矩阵的特征值和特征向量.ppt

第4章矩阵的对角化与二次型的化简 一 矩阵的特征值与特征向量 二 相似矩阵与矩阵的相似对角化 下页 三 二次型与二次型的化简 四 正交变换化二次型为标准形 五 惯性定律与正定二次型 方程 lE A X o的解都是特征值l的特征向量吗 定义1设A是n阶方阵 如果存在数l和n维非零列向量X满足AX lX 则称l为A的特征值 称向量X为A的对应于特征值l的特征向量 lE A 0 矩阵lE A称为A的特征矩阵 l的n次多项式 lE A 称为A的特征多项式 方程 lE A 0称为A的特征方程 lE A X o AX lX 注意 如果X是A的对应于特征值l的特征向量 则 问题 特征值l的特征向量有多少 怎样求矩阵的特征值和特征向量 lX AX o 下页 第1节矩阵的特征值与特征向量 1 1特征值特征向量的概念与计算 方程 lE A 0的每个根都是矩阵A的特征值 方程 lE A X o的每个非零解都是l对应的特征向量 解 矩阵的特征方程为 lE A l 4 l 2 0 矩阵A的特征值为l1 4 l2 2 对于特征值l1 4 解齐次线性方程组 4E A X o 于是 矩阵A对应于l1 4的全部特征向量为 c1不为0 下页 解 矩阵的特征方程为 lE A l 4 l 2 0 矩阵A的特征值为l1 4 l2 2 对于特征值l2 2 解齐次线性方程组 2E A X o 于是 矩阵A对应于l2 2的全部特征向量为 c2不为0 下页 方程 lE A 0的每个根都是矩阵A的特征值 方程 lE A X o的每个非零解都是l对应的特征向量 解 矩阵的特征方程为 l 2 l 1 2 0 矩阵A的特征值为l1 l2 1 l3 2 对于特征值l1 l2 1 解线性方程组 E A X o 于是 A的对应于l1 l2 1的全部特征向量为 c1不为0 下页 解 矩阵的特征方程为 l 1 1 0 l 2 l 1 2 0 矩阵A的特征值为l1 l2 1 l3 2 对于特征值l3 2 解线性方程组 2E A X o 于是 A的对应于l3 2的全部特征向量为 c2不为0 下页 的特征值与特征向量 lE A l 2 2 l 4 0 矩阵A的特征值为l1 l2 2 l3 4 对于特征值l1 l2 2 解线性方程组 2E A X o 解 矩阵的特征方程为 l 2 于是 A的对应于l1 l2 2的全部特征向量为 c1 c2不全为0 下页 对于特征值l3 4 解线性方程组 4E A X o 于是 A的对应于l3 4的全部特征向量为 解 矩阵的特征方程为 l 2 2 l 4 0 矩阵A的特征值为l1 l2 2 l3 4 lE A 的特征值与特征向量 c3不为0 下页 例4 试证 n阶O矩阵的特征值为零 证 由 lE O lE ln 0 必有l 0 下页 例5 试证 n阶矩阵A是奇异矩阵 不可逆 秩亏 的充分必要条件是A有一个特征值为零 证 必要性 如果A是奇异矩阵 则 A 0 于是 0E A A 1 n A 0 即0是A的一个特征值 充分性 设A有一个特征值为0 对应的特征向量为X1 由定义 有AX1 0X1 o X1 o 所以齐次线性方程组AX o有非零解X1 由此可知 A 0 即A为奇异矩阵 问题 对角矩阵的特征值是什么 性质1设X1 X2 Xm都是矩阵A的对应于特征值l的特征向量 如果它们的线性组合k1X1 k2X2 kmXm o 则k1X1 k2X2 kmXm也是矩阵A的对应于特征值l的特征向量 性质2如果n阶方阵A的全部特征值为l1 l2 ln k重特征值算作k个特征值 则 l1 l2 ln Tr A 其中 Tr A a11 a22 a33 ann 称为矩阵A的迹 l1l2 ln A 下页 1 2特征值与特征向量的性质 推论 n阶方阵可逆的充分必要条件是A的特征值不等于零 证明 由性质2可知 若A是可逆矩阵 即 A 0 则A的任一个特征值都不为零 若X是A的属于特征值l的特征向量 则A l 两端同乘A 1 并整理得A 1X l 1 即l 是A 的特征值 X也是A 的对应于l 的特征向量 性质3设l是可逆方阵A的一个特征值 X是它对应的特征向量 则l 0 l 1是A 1的一个特征值 且X也是A 1的对应于l 1的特征向量 下页 性质4设l是方阵A的一个特征值 X为对应的特征向量 m是一个正整数 则lm是Am的一个特征值 X为对应的特征向量 下页 证明 由于A l 两端都左乘A得A2 lA 把A l 代入上式得A2 l l l2 依次类推可得Am lm 即lm是Am一个特征值 为对应的特征向量 即 若f x 是一个多项式 则f l 是f A 的特征值 下页 推论设l是方阵A的一个特征值 则 是矩阵 的一个特征值 m为正整数 X为对应的特征向量 特别 若 则必有 性质4设l是方阵A的一个特征值 X为对应的特征向量 m是一个正整数 则lm是Am的一个特征值 X为对应的特征向量 性质5n阶矩阵A互不相同的特征值l1 l2 lm 对应的特征向量X1 X2 Xm线性无关 下页 性质6设A为n阶矩阵 则A与AT有相同的特征值 即A与AT有相同的特征多项式 lE A lE A T lE AT 由 lE A T lE AT有 证明 所以它们的特征值相同 证明 因为A2 A 所以A2 A o 设A的特征值为l 则由性质4之推论可得l2 l 0 解得 l1 0 l2 1 证毕 例7 设3阶矩阵A的三个特征值分别为l1 1 l2 0 l3 1 求矩阵B A2 3A 2E的特征值 下页 例6 设n阶矩阵A满足A2 A 证明A有特征值为0或1 解 令B f A A2 3A 2E 则由性质4之推论可知f l 是f A 的特征值 从而得矩阵B的三个特征值分别为 已知三阶方阵A的三个特征值为 则 A A 的特征值为 AT的特征值为 A2 2A E的特征值为 设Ak 0 k是正整数 则A必有一特征值为 若A2 A 则A的特征值为 设A是3阶方阵 已知方阵E A E A 3E A都不可逆 则A的特征值为 已知三阶矩阵A的特征值为 则 A 5E 6 1 2 1 3 4 1 16 0 0 1 1 1 3 72 下页 练习题 性质5n阶矩阵A互不相同的特征值l1 l2 lm 对应的特征向量X1 X2 Xm线性无关 性质7矩阵A的m个不同的特征值所对应的m组线性无关的特征向量组并在一起仍然是线性无关的 性质8设 0是n阶方阵A的一个t重特征值 则 0对应的特征向量集合中线性无关的向量个数不超过t 补充性质 下页 下页 4E A 因为特征矩阵 所以齐次线性方程组 4E A X O的一般解为x1 x2 返回 2E A 因为特征矩阵 所以齐次线性方程组 2E A X O的一般解为5x1 x2 返回 因为特征矩阵 E A 所以齐次线性