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拼图与勾股定理 天马行空官方博客 勾股定理 直角三角形两直角边a b的平方和 等于斜边c的平方 a2 b2 c2 a2 c2 b2 b2 c2 a2 a2 b2 c2 用两种方法表示大正方形的面积 对比两种表示方法 你得到勾股定理吗 试一试 我们用下面方法来说明勾股定理是正确的 最早对勾股定理进行证明的 是三国时期吴国的数学家赵爽 赵爽创制了一幅 勾股圆方图 用形数结合得到方法 给出了勾股定理的详细证明 b a c2 C b a C c2 b a a2 b2 C c2 赵爽的这个证明可谓别具匠心 极富创新意识 他用几何图形的截 割 拼 补来证明代数式之间的恒等关系 既具严密性 又具直观性 为中国古代以形证数 形数统一 代数和几何紧密结合 互不可分的独特风格树立了一个典范 以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展 例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法 只是具体图形的分合移补略有不同而已 图标说明 A B E D C I F G H a b c 朱方 青方 朱出 朱入 青出 青入 青出 青入 a b a b b a 第一种证法 a b c a a a b b b c c c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c b a c2 a2 b2 第三种证法 c2 a2 b2 第四种证法 c2 a2 b2 第五种证法 c2 a2 b2 第六种证法 1 在1876年一个周末的傍晚 在美国首都华盛顿的郊外 有一位中年人正在散步 欣赏黄昏的美景 他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德 他走着走着 突然发现附近的一个小石凳上 有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么 时而大声争论 时而小声探讨 由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去 想搞清楚两个小孩到底在干什么 只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形 于是伽菲尔德便问他们在干什么 只见那个小男孩头也不抬地说 请问先生 如果直角三角形的两条直角边分别为3和4 那么斜边长为多少呢 伽菲尔德答到 是5呀 小男孩又问道 如果两条直角边分别为5和7 那么这个直角三角形的斜边长又是多少 伽菲尔德不加思索地回答到 那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方 小男孩又说道 先生 你能说出其中的道理吗 伽菲尔德一时语塞 无法解释了 心理很不是滋味 思考 于是伽菲尔德不再散步 立即回家 潜心探讨小男孩给他留下的难题 他经过反复的思考与演算 终于弄清楚了其中的道理 并给出了简洁的证明方法 他是这样分析的 如图所示 例1已知 如图 等边 ABC的边长是6 1 查表求高AD的长 精确到0 1 2 求S ABC 精确到0 1 2 A B C D 解 1 ABC是等边三角形 AD是高 在Rt ABD中 AB 6 BD 3 根据勾股定理 AD2 AB2 BD2 AD 5 2 2 例2求右图所示 单位 矩形 零件上两孔中心A和B的距 离 精确到0 1 21 40 21 60 A B C 解 ABC是直角三角形 根据勾股定理 得 AB2 AC2 BC2 AB AC2 BC2 AC 40 21 19 BC 60 21 39 AB 答 两孔中心的距离约为43 4 练习题1 A B C 6 15 如图 求AC的长 保留整数 解 ABC是直角三角形 根据勾股定理 得 AC2 AB2 BC2 AC 练习题2 A B C 11 25 如图 求AC的长 保留整数 解 ABC是直角三角形 根据勾股定理 得 AC2 AB2 BC2 AC 练习题3 A B C 6 13 如图 求AB的长 保留整数 解 ABC是直角三角形 根据勾股定理 得 AB2 AC2 BC2 AB 练习题4 A B C 19 24 如图 求BC的长 保留整数 解 C 90 根据勾股定理 得 BC2 AB2 AC2 BC 练习题5 A B C 17 24 如图 求AB的长 保留整数 解 C 90 根据勾股定理 得 AB2 AC2 BC2 AB 练习题6 A B C D 15 如图 求AD的长 解 设BD x 根据勾股定理 得 152 x2 132 14 x 2 解得x 13 BC 14 x 14 x 9 在Rt ABD中 由勾股定理得 AD 则 CD 14 x 本节课的小结 在本节课中 我们了解了勾股定理的证明 学习了这个定理的应用 本节课的重点在应用 几组常见的 勾股数 3 4 5 6 8 10 9 12 15 5 12 13 8 15 17 3k 4k 5k 5k 12k 13k 8k 15k 17k 中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾 较长的直角边叫做股 的人对周公说 两端连接得一个直角三角形 那么弦等于5 据 周髀算经 记载 西周开国时 把一根直尺折成直 如果勾是3 股是4 斜边叫做弦 期 约公元1千多年 有个叫商高 角 3 4 5 人们还发现 弦一定是10 等等 即勾2 股2 弦2 世界上许多数学家 先后用不同方法证明了这个 结论 在直角三角形中 勾是