2012高考总复习函数模型及其应用.ppt

第十三讲函数模型及其应用 回归课本 1 三种常见的函数模型 1 在区间 0 上 函数y ax a 1 y logax a 1 和y xn n 0 都是增函数 但它们的增长速度不同 随着x的增大 y ax a 1 的增长速度越来越快 会超过并远远大于y xn n 0 的增长速度 表现为指数爆炸 随着x的增大 y logax a 1 的增长速度会越来越慢 2 随着x的增大 y ax a 1 的图象逐渐表现为与y轴趋近平行 而y logax a 1 的图象逐渐表现为与x轴趋近平行 3 当a 1 n 0时 对于函数y xn y ax y logax在x 0 时 函数y ax的增长速度远远大于函数y xn的增长速度 而函数y xn的增长速度远远大于函数y logax的增长速度 因此总会存在一个x0 当x x0时 总有ax xn logax 2 形如f x x a 0 x 0 的函数模型有广泛应用 利用基本不等式可求其最小值为3 用已知函数模型解决实际问题的基本步骤是 第一步 审题 设出变量 第二步 根据所给模型 列出函数关系式 第三步 解函数模型 第四步 再将所得结论转译成具体问题的解答 考点陪练 1 下列函数中随x的增大而增大速度最快的是 答案 A 2 今有一组实验数据 如下表 则最佳的体现这些数据关系的函数模型是 A v log2tB v 2t 2C v D v 2t 2答案 C 3 某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整 调整后初期利润增长迅速 后来增长越来越慢 若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系 可选用 A 一次函数B 二次函数C 指数型函数D 对数型函数答案 D 4 国家规定个人稿费纳税办法为 不超过800元的不纳税 超过800元不超过4000元的按超过800元的14 纳税 超过4000元的按全稿费的11 纳税 某人出了一本书 共纳税420元 这个人的稿费为 A 3600元B 3800元C 4000元D 4200元答案 B 5 某人若以每股17 25元购进股票一万股 一年后以每股18 96元抛售 该年银行月利率0 8 按月计算 为获取最大利润 某人应将钱 1 0 8 12 1 10034 A 全部购买股票B 全存入银行C 部分购买股票 部分存入银行D 购买股票或存入银行均一样答案 B 类型一一次函数与分段函数解题准备 分段函数模型 分段函数在不同的区间中具有不同的解析式 分段函数是一个函数 其定义域为各段自变量取值集合的并集 其值域为各段值的集合的并集 典例1 电信局为了配合客户不同需要 设有A B两种优惠方案 这两种方案应付话费 元 与通话时间 分钟 之间的关系如图所示 实线部分 注 图中MN CD 试问 1 若通话时间为2小时 按方案A B各付话费多少元 2 方案B从500分钟以后 每分钟收费多少元 3 通话时间在什么范围内 方案B才会比方案A优惠 分析 由图可知 两种方案都因时间段的不同导致收费不同 因此 需分段列式 解 由图可知 两种方案都是由线性函数组成的分段函数 不妨用待定系数法 结合图形 先求出函数解析式 再根据题意解题 1 由图知点M 60 98 N 500 230 C 500 168 MN CD 设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA x fB x 反思感悟 1 现实生活中很多问题都是用分段函数表示的 如出租车费用 个人所得税 话费等 分段函数是刻画现实问题的重要模型 2 分段函数是同一个函数在不同阶段的变化规律不同 要注意各段变量的范围 特别是端点值 尤其要注意 类型二二次函数模型解题准备 二次函数模型的理解二次函数是我们比较熟悉的函数模型 建立二次函数模型可以求出函数的最值与范围 解决实际中的优化问题 值得注意的是一定要分析自变量的取值范围 利用二次函数的配方法通过对称轴与单调性求解是这一类函数问题的特点 典例2 某市现有从事第二产业人员100万人 平均每人每年创造产值a万元 a为正常数 现在决定从中分流x万人去加强第三产业 分流后 继续从事第二产业的人员平均每人每年创造产值可增加2x 0 x 100 而分流出的从事第三产业的人员 平均每人每年可创造产值1 2a万元 在保证第二产业的产值不减少的情况下 分流出多少人 才能使该市第二 三产业的总产值增加最多 分析 保证第二产业的产值不减少 转译的数学语言是一个 二次不等式模型 该市第二 三产业的总产值增加最多 转译为数学语言是一个 二次函数的最值问题 