一元函数的连续性与间断点.ppt

3 26 20207 56PM 2 7一元函数的连续性与间断点 1 函数的连续性 2 函数的间断点 3 连续函数的运算法则 4 闭区间上连续函数的性质 3 26 20207 56PM 1 函数的连续性 定义2 8 设变量从初值改变到终 说明改变量可以是正的 也可是负的 例如 从0变到1 从1变到0 第2章极限与连续 值 变量 终值与初值之差称为变量的改 记作 则 则 3 26 20207 56PM 如图所示 设函数 第2章极限与连续 时 当自变量从改变到 函数相应的改变量为 3 26 20207 56PM 例设正方形的边长有一个改变量 如图所示 面积的改变量 面积改变了多少 第2章极限与连续 3 26 20207 56PM 简单地说 如图所示 处不连续 处连续 第2章极限与连续 函数也有一个很小的变化 当自变量有一个很小的变化时 即时 3 26 20207 56PM 或 则称函数在点处连续 函数连续定义的等价形式 定义2 9 设函数在点的某 即 定义2 10 设函数在的某个 在点处连续 第2章极限与连续 邻域内有定义 若 则称函数 个邻域内有定义 得的改变量时 如果当自变量在点处取 函数的改变量 3 26 20207 56PM 事实上 1 函数在处有定义 2 极限存在 3 极限值等于函数值 若有一条不满足 函数在处不连续 第2章极限与连续 具备下列三个条件 函数在处连续要同时 3 26 20207 56PM 例1证明函数在给定点处连续 证当在处有一个改变量时 函数有改变量 所以 函数在处连续 第2章极限与连续 证毕 3 26 20207 56PM 定义2 11 设函数在区间上 说明在左端点处和右端点处连 如上例中 在内连续 第2章极限与连续 每一点都连续 是的连续区间 则称在上连续 并称 续是指 而点可以是内的任意一点 函数在给定点处连续 因此 3 26 20207 56PM 例2证明函数在内连续 证设为内任意一点 因为 所以 即 第2章极限与连续 处有改变量 函数的改变量 在 3 26 20207 56PM 因而 所以函数在点处连续 再由的任意性知 证毕 同理可证在内连续 第2章极限与连续 内连续 函数在 3 26 20207 56PM 说明由函数在一点处连续的定义及 连续函数的极限符号与函数符号可以交换 例如求 解 第2章极限与连续 有 3 26 20207 56PM 2 函数的间断点 定义2 12 若函数在点处不满足 定义等价于 第2章极限与连续 连续条件 称函数在点处间断 断点 则称函数在点处不连续 或 点称为的间 3 26 20207 56PM 若函数在的去心邻域内有定义 1 函数在处无定义 2 不存在 3 第2章极限与连续 则下列情形之一 称函数在处间断 3 26 20207 56PM 例3讨论函数在点处的连续 如图所示 解由于函数 在点处无定义 函数在 处间断 第2章极限与连续 性 故 3 26 20207 56PM 例4设函数 函数在点处的连续性 解由于 则不存在 在处间断 如图所示 第2章极限与连续 故 讨论 3 26 20207 56PM 例5设函数 数在点处的连续性 解由于 故函数在处 如图所示 第2章极限与连续 间断 讨论函 3 26 20207 56PM 间断点的类型 定义2 13 设是函数的间断点 均存在 若 称为可去间断点 若 称为跳跃间断点 例4中 是跳跃间断点 例5中 是可去间断点 第2章极限与连续 第一类间断点 3 26 20207 56PM 第二类间断点 至少有一个不存在 若其中至少有一个振荡 例3中 是无穷间断点 若其中至少有一个为 如图 是函数 的振荡间断点 第2章极限与连续 称为无穷间断点 称为振荡间断点 3 26 20207 56PM 3 连续函数的运算法则 定理 若函数与在点处 在处也连续 例 因为在区间内连续 所以在其定义域内连续 第2章极限与连续 连续 则 3 26 20207 56PM 定理 若函数在区间上单调 例由于函数在闭区间 上单调增加且连续 在闭区间上也是单调增加且连续 所以其反函数 第2章极限与连续 增加 减少 且连续 也在对应的区间上 调增加 减少 且连续 证略 则其反函数 单 3 26 20207 56PM 定理 设函数由函数 例求 即 解 第2章极限与连续 与函数复合而成 而函数在连续 若 则 证略 3 26 20207 56PM 例讨论函数的连续性 定理 设函数由函数 解由于函数在内连续 而在内连续 在内连续 第2章极限与连续 与函数复合而成 连续 且 连续 也连续 证略 若函数在 而函数在 则复合函数在 则函数 3 26 20207 56PM 初等函数在其定义区间内都是连续的 基本初等函数在其定义域内都是连续的 初等函数的连续性 第2章极限与连续 包含在定义域内的区间 3 26 20207 56PM 4 闭区间上连续函数的性质 定理 有界性定理 若函数 定理 最大值与最小值定理 第2章极限与连续 严格的理论证明省略 下面定理只从几何直观上加以说明 在闭区间上连续 区间上有界 则在此 若函数在闭区间上连续 在此区间上一定有最大值和最小值 则 将 3 26 20207 56PM 如图所示 在闭区间上连续 得最小值 在处取得最大值 函数在此区间上有界 第2章极限与连续 在处取 因此 3 26 20207 56PM 定理 介值定理 若函数在 推论 零点存在定理 若函数在闭区 第2章极限与连续 闭区间上连续 上的最大值和最小值 任一个实数 使得 和分别为在 则对介于和之间的 至少存在一点 间上连续 点 且 则至少存在一 使得 3 26 20207 56PM 如图所示 介值定理 零点存在定理 第2章极限与连续 3 26 20207 56PM 例6利用介值定理证明方程 在区间内各有一个实根 证设 由介值定理知 存在 使得 即为给定方程的实根 又由于三次 方程最多有三个根 第2章极限与连续 所以各区间内只有一个 3 26 20207 56PM 例7求 解 例8求 解 第2章极限与连续 3 26 20207 56PM 例9证明当时 证 所以 证毕 第2章极限与连续 3 26 20207 56PM 内容小结 1 函数连续的等价定义 2 间断点 函数在点连续 第一类间断点 可去间断点 跳跃间断点 第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点 第2章极限与连续 存在 左右极限至少有一个不 左右极限都存在 充分必要条件 3 26 20207 56PM 3 初等函数在其定义区间内连续 4 分段函数在分界点处的连续性 5 闭区间上连续函数的性质 有界性定理 最大值 最小值定理 介值定 第2章极限与连续 定义或充要条件讨论 需要用 理 零点存在定理 3 26 20207 56PM 备用题 1 若函数在点连续 解因为 所以 即在处连续 反之不成立 处处间断 第2章极限与连续 是否在处连续 问 反之是否成立 而处处连续 如 3 26 20207 56PM 2 讨论函数间断点的类型 解 是其间断点