如何证明圆的切线

精品文档 1欢迎下载 如何证明圆的切线 证明直线是圆的切线 通常有的以下几种方法 一 要证明某直线是圆的切线 如果已知直线过圆上的某一个点 那么作出过这一点 的半径 证明直线垂直于半径 例 1 如图 1 已知AB为 O的直径 点D在AB的延长线上 BD OB 点C在圆上 CAB 30 求证 DC是 O的切线 思路 要想证明DC是 O的切线 只要我们连接OC 证明 OCD 90 即可 证明 连接OC BC AB为 O的直径 ACB 90 CAB 30 BC AB OB 2 1 BD OB BC OD OCD 90 2 1 DC是 O的切线 评析 一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论 特别要注意 经过半径的外端 和 垂直于这条半径 这两个条件缺一不可 否则就不是圆的切线 本题在证明 OCD 90 时 运用了 在一个三角形中 如果一条边上的中线等于这条边的一半 那么这个三角形是 直角三角形 当然也可以从角度计算的角度来求 OCD 90 二 如果直线与圆的公共点没有确定 则应过圆心作直线的垂线 证明圆心到这条直 线的距离等于半径 例 2 如图 2 已知AB为 O的直径 C为 O上一点 AD和过C点的切线互相垂 直 垂足为D 求证 AC平分 DAB 思路 利用圆的切线的性质 与圆的切线垂直于过切点的半 径 证明 连接OC CD是 O的切线 OC CD AD CD OC AD 1 2 OC OA 1 3 2 3 AC平分 DAB 评析 已知一条直线是某圆的切线时 切线的位置一般是确定的 在解决有关圆的 切线问题时 辅助线常常是连接圆心与切点 得到半径 那么半径垂直切线 图 1 O A B C D 图 2 O A B C D 23 1 精品文档 2欢迎下载 例 3 如图 3 已知AB为 O的直径 过点B作 O的切线BC 连接OC 弦 AD OC 求证 CD是 O的切线 思路 本题中既有圆的切线是已知条件 又证明另一条直线是圆的切线 也就是既要 注意运用圆的切线的性质定理 又要运用圆的切线的判定定理 欲证明CD是 O的切线 只要证明 ODC 90 即可 证明 连接OD OC AD 1 3 2 4 OA OD 1 2 3 4 又 OB OD OC OC OBC ODC OBC ODC BC是 O的切线 OBC 90 ODC 90 DC是 O的切线 评析 本题综合运用了圆的切线的性质与判定定理 一定要注意区分这两个定理的 题设与结论 注意在什么情况下可以用切线的性质定理 在什么情况下可以用切线的判定 定理 希望同学们通过本题对这两个定理有进一步的认识 本题若作OD CD 就判断出了 CD与 O相切 这是错误的 这样做相当于还未探究 判断 就以经得出了结论 显然是 错误的 三 已知直线与圆的公共点时只需连接该公共点和圆心 证明该半径垂直于已知直线 例 4 如图 1 B C是 O上的点 线段AB经过圆心O 连接AC BC 过点C 作CD AB于D ACD 2 B AC是 O的切线吗 为什么 解 AC是 O的切线 理由 连接OC 因为OC OB 所以 OCB B 因为 COD是 BOC的外角 所以 COD OCB B 2 B 因为 ACD 2 B 所以 ACD COD 因为CD AB 于D 所以 DCO COD 90 所以 DCO ACD 90 即OC AC 因为C为 O上的点 所以AC是 O的切线 O A B C D 图 3 2 3 4 1 精品文档 3欢迎下载 例 5 如图 2 已知 是 ABC的外接圆 AB是 的直径 D是AB的延长线上的 一点 AE DC交DC的延长线于点E 且AC平分 EAB 求证 DE是 O的切线 证明 连接OC 则OA OC 所以 CAO ACO 因为AC平分 EAB 所以 EAC CAO AC 所以AE CO 又AE DE 所以CO DE 所以DE是 O的切线 四 直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段 证明此垂线段的长 等于半径 例 6 如图 3 AO是 ABC的中线 O与AB边相切于点D 1 要使 O与AC边也相切 应增加条件 任写一个 2 增加条件后 请你证明 O与AC 边相切 解 1 答案不唯一 可以是 B C AB AC BAO CAO AO BC等 2 增加条件 B C后 O与AC 边相切 证明 连接OD 作OE AC 垂足为E 因为 O与AB相切于点D 所以 BDO CEO 90 因为AO是 ABC的中线 所以OB OC 又因为 B C 所以 BDO CEO 所以OE OD 因为OD是 O的半径 所