解 设分流出x万人 为保证第二产业的产值不减少 必须满足 100 x a 1 2x 100a 因为a 0 x 0 可解得0 x 50 设该市第二 三产业的总产值增加f x 万元 则f x 100 x a 1 2x 1 2ax 100a f x 0 02a x2 110 x 0 02a x 55 2 60 5a x 0 50 且f x 在 0 50 上单调递增 当x 50时 f x max 60a 因此在保证第二产业的产值不减少的情况下 分流出50万人 才能使该市第二 三产业的总产值增加最多 反思感悟 建立二次函数模型可以求出函数的最值 解决实际中的最优化问题 但要注意自变量的取值范围 利用二次函数配方法通过对称轴与单调性求解是这一类函数的特点 类型三指数函数模型解题准备 1 增长率问题应用非常广泛 如存款或贷款的复利计算问题 国民经济增长率问题 2 对于函数未知的应用题 这类问题的一般方法是 审清题意 引进数学符号 正确建立函数关系式 研究函数关系式 作正确解答 典例3 某城市现有人口总数100万人 如果自然增长率为1 2 1 写出经过x年后该城市的人口总数y万人与x的函数关系式 2 计算10年后该城市人口总数 精确到0 1万人 3 计算大约经过多少年以后该城市人口将达到120万人 精确到1年 4 如果20年后该城市人口不超过120万人 年自然增长率应控制在多少 解 1 y 100 1 1 2 x x 0 2 令x 10 得y 100 1 1 2 10 112 7 万人 3 令y 120 得100 1 1 2 x 120 x log1 0121 2 15 年 4 设年自然增长率为x 由题意 得100 1 x 20 120 1 x 20 1 2 答 1 经过x年后该城市的人口总数y万人与x的函数关系式为y 100 1 1 2 x 2 10年后该城市的人口总数约为112 7万人 3 大约经过15年该城市人口将达到120万人 4 如果20年后该城市人口不超过120万人 年自然增长率应控制在0 9 反思感悟 本题是有关增长率的问题 在实际应用中 有关人口增长 银行利率 细胞分裂等增长问题常化为指数函数的模型 对于变化率的问题有以下公式 1 增长率问题 变化前的量 1 增长率 时间 变化后的量 2 递减率问题 变化前的量 1 递减率 时间 变化后的量 类型四对数函数模型解题准备 对数函数模型 能用对数函数表达的函数模型叫做对数函数模型 对数函数模型增长的特点是随着自变量的增大 底数a 1 函数值增大的速度越来越慢 典例4 2008年9月25日 我国成功发射了 神舟 七号载人飞船 这标志着中国科技又迈出了具有历史意义的一步 若已知火箭的起飞重量M是箭体 包括搭载的飞行器 的重量m和燃料重量x之和 在不考虑空气阻力的条件下 假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式为 其中k 0 当燃料重量为吨 e为自然对数的底数 e 2 72 时 该火箭的最大速度为4km s 1 求火箭的最大速度y 千米 秒 与燃料重量x 吨 之间的关系式y f x 2 已知该火箭的起飞重量是544吨 则应装载多少吨燃料 才能使该火箭的最大飞行速度达到8千米 秒 顺利地把飞船发送到预定的轨道 分析 本题的函数模型已经给出 只需根据题设确定出参数 然后根据函数关系及题设进行求解 类型五幂函数模型解题准备 幂函数模型 能用幂函数表达的函数模型叫做幂函数模型 幂函数模型中最常见的是二次函数模型 典例5 某农药厂今年生产农药8000吨 计划5年后把产量提高到14000吨 问平均每年需增长百分之几 错源一缺乏对一次 二次 函数最高次项的系数的关注 典例1 某科学家在一试验中发现两个变量x y之间具有一次函数关系 其中x的范围为 2 6 y的范围是 11 9 试求y关于x的函数关系式 剖析 错解对函数一次项的系数关注不够 只考虑了k 0的情况 而忽视了k 0的情况 因而导致出错 错源二运算中忽视实际取整问题 典例2 某公司在甲 乙两地销售一种品牌车 利润 单位 万元 分别为L1 5 06x 0 15x2 和L2 2x 其中x为销售量 单位 辆 若该公司在这两地共销售15辆车 则能获得的最大利润为 A 45 606B 45 6C 46 8D 46 806 正解 B设甲地销售x辆 则乙地销售 15 x 辆 则总利润L L1 L2 5 06x 0 15x2 2 15 x 0 15x2 3 06x 30 0 15 x 10 2 2 45 606 根据二次函数图象和x N 得当x 10时 获得最大利润L 0 15 102 3 06 10 30 45 6万元 选B 答案 B 技法一寻找