在边上的点处 折痕为 连接并展开纸片 DACDEDFEF 1 求证 四边形是正方形 ADEF 2 取线段的中点 连接 如果 试说明四边形是等腰梯AFGEGBGCD GBCE 形 答案 e g 1 解 1 证明 CE平分 BAC 12 又 MN BC 13 32 EOCO 同理 FOCO EOFO 2 当点O运动到AC的中点时 四边形AECF是矩形 E C B D A GF 精品文档 16欢迎下载 点O是AC的中点 四边形AECF是平行四边形 EOFO 又 即 四边形AECF是矩12 45 1 2418090 2 90ECF 形 2 题目中出现了两个动点 很多同学看到可能就会无从下手 但是解决动点问题 首先 就是要找谁在动 谁没在动 通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解 对于大多数 题目来说 都有一个由动转静的瞬间 就本题而言 M N 是在动 意味着 BM MC 以及 DN NC 都是变化的 但是我们发现 和这些动态的条件密切相关的条件 DC BC 长度都是给 定的 而且动态条件之间也是有关系的 所以当题中设定 MN AB 时 就变成了一个静止问 题 由此 从这些条件出发 列出方程 自然得出结果 解析 解 1 由题意知 当 运动到 秒时 如图 过作交于点 MNtDDEAB BCE 则四边形是平行四边形 ABED A BMC N E D ABDE ABMN 根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法 成功将 MN 放在三角形内 将DEMN 动态问题转化成平行时候的静态问题 这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键 MCNC ECCD 解得 102 1035 tt 50 17 t 思路分析 2 第二问失分也是最严重的 很多同学看到等腰三角形 理所当然以为是 MN NC 即可 于是就漏掉了 MN MC MC CN 这两种情况 在中考中如果在动态问题当